Begriffsschrift

le Begriffsschrift de est le titre d'un livre court sur la logique par le Gottlob Frege , édité dans le 1879 , et est également le nom du système formel présenté dans ce livre.

Le Begriffsschrift est habituellement traduit en tant que l'écriture de concept de ou notation de concept de ; le plein titre du livre l'identifie comme " ; une langue de la formule , modelée sur celle du arithmétique, du pur a pensé . " ; Le Begriffsschrift était discutablement la publication la plus importante dans la logique puisque le Aristote a fondé le sujet. La motivation de Frege pour développer son approche formelle à la logique a ressemblé le motivation de s de Leibniz à 'pour son ratiocinator de calcul de . Frege a continué pour utiliser son calcul logique dans sa recherche sur les bases de des mathématiques , effectuées au cours du siècle quart suivant.

Notation et le système

Le calcul contient l'apparition des variables mesurées, et est essentiellement la logique de second ordre bivalent classique avec l'identité , quoique présenté using une notation bidimensionnelle fortement idiosyncratique : des liaisons et les quantifiers sont écrits using des lignes reliant des formules, plutôt que le ¬, le ∧, et le ∀ de symboles en service aujourd'hui. Par exemple, ce jugement B implique matériellement le jugement A, c. le

B \ rightarrow A

est écrit As.

Dans le premier chapitre, Frege définit les idées fondamentales et la notation, comme la proposition (" ; judgement" ;), le quantifier universel (" de ; le generality" ;), le conditionnel, négation et le " ; signe pour l'identité du content" ; $\$ équivalent ; dans le deuxième chapitre il déclare neuf propositions formalisées comme axiomes.

En chapitre 1, §5, Frege définit le conditionnel comme suit :

"Laisser A et B se rapporter au contenu judgeable, puis les quatre possibilités sont :

Le calcul dans le travail de Frege

Frege déclare neuf de ses axiomes de propositions. Il les vérifie en discutant officieusement cela, car ils sont prévus pour être compris, ils expriment des vérités. Les axiomes, exprimés en notation plus moderne, sont : \ de

\ vdash de  \ A \ rightarrow \ (B \ rightarrow A \ droit)

laissé de

\ A \ rightarrow \ parti (B \ rightarrow C \ droit) \ \ droit \ \ rightarrow \ \ parti \ \ parti (A \ rightarrow B \ droit) \ rightarrow \ parti (A \ rightarrow C \) droit \ \ bon

\ vdash \ \ \ parti \ D \ rightarrow \ parti (B \ rightarrow A \ droit) \ \ droit \ \ rightarrow \ \ parti \ B \ rightarrow \ parti (D \ rightarrow A \) droit \ \ bon

de \ de

\ vdash \ \ (B \ rightarrow A \ droit) \ laissé \ rightarrow \ \ (\ lnot A \ rightarrow \ lnot B \ droit)

laissé de

\ vdash \ \ \ lnot \ lnot A \

du rightarrow A \ de

\ vdash \ A \ rightarrow \ lnot \

du lnot A

\ vdash \ \ \ parti (c=d \) droit \ rightarrow \ parti (f (c) =

de f (d) \ droit) \ de

\ vdash \ c =

de c \ de

\ vdash \ \ est parti (\ \ forall a : \ de f (a) \ \ droit) \ rightarrow \ f (c)

Ce sont les propositions 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54, et 58. (1) - (3) régissent l'implication matérielle. (4) - (6) régissent la négation. (7) et (8) régissent l'identité ; (7) exprime l'indiscernibility du de Leibniz des identicals ; (8) affirme que l'identité est réfléchie. (9) régit le quantifier universel. Toutes autres propositions sont prouvées par déduction de ces derniers.

Le Begriffschrifft a trois règles d'inférence deux de elles, des ponens de modus de et du " ; la loi du generalization" ; , être explicite, alors que la loi de de la substitution est appelée mais pas énoncée explicitement. Les ponens de modus de nous permet d'impliquer le $\ vdash B$ du $\ du vdash A \ à B$ et $\ vdash A$ . La règle de la généralisation, qui nous permet d'impliquer le $\ vdash P \ rightarrow \ forall X : A (x)$ de $\ de vdash P \ à A (x)$ si le « x » variable ne se produit pas dans « P ». La règle de la substitution est bien plus complexe, et Frege l'applique des manières qui ne sont pas évidemment légitimes.

Le troisième chapitre est intitulé " ; Parties d'un theory" général de série ;. Le souci principal de résultats ce que nous appelons maintenant le " ; ancestral" ; d'une relation. Donné une relation R, Frege indique qu'une propriété F est " ; R-hereditary" ; si, toutes les fois que x est F et xRy, y est aussi F. Frege alors définit b pour être un R-ancêtre de si, et seulement si, b a chaque propriété R-héréditaire cette tous les objets X tels que l'aRx ont. C'est-à-dire, " d'écriture ; b est un R-ancêtre d'a" ; comme " ; aR*b" ; , nous avons :

76 : $\ Vdash aR*b \ équivalent \ forall F X (aRx \ à Fx) \ cale \ forall X \ forall y (Fx \ cale xRy \ à) d'exercice financier \ à FB$ .

Le premier résultat de Frege est alors que cette relation est transitive :

98 : aR*b de $\ vdash \ bR*c de cale \ à l'aR*c$

Son deuxième résultat s'applique seulement aux cas où est R ce que Frege appelle " ; beaucoup-one" ; , c., fonction-comme :

115 : $\ Vdash I (R) \ équivalent \ forall X \ forall y \ forall z (xRy \ xRz de cale \ à y=z)$

Le résultat est que l'héréditaire de R est, car nous dirions aujourd'hui, " ; connected" ; si R est beaucoup-un :

133 : $\ vdash I (R) \ aR*b de cale \ aR*c de cale \ (bR*c \ b=c \ vé en vé cR*b)$

Bien que Frege ne fasse pas ces demandes ici, il est clair que ces résultats soient prévus pour être appliqués dans le sien travail postérieur sur les bases de arithmétique. Ainsi, si nous prenons xRy pour être la relation y=x+1, puis 0R*y est l'attribut : y est un nombre normal, et, dans ce cas-ci, (133) nous dit cela si x, y, et z sont les nombres normaux, puis xsoi-disant " ; loi de " du Trichotomy ;.

L'influence sur autre fonctionne

La formulation de la logique de second ordre dans le Begriffsschrift était la première formalisation de n'importe quelle logique capable de traiter un fragment raisonnable des mathématiques, ou de langue humaine. Tout travail postérieur dans la logique formelle doit de manière significative au Begriffsschrift .

Un certain vestige de la notation de Frege survit dans le " ; " du tourniquet ; le $de symbole \ vdash$ a dérivé de son " ; Inhaltsstrich" ; ── et " ; Urteilsstrich" ; │. Frege a employé ces symboles dans le Begriffsschrift dans le ├─ unifié de forme pour déclarer qu'une proposition est ( tautologically ) rectifient. Il a employé le " ; Definitionsdoppelstrich" ; │├─ comme signe qu'une proposition est une définition. En outre, le $de signe de négation \ neg$ peut être lu comme combinaison du horizontal Inhaltsstrich avec une course verticale de négation. Ce symbole de négation a été présenté par le Arend Heyting en 1930 pour distinguer le intuitionniste de la négation classique.

Dans le Tractatus Logico Philosophicus , Ludwig Wittgenstein de rend hommage à Frege en utilisant le Begriffsschrift de limite comme synonyme le formalisme logique.

L'essai de Frege 1892, " ; " de sens et de référence ; recants certaines des conclusions du Begriffschrifft au sujet de l'identité (dénotée dans les mathématiques par = signe).

Une citation

" ; Si la tâche de la philosophie est de casser la domination des mots au-dessus de l'esprit humain, alors ma notation de concept, étant développé dans ces buts, peut être un instrument utile pour des philosophes que je crois que la cause de la logique a été déjà avancée par l'invention de ce concept notation." ; (Préface au Begriffsschrift )

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