Bimodule

Dans l'algèbre d'abrégé sur un bimodule de est un groupe abélien qui est un module gauche et droit , tels de que les multiplications gauches et droites sont compatibles. Sans compter qu'être évident naturellement dans beaucoup de parties de mathématiques, les bimodules jouent un rôle de clarification, dans le sens que plusieurs des rapports entre les modules gauches et droits deviennent plus simples quand elles sont exprimées en termes de bimodules.

Définition

Si le R et le S sont deux anneaux , alors un R - le S - le bimodule est un M de groupe abélien tels que : Le M est un gauche R - le module et un bon S - module.

Pour tout le r dans le R , s dans le S et le m dans le M : s du
(rm de
de
de ) = r (Mme de ).

Un R - le R - bimodule est également connu comme R - bimodule.

Exemples

pour le positif n de nombres entiers et le m , le n , m ( R ) de _{du M d'ensemble des × du n ; les matrices du m des vrais nombres est un R - bimodule du S , où le R est le n} ( R ) de _{du M d'anneau des × du n ; les matrices du n , et le S est le m} ( R ) de _{du M d'anneau des × du m ; matrices du m . L'addition et la multiplication sont effectuées using les règles habituelles de l'addition de Matrix de et de la multiplication de Matrix de ; les tailles et les largeurs des matrices ont été choisies de sorte que la multiplication soit définie. Noter ce n , le m} ( R ) lui-même de _{du M n'est pas un anneau (à moins que n = m ), parce que multipliant des × du n un ; matrice du m par des autres × du n ; la matrice du m n'est pas définie. La propriété cruciale de bimodule, ce ( X de r ) s = r ( s de X ), est le rapport que la multiplication des matrices est le associatif.
Si le R est un anneau, alors le R lui-même est un R - bimodule, et ainsi est le n (le n de ^{du R - plient le produit direct du R ).
N'importe quel bilatéral idéal d'un R d'anneau est un R - bimodule.
N'importe quel module au-dessus d'un R de l'anneau commutatif est automatiquement un bimodule. Par exemple, si le M est un module gauche, nous pouvons définir la multiplication du côté droit d'être les mêmes que la multiplication du côté gauche. (Cependant, non tout le R - les bimodules surgissent de cette façon.)
Si le M est un gauche R - module, alors M est un R - bimodule du Z , où le Z est l'anneau des nombres entiers de même, le bon R - modules peut être interprété comme Z - des modules du R , et en effet un groupe abélien peuvent être traités comme Z - bimodule du Z .
Si le R est un Subring du S , alors le S est un R - bimodule. C'est également un R - le S et un S - bimodule du R .}}

D'autres notions et faits

Si le M et le N sont le R - bimodules du S , puis un f de carte : Le N de → du M est un homomorphisme de bimodule de si c'est un homomorphisme du gauche R - des modules et du bon S - des modules.

Un R - le bimodule du S est réellement la même chose comme module gauche au-dessus du $R \ de otimes_ \ du mathbb d'anneau {Z} S^$ {op}, où le S ^op est le vis-à-vis de l'anneau de du S (la multiplication étant tourné autour). Les homomorphisms de Bimodule sont identiques que des homomorphisms des modules gauches de S^ de $R \ otimes_ \ mathbb {Z}$ {op}. Using ces faits, beaucoup de définitions et de rapports sur des modules peuvent être immédiatement traduits en définitions et rapports au sujet des bimodules. Par exemple, la catégorie de tout le R - les bimodules du S est le abélien, et les théorèmes standard d'isomorphisme de sont valides pour des bimodules. Il y a cependant quelques nouveaux effets en monde des bimodules, particulièrement quand il vient au produit de tenseur : si le M est un R - le bimodule du S et le N est un S - bimodule du T , alors le produit de tenseur du M et du N (succédé le S d'anneau) est un R - bimodule du T d'une mode normale. Ce produit de tenseur des bimodules est le associatif ( jusqu'à un isomorphisme canonique unique), et on peut par conséquent construire une catégorie dont les objets sont les anneaux et dont les morphisms sont les bimodules. En outre, si le M est un R - le bimodule et le L du S est un T - bimodule du S , puis le réglé S ( M , L ) du Hom_{de tout le S - homomorphisms de module du M au L devient un T - module du R d'une mode normale. Ces rapports se prolongent à l'ext. des functors dérivée par et au massif de roche .}

Le Profunctors peut être vu comme généralisation catégorique des bimodules.

Noter que des bimodules sont pas du tout liés au Bialgebras

Voir également

Profunctor

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