Base

systèmes de numération capables

Dans les systèmes de numération mathématiques , la base ou la base est habituellement le nombre de divers chiffres uniques , y compris zéro, qu'un système de numération de position de du emploie pour représenter des nombres. Par exemple, le système décimal du , le système le plus commun en service aujourd'hui, des utilisations basent dix, par conséquent le nombre maximum qu'un chiffre simple atteindra jamais est 9, après quoi il est nécessaire d'ajouter un autre chiffre pour réaliser un nombre plus élevé.

Le symbole le plus élevé d'un système de numération de position a habituellement la valeur une moins que la valeur de la radix de ce système de numération. Les systèmes de numération de position standard diffèrent les uns des autres seulement dans la radix qu'ils emploient. La radix elle-même est presque toujours exprimée en notation décimale. La radix est un nombre entier qui est plus grand que 1, puisqu'une radix de zéro n'aurait aucun chiffre, et une radix de 1 aurait seulement le chiffre zéro.

Dans les systèmes de numération de position non standard de certain , y compris la numération bijective , la définition de la base ou les chiffres permis dévie le d'après ce qui précède.

Parfois, une notation souscrite est employée où le numéro de base est écrit dans l'indice inférieur après le nombre représenté. Par exemple, $23_8 \$ indique que le numéro 23 est exprimé en base 8 (et est donc l'équivalent en valeur au numéro décimal 19). Cette notation sera employée en cet article.

Système

En décrivant la base dans la notation mathématique , le b de lettre est généralement employé comme symbole pour ce concept, ainsi, pour un système binaire du , du b égale 2. Une autre manière commune d'exprimer la radix est écriture il comme indice inférieur décimal du après le nombre qui est représenté. 1111011₂ implique que le numéro 1111011 est un nombre de la base 2, égale à 123₁₀ (une représentation de notation décimale ), 173₈ ( octal) et 7B₁₆ ( hexadécimal). En employant les abréviations écrites des bases de numération, la radix n'est pas imprimée : La binaire 1111011 est identique que 1111011₂.

Le b de base peut également être indiqué par le " d'expression ; " bas du b ;. Ainsi nombres binaire (la base 2) ont la base 2 ; nombres octaux (la base 8) ont la base 8 ; nombres décimaux (la base 10) ont la base 10 ; et ainsi de suite. Noter que ceci signifie que 10_{le b} = b ₁₀ est vrai pour n'importe quel bas b . (Exemples : 10₂ = 2₁₀ ; 10₃ = 3₁₀ ; 10₁₆ = 16₁₀.)

Les nombres d'un donné b de base ont les chiffres {0, 1,…, b -2, b -1}. Ainsi, les nombres binaire ont les chiffres {0, 1} ; les nombres décimaux ont les chiffres {0, 1, 2,…, 8, 9} ; et ainsi de suite. Ainsi ce qui suit sont des erreurs d'écriture et ne semblent pas raisonnable : 52₂, 2₂, 1A₉. (Dans tous les cas, un ou plusieurs chiffres n'est pas dans l'ensemble de chiffres permis pour la base donnée.)

Travail de bases using l'élévation à une puissance . La valeur d'un chiffre est le chiffre multiplié par la valeur de son endroit. Les valeurs d'endroit sont le nombre de la base augmentée à la puissance de Th du n , où le n est le nombre d'autres chiffres entre le chiffre courant et la virgule décimale. Si le chiffre courant est du côté de main gauche de la virgule décimale (c., elle est plus grande que 1) alors le n est positif ; si le chiffre est du côté droit du n de virgule décimale (c., il est partiel) alors est négatif.

Par exemple, le numéro 465 dans sa base respective « b » (qui doit être au moins la base 7 parce que le chiffre le plus élevé dans lui est 6) est égal à : $4 \ périodes b^2 + 6 \ périodes b^1 + 5 \ périodes b^0$

Si le numéro 465 était dans la base 10, alors il égalerait : $4 \ périodes 10^2 + 6 \ périodes 10^1 + 5 \ périodes 10^0 = 4 \ périodes 100 + 6 \ périodes 10 + 5 \ périodes 1 = 465$ (465₁₀ = 465₁₀)

Si cependant, le nombre étaient dans la base 7, alors il égalerait : $4 \ périodes 7^2 + 6 \ périodes 7^1 + 5 \ périodes 7^0 = 4 \ périodes 49 + 6 \ périodes 7 + 5 \ périodes 1 = 243$ (465₇ = 243₁₀)

Les nombres qui ne sont pas utilisation des nombres entiers place au delà d'une virgule décimale . Pour chaque position derrière ce point (et ainsi après le chiffre d'unités), les diminutions du n de puissance de 1. par exemple, le numéro 2.35 est égale à : $2 \ périodes 10^0 + 3 \ périodes 10^ {- 1} + 5 \ périodes 10^ {- 2}$

Ce concept peut être démontré using un diagramme. Un objet représente une unité. Quand le nombre d'objets est égal à ou plus grand que le bas b , alors un groupe d'objets est créé avec des objets du b . Quand le nombre de ces groupes dépasse le b , alors un groupe de ces groupes d'objets est créé avec des groupes du b d'objets du b ; et ainsi de suite. Ainsi le même nombre dans différentes bases aura différentes valeurs :

241 dans la base 5 : 2 groupes de ² 5 (25) 4 groupes de 5 1 groupes de 1 ooooo d'ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo d'ooooo + + o ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo d'ooooo

241 dans la base 8 : 2 groupes de ² 8 (64) 4 groupes de 8 1 groupes de 1 oooooooo d'oooooooo oooooooo d'oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo d'oooooooo + + o oooooooo d'oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo oooooooo d'oooooooo oooooooo d'oooooooo

Représentations infinies

La représentation des non-nombres entiers peut être prolongée pour permettre une corde infinie des chiffres au delà du point.12112111211112… la base 3 représente la somme de la série infinie :
$1 de \ 1 des périodes 3^ {0 \, \, \,} + \$
$1 des périodes 3^ {- 1 \, \,} + 2 \ périodes 3^ {- 2 \, \, \,} +$ \
des périodes 3^ {- 3 \, \,} + 1 \ périodes 3^ {- 4 \, \, \,} + 2 \ périodes 3^ {- 5 \, \, \,} + $1 \ périodes 3^ {- 6 \, \,} + 1 \ périodes 3^ {- 7 \, \, \,} + 1 \chronomètre le de 3^ {- 8 \, \, \,} + 2 \ périodes 3^ {- 9 \, \, \,} +$ $1 \ périodes 3^ {- 10} + 1 \ périodes 3^ {- 11} + 1 \ périodes 3^ {- 12} + 1 \ périodes 3^ {- 13} + 2 \ périodes 3^ {- 14} +…$

Puisqu'une corde infinie complète des chiffres ne peut pas être explicitement écrite, les points de suspension de remorquage (.) indiquent les chiffres omis, qui des mai ou mai ne pas suivre un modèle d'une certaine sorte. Un modèle commun est quand un ordre fini des répétitions de chiffres infiniment. Ceci est indiqué en dessinant une barre à travers le bloc de répétition : $de {314} _5 = 2.42314314314314314… _5$

La base 10 c'est réclamé une décimale de reproduction ou décimale de répétition.

Un nombre irrationnel a une représentation non-repeating infinie dans toutes les bases de nombre entier. Si un nombre raisonnable a une représentation finie ou l'exige une représentation de répétition infinie dépend de la base. Par exemple, un tiers peut être représenté par :
$. \ overline3_ {10} = 0.3333333…$
$0 du _ {10}$ .2_6 de l'overline {01} _2 \,

Pour le p de nombres entiers et le q avec le le '' gcd '' ( p , q ) = 1, le p / q de la fraction a une représentation finie dans le bas b si et seulement si chaque facteur principal du q est également un facteur principal du b .

Pour une base donnée, tout nombre qui peut être représenté par un nombre fini de chiffres (sans employer la notation de barre) aura les représentations multiples, y compris un ou deux représentations infinies :
1. Un nombre fini ou infini de zéros peut être apposé : $3.46 \ overline0_7$ . Le dernier chiffre différent de zéro peut être réduit d'on et une corde infinie des chiffres, chacune qui correspond à une moins que la base, sont apposées (ou remplacer tous les chiffres zéro suivants) : $. \ overline9_ {10}$
$220_5 = 214. \ overline4_5$

Rapport entre de vrais nombres et leurs représentations

La notation peut être encore augmentée en permettant une conduite sans le signe. Ceci permet la représentation des nombres négatifs. Pour une base donnée, chaque représentation correspond à exactement un vrai nombre et chaque vrai nombre a au moins une représentation. Les représentations des nombres raisonnables sont ces représentations qui sont finies, emploient la notation de barre, ou finissent avec infiniment une répétition du cycle des chiffres.

Conversion parmi le bases< ! -- Cette section est liée du duodécimal -->

Des bases peuvent être converties entre l'un l'autre en traçant le diagramme ci-dessus et en réarrangeant les objets pour se conformer la nouvelle base, par exemple : 241 dans la base 5 : 2 groupes de ² 5 4 groupes de 5 1 groupes de 1 ooooo d'ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo d'ooooo + + o ooooo ooooo ooooo ooooo ooooo d'ooooo

est égal à 107 dans la base 8 : 1 groupe de ² 8 0 groupes de 8 7 groupes de 1 oooooooo oooooooo o o oooooooo oooooooo + + o o o oooooooo oooooooo o o oooooooo oooooooo

Il y a, cependant, une méthode plus courte qui est fondamentalement la méthode ci-dessus calculée mathématiquement. Puisque nous travaillons dans la base dix normalement, il est plus facile de penser aux nombres de cette façon et donc plus facile de les convertir pour baser dix premiers, bien qu'il soit possible (mais difficile) de convertir directement entre les bases non-décimales sans employer cette étape intermédiaire.

Un de nombre un du n de _{de un n -1} de _{de … un de ₂ un de ₁ un ₀ où a₀, un ₁… le un n} de _{de sont tous les chiffres dans un b (note de base de qui ici, l'indice inférieur ne se rapporte pas au numéro de base ; il se rapporte à différents objets), le nombre peut être représenté dans n'importe quelle autre base, y compris la décimale, par : le $de \ ^n du sum_ {i=0} \ ont laissé (b^i d'a_i \ périodes \ droit)$}

Ainsi, dans l'exemple ci-dessus : $241_5 = 2 \ périodes 5^2 + 4 \ périodes 5^1 + 1 \ périodes 5^0 = 50 + 20 + 1 = 71_ {10}$

Pour convertir de la décimale en autre basse doit simplement commencer à se diviser par la valeur de l'autre base, puis à diviser le résultat de la première division et à donner sur le reste, et ainsi de suite jusqu'à ce que la base soit plus grande que le résultat (ainsi le résultat de la division être un zéro). Alors le nombre dans la base désirée est les restes étant la valeur la plus significative celle correspondant à la dernière division et la moindre valeur significative est le reste de la première division.

L'exemple le plus commun est celui du changement du décimal-binaire.

Applications

Le système décimal du , la base 10, est la base utilisée dans la vie quotidienne. On le croit que ceci est survenu parce que les êtres humains ont dix doigts (deux pouces y compris). Cependant, d'autres civilisations et contextes ont employé différentes bases.

Systèmes historiques

La civilisation babylonienne du a employé un système de la base 60. Il n'y avait pas, cependant, 60 symboles différents, car on s'attendrait au &mdash ; chaque " ; digit" ; a été représenté par un système décimal modifié, par exemple, " ; 12 35 1" = 12× ; 60² + 35× ; 60 + 1. Les Babyloniens ont eu leurs propres symboles de nombre.

D'autres bases dans la langue humaine

Un certain nombre de langues indigènes australiennes utilisent la binaire ou binaire-comme compter des systèmes. Par exemple, dans le Kala Lagaw Ya , les numéros un à six sont l'urapon , le ukasar, l'ukasar-urapon , le ukasar-ukasar, l'ukasar-ukasar-urapon , le ukasar-ukasar-ukasar de de de .

Les divers systèmes de la mesure traditionnels emploient le compte duodécimal du (base douze), qui en anglais est représentés par des limites telles que le douzaine (12) et brut (144 = X12 12), et des mesures telles que le pied (12 pouces) de .

Certaines langues européennes comprenant le Basque, le français et le danois incorporent des éléments d'un vigésimal (base-vingt) comptant le système.

Calcul

Dans le calculant , le binaire (la base 2) et les bases hexadécimales du (base 16) sont employées. Les ordinateurs, au niveau le plus simple, traitent seulement des ordres de 1s et de 0s conventionnels, ainsi il est plus facile dans ce sens de traiter des puissances de deux. Le système hexadécimal est survenu comme sténographie pour la binaire - chaque 4 éléments binaires se rapporte à un et seulement un chiffre hexadécimal. Dans l'hexadécimal, les six chiffres après que 9 soient dénotés par A, B, C, D, E et F (parfois a, b, c, d, e, f).

Le système de numération octal du est également employé en tant qu'autre manière de représenter des nombres binaire. Dans ce cas-ci la base est 8 et donc seulement les chiffres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 et 7 sont employés. En convertissant de binaire en octal chaque 3 éléments binaires se rapportent à un et seulement un chiffre octal.

Voir également

à base multiple
Base négative
Emplacement de la virgule
Sorte de base
Superbase décimal

Random links:

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