Bijection, injection et surjection

Dans les mathématiques , les injections , les surjections et les bijections sont des classes des fonctions distinguées par la façon dans laquelle les arguments (expressions de d'entrée du domaine ) et les images (expressions de de rendement du Codomain ) sont connexes ou tracé à .
$f\; de\; fonction\; du$

A : \ ; A \ à B est le injectif ( linéaire) de si $de\; \backslash \; forall\; X,\; y\; \backslash \; dans\; A,\; f\; (x)=f\; (y)\; \backslash \; Rightarrow\; x=y\; \backslash$ ou, d'une manière equivalente, si $de$
\ forall X, y \ dans A, x \ quantité nette de substance explosive y \ Rightarrow f (x) \ quantité nette de substance explosive f (y). \ On pourrait également indiquer que des éléments du codomain (parfois appelé gamme par erreur) sont tracés à par tout au plus un élément (argument) du domaine ; non chaque élément du codomain, cependant, le besoin ont un argument tracé à lui. Une fonction injective est une injection .
Une fonction est le surjectif ( de sur ) si chaque élément du Codomain est tracé à par un certain élément (argument) du domaine ; ceci est exprimé logiquement en disant cela pour tout le $y$ en $B$, le $de\; \backslash \; forall\; y\; \backslash \; dans,\; de\; B\; \backslash \; existe\; x\; \backslash \; en\; A\; \backslash \; texte\; \{tel\; que\}\; y\; =\; f\; (x).\; \backslash$ Noter qu'avec cette définition, quelques images peuvent être tracées à par plus d'un argument. (D'une manière equivalente, une fonction où la gamme est égale au codomain.) Une fonction surjective est un surjection .
Une fonction est bijectif du ( de linéaire et sur ) si et seulement si (IFF) c'est le injectif et surjectif. (D'une manière equivalente, le chaque élément de du codomain est tracé à par le exactement un élément de du domaine.) Une fonction bijective est un bijection (correspondance linéaire de ).

(note de : une fonction linéaire du est injective, mais peut pour être surjective, alors qu'une correspondance linéaire est injective et surjective. )

Une fonction injective n'a pas besoin d'être surjective (non tous les éléments du codomain peuvent être associés aux arguments), et une fonction surjective n'a pas besoin d'être injective (quelques images peuvent être associées au plus d'un argument de ). Les quatre combinaisons possibles des dispositifs injectifs et surjectifs sont illustrées dans les diagrammes suivants.

Injection

voient également :

la fonction injective Une fonction est le injectif ( linéaire) si chaque élément possible du codomain est tracé à par tout au plus un argument. D'une manière equivalente, une fonction est injective si elle trace des arguments distincts aux images distinctes. Une fonction injective est une injection . La définition formelle est la suivante.

le $f\; de\; fonction\; :\; A\; \backslash \; à\; B$ est le injectif IFF pour tout le $a,\; b\; \backslash \; dans\; A$, nous ont le $f\; (a)\; =\; f\; (b)\; \backslash \; Rarr\; a\; =\; b.$
f de fonction du

A : &rarr du A ; Le B est injectif si et seulement si le A est vide ou le f est gauche-inversible, c., il y a un g de fonction : &rarr du B ; A tels que f du g o = fonction d'identité sur le A .
Puisque chaque fonction est surjective quand son Codomain est limité à sa gamme , chaque injection induit un bijection sur sa gamme. Plus avec précision, chaque f d'injection : &rarr du A ; Le B peut être factorisé comme bijection suivi d'une inclusion comme suit. Laisser le R de _{du f : &rarr du A ; le f ( A ) soit le f avec le codomain limité à son image, et a laissé le i : &rarr du f ( A ) ; Le B soit la carte d'inclusion du f ( A ) dans le B . Puis f = R} de _{du f du i o. Une factorisation duelle est donnée pour des surjections ci-dessous.
On peut seulement conclure la composition de deux injections est encore une injection, mais si le f du g o est injectif, alors lui que le f est injectif. Voir la figure à la droite.
Chaque enfonçant est injectif.}

Surjection

voient également :

la fonction surjective Une fonction est le surjectif ( sur ) si chaque image possible est tracée à par au moins un argument. En d'autres termes, chaque élément dans le codomain a le non vide Preimage . D'une manière equivalente, une fonction est surjective si sa gamme est égale à son codomain. Une fonction surjective est un surjection . La définition formelle est la suivante.

le $f\; de\; fonction\; :\; A\; \backslash \; à\; B$ est le surjectif IFF pour tout le $b\; \backslash \; dans\; B$, là est $a\; \backslash \; dans\; A$ tels que $f\; (a)\; =\; b.$
f de fonction du

A : &rarr du A ; Le B est surjectif si et seulement s'il est droit-inversible, c., si et seulement s'il y a un g de fonction : &rarr du B ; A tels que g du f o = fonction d'identité sur le B . (Ce rapport est équivalent à l'axiome de du choix .)
En s'effondrant tous les arguments traçant à une image fixe donnée, chaque surjection induit un bijection définie sur un quotient de son domaine. Plus avec précision, chaque f de surjection : &rarr du A ; Le B peut être factorisé comme projection suivie d'un bijection comme suit. Laisser le A /~ être les classes d'équivalence du A sous la relation d'équivalence suivante : y de ~ du X si et seulement si f ( X ) = f ( y ). D'une manière equivalente, le A /~ est l'ensemble de tous les preimages sous le f . Laisser le P (~) : &rarr du A ; Le A /~ soit la carte de projection qui envoie chaque X dans le A à sa classe d'équivalence _~, et a laissé le P de _{du f : &rarr du A /~ ; Le B soit la fonction bien définie donnée par le P} (_~) de _{du f = le f ( X ). Puis f = P (~) du P} o de _{du f . Une factorisation duelle est donnée pour des injections ci-dessus.
On peut seulement conclure la composition de deux surjections est encore un surjection, mais si le f du g o est surjectif, alors lui que le g est surjectif. Voir la figure au right*.}

Bijection

voient également :

la fonction bijective Une fonction est le bijectif si elle est injective et surjective. Une fonction bijective est un bijection (correspondance d'one-one de ). Une fonction est bijectif si et seulement si chaque image possible est tracé à par exactement un argument. Cet état équivalent est formellement exprimé comme suit.

le $f\; de\; fonction\; :\; A\; \backslash \; à\; B$ est le bijectif IFF pour tout le $b\; \backslash \; dans\; B$, il y a un $a\; unique\; \backslash \; dans\; A$ tels que $f\; (a)\; =\; b.$
f de fonction du

A : &rarr du A ; Le B est bijectif si et seulement s'il est inversible, c., il y a un g de fonction : &rarr du B ; A tels que f du g o = fonction d'identité sur le g du A et du f o = fonction d'identité sur le B . Cette fonction trace chaque image à son preimage unique.
On peut seulement conclure la composition de deux bijections est encore un bijection, mais si le f du g o est un bijection, alors lui que le f est injectif et le g est surjectif. (Voir la figure à la droite et les remarques au-dessus de considérer des injections et des surjections.)
Les bijections d'un ensemble à lui-même forme par groupe sous la composition, appelée le le groupe symétrique .

Cardinalité

Supposer que vous voulez définir ce que signifie il pour deux ensembles au " ; avoir le même nombre d'elements" ;. L'one-way pour faire ceci est de dire que " de deux ensembles ; avoir le même nombre d'elements" ; si et seulement si tous les éléments d'un ensemble peuvent être appareillés avec les éléments de l'autre, de telle manière que chaque élément soit appareillé avec exactement un élément. En conséquence, nous pouvons définir deux ensembles au " ; avoir le même nombre d'elements" ; s'il y a un bijection entre eux. Nous disons que les deux ensembles ont la même cardinalité .

Exemples

Il est important de spécifier le domaine et le codomain de chaque fonction puisqu'en changeant ces derniers, les fonctions aux lesquelles nous pensons comme les mêmes peuvent avoir le jectivity différent de . < ! -- quelqu'un changent ces mots svp. MarSch -->

Injectif et surjectif (bijectif)

Pour chaque ensemble A identité fonction id _A et ainsi spécifiquement $\backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; R\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; :\; X\; \backslash \; mapsto\; x$.
$\backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^+\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^+\; :\; X\; \backslash \; mapsto\; x^2$ et ainsi aussi son $\backslash \; mathbf\; inverses\; \{R\}\; ^+\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^+\; :\; X\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; racine\; carrée\; \{x\}$.
Le $de\; lafonction\; exponentielle\backslash \; exp\; :\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; R\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^+\; :\; X\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; mathrm\; \{e\}\; ^x$ et ainsi aussi son inverse le $\backslash \; ln\; du\; logarithme\; naturel\; :\; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; ^+\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; :\; X\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; ln\; \{x\}$

Injectif et non-surjectif

Le $de\; fonction\; exponentielle\; \backslash \; exp\; :\; \backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; R\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; :\; X\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; mathrm\; \{e\}\; ^x$

Non-injectif et surjectif

$\backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; R\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; :\; X\; \backslash \; mapsto\; (x-1)\; x\; (x+1)\; =\; x^3\; -\; x$
$\backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; R\; \backslash \; à\; :\; X\; \backslash \; mapsto\; \backslash \; péché\; (x)$

Non-injectif et non-surjectif

$\backslash \; mathbf\; \{\}\; de\; R\; \backslash \; \backslash \; mathbf\; \{R\}\; :\; X\; \backslash \; mapsto\; x^2$

Propriétés

Pour chaque f de fonction, A de sous-ensemble du domaine et B de sous-ensemble du codomain nous prenons le &sub du A ;   ^{du f ; &minus ; 1} ( fa ) et f (  ^{de f ; &minus ; 1} &sub du B ) ; B . Si le f est injectif nous avons le A =   ^{du f ; &minus ; 1} ( fa ) et si le f est surjectif nous avons le f (  ^{de f ; &minus ; 1} B ) = B .
Pour chaque h de fonction : &rarr du A ; Le C nous pouvons définir un H de surjection : &rarr du A ; h (A) : un &rarr ; h (a) et un I d'injection : h (A) &rarr de ; C : un &rarr ; a. Il suit ce h = H du I o. Cette décomposition est unique jusqu'à l'isomorphisme .

Théorie de catégorie

Dans la catégorie des injections des ensembles , les surjections, et les bijections correspondent avec précision au Epimorphisms des monomorphismes et au Isomorphisms respectivement.

Histoire

Cette terminologie a été à l'origine inventée par le groupe de Bourbaki .

Voir également

Module injectif
Permutation
Trait horizontal essai

.

Random links:

Branwen | Liste de gouverneurs coloniaux en 1881 | Vent du monde de la NASA | Ligue de Côte Pacifique (la Californie) | Peter Holt | Bijection,_inyección_y_surjection

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