Bouteille de Klein

Dans les mathématiques , la bouteille de Klein de est une surface orientable , le c. , une surface (un espace topologique de certain non- bidimensionnel) sans la distinction entre le " ; inside" ; et " ; outside" ; surfaces. D'autres objets non-orientable relatifs sont la bande de Möbius de et avion projectif le vrai. Là où une bande de Möbius est un objet bidimensionnel avec une surface et un bord, une bouteille de Klein est un objet bidimensionnel avec un surface et aucuns bords de . (Pour la comparaison, une sphère est un objet bidimensionnel sans des bords et deux surfaces.)

La bouteille de Klein a été décrite la première fois dans le 1882 par le allemand Felix Klein de mathématicien du . C'a été à l'origine appelé le " de Kleinsche Fläche de ; Surface" de Klein ; ; cependant, ceci a été inexactement interprété en tant que " de Kleinsche Flasche de ; Bottle" de Klein ; , qui finalement a mené à l'adoption de cette limite dans la langue allemande aussi bien.

Construction

Commencer par une place, et puis coller les bords colorés ensemble correspondants, dans le diagramme suivant, de sorte que les flèches s'assortissent. Plus formellement, la bouteille de Klein est l'espace de quotient décrit comme × de la place ; les côtés étant identifié par le ~ des relations (0, y ) (1, y ) pour 0 ; ≤ ; du y ; ≤ ; 1 et ( X , 0) ~ (1 - X , 1) pour 0 ; ≤ ; du X ; ≤ ; 1 :

Cette place est un polygone fondamental de la bouteille de Klein.

Noter que c'est un " ; abstract" ; le collage dans le sens de cet essai de réaliser ceci dans trois dimensions a comme conséquence une bouteille de individu-intersection de Klein. La bouteille de Klein, proprement dite, individu-n'intersecte pas. Néanmoins, il y a une manière de visualiser la bouteille de Klein comme étant contenu dans quatre dimensions.

Coller les flèches rouges de la place ensemble (les côtés gauches et droits), ayant pour résultat un cylindre. Pour coller les extrémités ensemble de sorte que les flèches sur les cercles s'assortissent, passer une extrémité par le côté du cylindre. Noter que ceci crée un cercle d'individu-intersection. C'est une immersion de la bouteille de Klein dans trois dimensions. En ajoutant une quatrième dimension à l'espace tridimensionnel, on peut éliminer l'individu-intersection. Pousser graduellement un morceau du tube contenant l'intersection hors de l'espace tridimensionnel original. Une analogie utile est de considérer une courbe de individu-intersection sur l'avion ; on peut éliminer des individu-intersections en soulevant une rive outre de l'avion.

Cette immersion est utile pour visualiser beaucoup de propriétés de la bouteille de Klein. Par exemple, la bouteille de Klein n'a aucune frontière de , où la surface s'arrête abruptement, et c'est Non-orientable , comme reflété dans l'one-sidedness de l'immersion.

Le modèle physique commun d'une bouteille de Klein est une construction semblable. Le musée britannique de la Science de a dessus l'affichage qu'une collection de Klein en verre main-soufflé met en bouteille, exhibant beaucoup de variations sur ce thème topologique. Les bouteilles datent du 1995 et ont été faites pour le musée par le Alan Bennett . Le Clifford Stoll , auteur de l'oeuf du coucou, fabrique des bouteilles de Klein et les vend par l'intermédiaire de l'Internet à la bouteille de Klein de point culminant.

Propriétés

La bouteille de Klein peut être vue comme faisceau de fibres comme suit : on prend la place de ci-dessus pour être le E , tout le espace, alors que le bas B de l'espace est donné par l'intervalle unitaire dans le X , et le $de projection \ pi$ est donné par le $\ pi (x, y)=x.$ puisque les deux points finaux de l'intervalle unitaire dans le X sont identifiés, le bas B de l'espace est réellement le cercle $S^1$ de , et ainsi la bouteille de Klein est le $S^1$ -bundle twisted (paquet de cercle de ) au-dessus du cercle.

Comme la bande de Möbius de , la bouteille de Klein est une tubulure différentiable bidimensionnelle qui n'est pas le orientable. À la différence de la bande de Möbius, la bouteille de Klein est un tubulure fermée de , signifiant que c'est une tubulure du contrat sans frontière. Tandis que la bande de Möbius peut être incluse dans le ³ tridimensionnel du R de l'espace euclidien , la bouteille de Klein ne peut pas. Elle peut être enfoncée dans le R ⁴, cependant.

La bouteille de Klein peut être construite (dans un sens mathématique, parce qu'il ne peut pas être fait sans permettre à la surface de s'intersecter) en joignant les bords de deux bandes de Möbius ensemble, comme décrit dans le limerick anonyme du suivant : le
appelé par mathématicien du

A Klein de a pensé que la bande de Möbius était divine.
dit il : " ; Si vous collez le
les bords de deux,
vous obtiendrez de bouteille étrange comme mine." ;

Il peut également être construit en pliant une bande de Möbius dans à moitié en long et en attachant le bord à lui-même.

Six couleurs suffisent pour colorer n'importe quelle carte sur la surface d'une bouteille de Klein ; c'est la seule exception à la conjecture de Heawood de , une généralisation du quatre colorent le théorème , qui exigerait sept.

Une bouteille de Klein est équivalente à une sphère plus deux chapeaux en travers

Dissection

En disséquant une bouteille de Klein dans des moitiés le long de son plan de des résultats de la symétrie dans deux que le Möbius d'image de miroir dépouille c. un avec un gaucher moitié-tordre et l'autre avec un droitier moitié-tordent (un de ces derniers est décrit du côté droit). Se rappeler que l'intersection décrite n'est pas vraiment là. En fait, il est également possible de couper la bouteille de Klein en bande simple de Möbius.

Paramétrisation

Le " ; figure 8" ; l'immersion de la bouteille de Klein a une paramétrisation particulièrement simple : le

de  \ commencent {rangée} {rcl} X et = et \ laissé (r+ \ cos \ frac {u} {2} \ péché v - \ péché \ frac {u} {2} \ péché 2v \ droit) \ \ de cos u \ y et = et \ laissé (r+ \ cos \ frac {u} {2} \ péché v - \ péché \ frac {u} {2} \ péché 2v \ droit) \ \ du péché u \ z et = et \ péché \ frac {u} {2} \ péché v + \ cos \ frac {u} {2} \ péché 2v \ extrémité {rangée}

Dans cette immersion, le cercle d'individu-intersection est un cercle géométrique dans l'avion DE X/Y. La constante positive $r$ est le rayon de ce cercle. Le paramètre $u$ donne l'angle dans l'avion DE X/Y, et $v$ spécifie la position autour des 8 a formé la section transversale.

La paramétrisation de l'immersion à trois dimensions de la bouteille elle-même est beaucoup plus compliquée. Voici une version simplifiée : le $de \ commencent {rangée} {rcl} X et = et \ frac {\ racine carré {2} \ laissés (u^ de 20u^ {3} - 65 \ pi {2} +50 \ pi^ {2} u-16 \ pi^ {3} \) droit \ cos \ (\ cos \ parti (u \ droit) \ parti (3 \ cos^ {2} \ laissés (u \ droit) - 1 \ droit) - 2 laissés (v \ droit) \ laissés \ cos \ parti (2u \ droits) \ droit)}{80 \ pi^ {3} \ racine carré {8 \ cos^ {2} \ parti (2u \ droit) - \ cos \ parti (2u \ droit) \ parti (24 \ cos^ {3} \ parti (u \ droit) - 8 \ cos \ est parti (u \ droit) +15 \ droit) +6 \ cos^ {4} \ à gauche (u \) droit \ à gauche (1-3 \ sin^ {2} \ à gauche (u \ droit) \ droit) +17}} - \ frac {3 \ cos \ sont partis (u \ droit) - 3} {4} \\ y et = et - \ frac {\ laissé (20u^ {3} - u^ de 65 \ pi {2} +50 \ pi^ {2} u-16 \ pi^ {3} \ droits) \ \ du péché v} {60 \ pi^ {3}} \ z et = et - \ frac {\ racine carré {2} \ laissés (20u^ {3} - u^ de 65 \ pi {2} +50 \ pi^ {2} u-16 \ pi^ {3} \) droit \ péché u \, \ cos v} {15 \ pi^ {3} \ racine carré {8 \ cos^ {2} \ parti (2u \ droit) - \ cos \ parti (2u \ droit) \ parti (24 \ cos^ {3} \ laissés (u \ droit) - 8 \ cos \ ont laissé (u \ droit) +15 \ droits) +6 \ cos^ {4 +17} \ laissé (u \ droit) \ laissé (1-3 \ sin^ {2} u \ droit)}} + \ - de frac {\ péché \ parti (u \) droit \ cos^ {2} \ (u \ droit) + laissé \ péché u} {4} \ frac {\ péché u \, \ cos u} {2} \ extrémité {rangée}$ là où $0 \ le u<2 \ pi \ et 0 \ le v<2 \ pi$ .

Dans cette paramétrisation, $u$ suit la longueur du corps de la bouteille tandis que $v$ circule sa circonférence.

Généralisations

La généralisation de la bouteille de Klein à un genre plus élevé est donnée dans l'article sur le polygone fondamental .

Un autre concept connu sous le nom de surface de Klein

Un Klein extérieur est, quant aux surfaces de Riemann de une surface avec laisser d'atlas ce les fonctions de transition peut se composer avec le le bidon que complexe de la conjugaison un obtient la soi-disant structure de Dianalytic de . Ceci aide à définir le concept extérieur de Klein. Un bénéfice est que même les surfaces non-orientable peuvent avoir ce genre de structure.

Références dans la culture populaire

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Le Futurama série télévisée a une marque de bière, la bière de Klein de , vendue dans une bouteille de Klein.
La nuit et le jour originaux d'amaryllis de de s 2001 de Russell Hoban 'fait l'utilisation étendue de la bouteille de Klein comme métaphore. L'affichage des bouteilles au musée de la Science de Londres, et Alan Bennett lui-même, comportent également dans le livre.
Dans les visiteurs de de livre de l'once , les caractères construisent une bouteille de Klein pour voyager de l'once à la terre.
Dans la trinité de jeu d'Infocom , une bouteille géante de Klein figure en évidence, et est employée pour aider à résoudre un des puzzles.
La magie de : La bouteille sourcilleuse d'Elkin de carte de montre une représentation 3D d'une bouteille de Klein. Le " nommé ; Elkin" ; est un anagramme du " de mot ; Klein" ;.
Dans le animated de de programme télévisé le vrai Ghostbusters , rayon Stantz mentionne des bouteilles de Klein à 1h47 dans le " d'épisode ; Jeninine Melnitz, Ghostbuster, " ; témoin qu'ils sont employés comme méthode d'établir la capacité additionnelle à l'unité de retenue, augmentant la quantité de fantômes ils peuvent stocker.

Voir également

Topologie
Topologie algébrique
Univers d'Alice de
La surface du garçon de
Bande de Möbius de

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