Bien-ordre

Dans les mathématiques , une relation du bien-ordre (ou le bien-commandant ) sur un réglé S du est un ordre de total de sur le S avec la propriété que chaque sous-ensemble non vide du de S a un moindre élément dans cette commande. D'une manière equivalente, un bien-ordre est un ordre total bien fondé du . Le d'ensemble S ainsi que la relation de bien-ordre s'appelle alors un l'ensemble well-ordered .

Chaque élément, excepté un plus grand élément possible, a un successeur unique (prochain élément). Chaque sous-ensemble qui a une limite supérieure a un moindre limite supérieure . Il peut y avoir des éléments (sans compter que le moindre élément ) qui n'ont aucun prédécesseur.

Note d'épellation : Le trait d'union est fréquemment omis en journal contemporain, rapportant le wellorder d'épellations, le wellordered, et le wellordering .

Nombres ordinaux

Chaque ensemble well-ordered est uniquement l'ordre isomorphe de à un nombre ordinal unique, appelé le type d'ordre de l'ensemble well-ordered. La position de chaque élément dans l'ensemble commandé est également donnée par un nombre ordinal. Dans le cas d'un ensemble fini, l'opération de base du comptant , pour trouver le nombre ordinal d'un objet particulier, ou pour trouver l'objet avec un nombre ordinal particulier, correspond fondamentalement à assigner des nombres ordinaux un aux objets. La taille (nombre d'éléments, nombre cardinal ) d'un ensemble fini est égale au type d'ordre. Le compte dans le sens journalier commence typiquement à partir d'un, ainsi il assigne à chaque objet la taille du segment initial avec cet objet en tant que pour la dernière fois élément. Noter que ces nombres sont un davantage que les nombres ordinaux formels selon l'ordre isomorphy, parce que ce sont égaux au nombre d'objets plus tôt (qui correspond au compte de zéro). Ainsi pour le fini n , le " d'expression ; n - element" de Th ; d'un ensemble well-ordered exige du contexte de savoir si ceci compte de zéro ou d'un. Dans un " de notation ; &beta ; - element" de Th ; là où &beta ; peut également être un nombre ordinal infini, il comptera typiquement de zéro.

Pour un ensemble infini le type d'ordre détermine la cardinalité , mais pas réciproquement : les ensembles well-ordered d'une cardinalité particulière peuvent avoir beaucoup de différents types d'ordre. Pour un ensemble comptable infini l'ensemble de types d'ordre possibles est même incomptable.

Exemples

le &le de commande standard ; des nombres normaux est un bien-ordre.
Le &le de commande standard ; des nombres entiers n'est pas un bien-ordre, puisque, par exemple, l'ensemble de nombres entiers négatifs du ne contient pas un moindre élément.
Le suivant R de relation est un bien-ordre des nombres entiers : du '' x R y '' si et seulement si un des conditions suivantes se tient :
# X = 0
# le X est positif, et le y est négatif
# le X et le y sont deux positif, et &le du X ; y
# le X et le y sont deux négatif, et &le du y ; X
: Le R peut être visualisé comme suit :
: : 0 1 2 3 4 .
: Le R est isomorphe au &omega du nombre ordinal ; + &omega ;.

une autre relation pour bien-commander les nombres entiers est la définition suivante : du X ; < ; _z ; IFF du y | X | ; < ; | y | ou (| X | ; = ; | y | et du X ; &le ; ; y ). Cet bien-ordre peut être visualisé comme suit : de
0 -1 1 -2 2 ou 3 3 -4 4…

le &le de commande standard ; des vrais nombres de positif n'est pas un bien-ordre, puisque, par exemple, l'intervalle ouvert (0, 1) ne contient pas un moindre élément. Des axiomes du ZFC de la théorie des ensembles (axiome de de choix y compris ) on peut prouver qu'il y a un bien-ordre des reals ; il est également possible de prouver que seuls les axiomes de ZFC ne sont pas suffisants pour prouver l'existence (par une formule) d'un bien-ordre définissable des reals. Toutefois il est compatible à ZFC qui un bien-ordre définissable des reals exister-pour l'exemple, il est compatible à ZFC que le V=L , et lui suit de ZFC+V=L que des bien-ordres d'une formule de détail les reals, ou en effet réglé.

un sous-ensemble incomptable de vrais nombres avec le " standard ; ≤" ; n'est pas well-ordered parce que la vraie ligne peut seulement contenir comptable beaucoup disjoignent des intervalles. Un sous-ensemble mai ou mai comptable infinis ne pas être un bien-ordre avec le " standard ; ≤" ;. Exemples des bien-ordres :
L'ensemble de nombres {- 2^{- n} | 0 n de ≤ < &omega ; } a le type d'ordre &omega ;.
L'ensemble de nombres {- 2^{- n} - 2^{- m - n} | 0 m , n de ≤ < &omega ; } a le type d'ordre &omega ; ². L'ensemble précédent est l'ensemble de points de limite dans l'ensemble. Dans l'ensemble de vrais nombres, avec la topologie ordinaire ou la topologie d'ordre, 0 est également un point de limite de l'ensemble. C'est également un point de limite de l'ensemble de points de limite.
L'ensemble de nombres {- 2^{- n} | 0 n de ≤ < &omega ; } le ∪ {1} a le type d'ordre &omega ; + 1. Avec la topologie d'ordre de de cet ensemble, 1 est un point de limite de l'ensemble. Avec la topologie ordinaire (ou d'une manière equivalente, la topologie d'ordre) des vrais nombres il n'est pas.

Propriétés

Dans un ensemble well-ordered, chaque élément, à moins qu'il soit le plus grand global, a un successeur unique : le plus petit élément qui est plus grand que lui. Cependant, non chaque élément doit avoir un prédécesseur. Comme exemple, considérer une commande des nombres normaux où tous les chiffres pairs sont inférieurs tous les nombres impairs, et la commande habituelle s'applique dans égalise et la chance.

0 2 4 6 8… 1 3 5 7 9…

C'est un ensemble well-ordered de type d'ordre &omega ; ; + ; &omega ;. Noter que tandis que chaque élément a un successeur (il n'y a aucun plus grand élément), manque de deux éléments un prédécesseur : zéro et un.

Si un ensemble est well-ordered, la technique de preuve de l'induction transfinie peut être employée pour montrer qu'un rapport donné est vrai pour tous les éléments de l'ensemble.

Le théorème de Bien-ordre , qui est équivalent à l'axiome de du choix , déclare que chaque ensemble peut être well-ordered. Le théorème de bien-ordre est également équivalent au lemme de Kuratowski-Zorn de .

Dans un ensemble well-ordered, chaque sous-ensemble avec une limite supérieure a un Supremum .

Formulations équivalentes

Si un ensemble est le totalement commandé, alors ce qui suit est équivalent :

l'ensemble est well-ordered. C'est-à-dire, chaque sous-ensemble non vide a un moindre élément.

L'induction transfinie fonctionne pour l'ensemble commandé entier.

Chaque ordre strictement décroissant des éléments de l'ensemble doit se terminer après seulement de façon finie beaucoup d'étapes (assumant l'axiome de de choix dépendant ).

Topologie d'ordre

Chaque ensemble well-ordered peut être transformé en espace topologique en le dotant avec la topologie d'ordre de .

En ce qui concerne cette topologie il peut y avoir deux genres d'éléments :
Points d'isolement - ce sont le minimum et les éléments avec un prédécesseur
Points de limite - ce type ne se produit pas en ensembles finis, et les mai ou mai ne pas se produire dans un ensemble infini ; les ensembles infinis sans point de limite sont les ensembles de type d'ordre &omega ; , par exemple N .

Pour des sous-ensembles nous pouvons distinguer :
Sous-ensembles avec un maximum (c'est-à-dire, sous-ensembles qui sont par se) ; ceci peut être un point d'isolement ou un point de limite de l'ensemble de totalité ; dans le dernier cas il mai ou mai ne pas être également un point de limite du sous-ensemble.
Sous-ensembles qui sont illimités par se mais sont liés dans l'ensemble de totalité ; ils n'ont aucun maximum, mais un supremum en dehors du sous-ensemble ; si le sous-ensemble est non vide ce supremum est un point de limite du sous-ensemble et par conséquent aussi de l'ensemble de totalité ; si le sous-ensemble est vide ce supremum est le minimum de l'ensemble de totalité.
Sous-ensembles qui sont illimités dans l'ensemble de totalité.

Un sous-ensemble est le cofinal dans l'ensemble de totalité si et seulement s'il est illimité dans l'ensemble de totalité ou il a un maximum qui est également maximum de l'ensemble de totalité.

Un ensemble well-ordered en tant qu'espace topologique est un espace Premier-comptable si et seulement s'il a le type d'ordre inférieur ou égal à le ω₁ (), c., si et seulement si l'ensemble est le comptable ou a le type d'ordre incomptable du plus petit .

Voir également

nombre ordinal
Ensemble bien fondé
Ordre partiel bon
Prewellordering
Le a dirigé réglé

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