Bande de Möbius

La bande de Möbius de ou bande de Möbius de ( ˈmoʊbiːəs ou /ˈmeɪbiːəs/ , commencement du c. avec le " ; Moe" ; ou " ; may" ; ; Allemand ˈmøbiʊs ) est une surface avec seulement un côté et seulement un composant de frontière de . Elle a la propriété mathématique d'être le non-orientable. C'est également une surface ordonnée par . Il a été découvert indépendamment par le allemand août Ferdinand Möbius des mathématiciens du et le Johann Benoît énumérant dans le 1858 .

Un modèle peut facilement être créé en prenant une bande de papier et la donner moitié-tordent, et puis la jointure des extrémités de la bande ensemble pour former une bande simple. Dans l'espace euclidien il y a en fait deux types de bandes de Möbius selon la direction du moitié-tordent : dans le sens des aiguilles d'une montre et dans le sens contraire des aiguilles d'une montre. La bande de Möbius est donc le chiral de , qui est de dire que c'est " ; handed" ;.

Il est franc pour trouver les équations algébriques les solutions dont avoir la topologie d'une bande de Möbius, mais en général ces équations ne décrivent pas la même forme géométrique qui on obtient du modèle de papier twisted décrit ci-dessus. En particulier, le modèle de papier twisted est une surface développable (il de a la courbure gaussienne nul). Un système des équations différentiel-algébriques qui décrit des modèles de ce type a été édité dans le 2007 ainsi que sa solution numérique.

Propriétés

La bande de Möbius a plusieurs propriétés curieuses.

Un modèle d'une bande de Möbius peut être construit en joignant les extrémités d'une bande de papier avec un simple moitié-tordent. Une ligne tracée à partir de la couture en bas du milieu se réunira en arrière à la couture mais au " ; l'autre side" ;. Si continu la ligne rencontrera le point de départ et sera la double la longueur de l'original dépouillent du papier. Cette courbe continue simple démontre que la bande de Möbius a seulement une frontière .

Si la bande est coupée le long environ d'un tiers du chemin dedans à partir du bord, crée deux bandes : On est une bande plus mince de Möbius - c'est le tiers central de la bande originale. L'autre est une longue bande avec deux pleines torsions dans lui - c'est un voisinage du bord de la bande originale.

Alternativement, coupant une bande de Möbius suivant la ligne ci-dessus, au lieu d'obtenir deux bandes séparées, ce devient une longue bande avec deux pleines torsions dans lui, qui n'est pas une bande de Möbius. Ceci se produit parce que la bande originale a seulement un bord qui est deux fois tant que la bande originale du papier. Le découpage crée un deuxième bord indépendant, moitié dont était de chaque côté du couteau ou des ciseaux. La coupure de ce nouveau, plus long, dépouillent vers le bas le milieu crée deux bandes enroulées autour de l'un l'autre.

D'autres combinaisons intéressantes des bandes peuvent être obtenues en faisant des bandes de Möbius avec deux ou plus moitié-tord dans eux au lieu d'une. Par exemple, une bande avec trois moitié-tord, une fois divisée en long, devient une bande attachée dans un noeud de minette de . La coupure d'une bande de Möbius, lui donnant des frais supplémentaires tord, et le rebranchement des extrémités produit les figures inattendues appelées les anneaux de Paradromic de

La géométrie et topologie

L'one-way pour représenter la bande de Möbius comme sous-ensemble de ³ du R emploie la paramétrisation :

$x\; (u,\; v)=\; \backslash \; parti\; (1+\; \backslash \; frac\; \{v\}\; \{2\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; frac\; \{u\}\; \{2\}\; \backslash )\; droit\; \backslash \; cos\; (u)$

$y\; (u,\; v)=\; \backslash \; parti\; (1+\; \backslash \; frac\; \{v\}\; \{2\}\; \backslash \; cos\; \backslash \; frac\; \{u\}\; \{2\}\; \backslash )\; droit\; \backslash \; péché\; (u)$

$z\; (u,\; v)=\; \backslash \; frac\; \{v\}\; \{2\}\; \backslash \; péché\; \backslash \; frac\; \{u\}\; \{2\}$

là où et $-1\; \backslash \; leq\; v\; \backslash \; leq\; 1$. Ceci crée une bande de Möbius de la largeur 1 dont le cercle central a le rayon 1, se situe dans le X - avion du y et est centré à (0. Le u de paramètre fonctionne autour de la bande tandis que le v se déplace d'un bord à l'autre.

Dans les coordonnées polaires cylindrique ( r , θ, z ) de , une version illimitée de la bande de Möbius peut être représentée par l'équation : $de\; \backslash \; =z\; \backslash \; cos\; denotation(r)\; \backslash \; péché\; \backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; thêta\}\; \{2\}\; \backslash \; droit)\; \backslash \; parti\; (\backslash \; frac\; \{\backslash \; thêta\}\; \{2\}\; \backslash \; droit).$

Le topologiquement , la bande de Möbius peut être défini comme × de la place avec ses côtés identifié par de dessus et de bas par le ~ de relation ( X , 0) (1 - X , 1) pour 0  ; ≤  ;   du X ; ≤  ; 1, comme dans le diagramme du côté droit.

La bande de Möbius est une tubulure bidimensionnelle (c. une surface de contrat de de ) avec la frontière. C'est un exemple standard d'une surface qui n'est pas le orientable. La bande de Möbius est également un exemple standard employé pour illustrer le concept mathématique d'un faisceau de fibres . Spécifiquement, c'est un paquet non trivial au-dessus du S ¹ de cercle avec une fibre l'intervalle unitaire , le I =. Regarder seulement le bord de la bande de Möbius donne un paquet non trivial de deux points (ou Z ₂) au-dessus du S ¹.

Une construction simple de la bande de Möbius qui peut être employée pour la dépeindre dans des infographies ou des paquets de modélisation est comme suit :

Prendre une bande rectangulaire. La tourner autour d'un point fixe pas dans son avion. À chaque étape tourner également la bande selon une ligne dans son avion (la ligne qui divise la bande dans deux) et la perpendiculaire jusqu' le rayon orbital principal. La surface produite sur 1 révolution complète est la bande de Möbius.

Bande de Möbius avec le bord plat

Le bord d'une bande de Möbius est topologiquement équivalent au cercle . Sous les embeddings habituels de la bande dans l'espace euclidien, comme ci-dessus, ce bord n'est pas un cercle (plat) ordinaire. Il est possible au enfoncent une bande de Möbius dans les trois-dimensions de sorte que le bord soit un cercle, et la figure en résultant s'appelle la bande soudanaise de Möbius.

Pour voir ceci, considérer d'abord tel inclure dans le S de la sphère du 3 le ³ considéré comme un sous-ensemble de R ⁴. Une paramétrisation pour ceci qui enfonce est donnée par = de $z\_1\; \backslash \; péché\; \backslash \; eta\; \backslash ,\; =\; de$
d'e^ {I \ phi} $z\_2\; \backslash \; cos\; \backslash \; eta\; \backslash ,\; e^\; \{I\; \backslash \; phi/2\}.$ Ici nous avons employé la notation complexe et considéré le R ⁴ comme le ² du C . Le $de\; paramètre\; \backslash \; eta$ fonctionne de $0$ au $\backslash \; pi$ et le $\backslash \; phi$ fonctionne de $0$ à $2\; \backslash \; à\; pi$. Depuis le $|z\_1|^2\; +\; |z\_2|^2\; =\; 1$ la surface incluse se trouve entièrement sur le ³ du S . La frontière de la bande est donnée par le $|z\_2|\; =\; 1$ (correspondant au $\backslash \; à\; eta\; =\; 0,\; \backslash \; pi$), qui est clairement un cercle sur la sphère 3.

Pour obtenir un encastrement de la bande de Möbius dans le ³ un du R trace le ³ du S au ³ du R par l'intermédiaire d'une projection stéréographique . Le point de projection peut être n'importe quel point sur le ³ du S qui ne se trouve pas sur la bande incluse de Möbius (ceci élimine tous les points habituels de projection). Les projections stéréographiques tracent des cercles aux cercles et préserveront la frontière circulaire de la bande. Le résultat est un encastrement sans heurt de la bande de Möbius dans le ³ du R avec un bord circulaire et aucunes individu-intersections.

Objets relatifs

Un objet géométrique « étrange » étroitement lié est la bouteille de Klein de . Une bouteille de Klein peut être produite en collant deux bandes de Möbius ensemble le long de leurs bords ; ceci ne peut pas être fait dans l'espace euclidien tridimensionnel ordinaire sans créer des individu-intersections.

Une autre tubulure étroitement liée est le vrai avion projectif . Si un disque circulaire est coupé du vrai avion projectif, ce qui est laissé est une bande de Möbius. Allant dans l'autre direction, si on colle un disque à une bande de Möbius en identifiant leurs frontières, le résultat est l'avion projectif. Afin de visualiser ceci, il est utile de déformer la bande de Möbius de sorte que sa frontière soit un cercle ordinaire (voir ci-dessus). Le vrai avion projectif, comme la bouteille de Klein, ne peut pas être inclus dans les trois-dimensions sans individu-intersections.

Dans la théorie de graphique , l'échelle de Möbius de est un graphique cubique étroitement lié à la bande de Möbius.

Art et culture populaire

La bande de Möbius a fourni l'inspiration pour des sculptures et pour l'art. Escher d'artiste était fanatique de lui et a basé plusieurs de ses lithographies là-dessus. Un exemple célèbre, bande II , fourmis de Möbius de de dispositifs rampant autour de la surface d'une bande de Möbius. C'est également un dispositif récurrent dans des histoires de la science-fiction , telles que le de s de Clarke C. Arthur 'le mur de l'obscurité . Les histoires de la science-fiction suggèrent parfois que notre univers pourrait être un certain genre de bande généralisée de Möbius. C'est particulièrement en avant dans le Perry Rhodan - série. Dans le " d'histoire courte ; Un souterrain appelé Moebius" ; , par A. Allemand, l'autorité du souterrain de Boston établit une nouvelle ligne, mais le système devient ainsi a embrouillé qu'il se transforme en bande de Möbius, et les trains démarrent pour disparaître. La bande de Möbius comporte également en évidence dans le série de Necroscope de s de Lumley Brian 'de romans.

Un limerick populaire est souvent associé à cette conception qui lit

"Un mathématicien a confié le
qu'une bande de Möbius est unilatérale,
et vous obtiendrez tout à fait un rire, le
si vous coupez un dans la moitié,
pour elle reste dans l'une seule pièce quand divided" ;

Dans le " épisodique populaire de MMORPG ; Guilde Wars" ; , là existe une attaque appelée le " ; Moebius Strike" ; ; il est soi-disant, parce qu'il donne au joueur la puissance d'employer continuellement leur chaîne d'attaque (il continue pour toujours, tout comme une bande de Möbius).

Dans le " ; A. Botts et le Moebius Strip" ; , une histoire courte par William Hazlett Upson d'abord édité en 1945 dans le poteau , les restitches de samedi soir de protagoniste secrètement une bande de conveyeur pour former une bande de Möbius pour frustrer la tentative d'un supérieur au " ; peindre l'extérieur, mais pas l'inside" ; de la ceinture comme mesure de sécurité.

Dans le " d'épisode de SeaQuest DSV ; Playtime" ; une bande de Möbius est employée pour montrer une théorie impliquant le voyage de temps et le continuum de l'espace/temps.

" ; Moebius" ; est le titre d'un épisode de Stargate SG-1 de impliquant le voyage de temps où les chronologies alternatives montrées l'enveloppe autour comme une bande de möbius.

Le F-Zero GX de jeu vidéo (pour le Gamecube de Nintendo ) comporte un circuit appelé le " ; Plant" vert ; , qui est une bande géante de Möbius.

Le de chanson de Nelly Furtado hé, homme ! contient les textes suivants : de nous sommes une partie d'un de
du cercle qu'elle est comme un la bande de Möbius et elle disparaît 'arrondissent et ' rond jusqu'à ce qu'elle perde un lien

Le sonique la série de bande dessinée de hérisson, basée sur la série de jeu vidéo, a lieu sur la planète Mobius. Ceci provient d'une traduction erronée de Yuji Naka déclarant qu'une bande de Möbius a été employée dans le de jeu vidéo sonique le hérisson 2 .

Le japonais de bande Mâle-Font tic tac son de chanson de que le nouvel amoureux contient les textes suivants :

Textes anglais : le

en ce moment, nous a laissés jeter la larme ouverte de la boite de Pandore et disperser l'anneau de Möbius, et casser libre

Textes japonais : Pandore de

aucun tokihanatou de ringu de mebiusu de kakete de Chigire de l'akehanateyo d'ima d'OE de hako

Le ils pourraient être des opérateurs de chanson de Giants se tiennent prêt contient les textes suivants : les opérateurs de

se tiennent prêt les cigarettes de tabagisme de et le passage potable de de
du café autour de l'image d'une bande de Möbius

L'affaiblissement de source de chanson des chèvres de montagne contient les textes suivants : de que je souhaite que la route occidentale du Texas ait été un la bande de Möbius je pourrais le monter dehors pour jamais

L'amour et l'attraction de chanson de Darren Hayes contient les textes suivants : le de cette bande est Mobius qu'elle est interminable.

Le Iain original encaisse 'que l'usine de guêpe contient une référence : le de mon père m'a par le passé eu croire que la terre était une bande de Möbius, pas une sphère. (chapitre un)

le logo toujours de la marque des serviettes sanitaires faites par le Procter & Gamble contient une bande de Möbius sous forme de symbole d'infini de .
le

logo de l'architecture de puissance de de s d'IBM le 'se compose d'une bande de Möbius sous forme de « P ».

dans la présentation horizontale sur microfilm de Dilbert à partir du 14 décembre 2007, Wally se rapporte à sa liste de travail car une bande de Möbius dans laquelle chaque tâche l'a exigé de faire une autre tâche jusqu'à ce qu'elle ait tout fait une boucle - arrière sur elle-même.

Occurrence et utilisation dans la nature et la technologie

Il y a eu des applications techniques. Des bandes géantes de Möbius ont été employées en tant que bandes de conveyeur qui dernier plus longtemps parce que la superficie entière de la ceinture obtient le même montant d'usage, et en tant que bandes d'enregistrement de continu-boucle (pour doubler le temps de jeu). Les bandes de Möbius sont communes dans la fabrication des rubans d'imprimeur et de machine à écrire d'ordinateur de tissu, car elles permettent au ruban d'être deux fois plus large que la tête d'impression tout en en utilisant les deux moitié-bords également.

Un dispositif appelé une résistance de Möbius de est un élément de circuit électronique qui a la propriété de décommander sa propre réactance inductive. Le Nikola Tesla a breveté la technologie semblable au début des années 1900 : " ; Enroulement pour électro Magnets" ; a été prévu pour l'usage avec son système de transmission de l'électricité globale sans fils.

Dans la physique /electro-technology de :
en tant que résonateur compact avec la fréquence de résonance avec la moitié des enroulements linéaires identiquement construits.
en tant que résistance inductionless.
comme supraconducteurs avec la température de transition élevée

En chimie /nano-technology de :
en tant que « molécules de noeud » avec des caractéristiques spéciales (Knotane, Chirality)
en tant que moteurs moléculaires
comme volume de Graphene (nano-graphite) avec de nouvelles caractéristiques électroniques, comme le magnétisme hélicoïdal
Dans un type spécial d'aromaticity : Möbius aromaticity
Les particules chargées, qui ont été attrapées dans le champ magnétique de la terre, peuvent se déplacer sur une bande de Möbius
La protéine cyclique Kalata B1, substance active de l'usine Oldenlandia., comme traitements de nature par exemple pour l'introduction de naissance, a une topologie de Möbius

Voir également

Croix-chapeau
Bouteille de Klein de
Liste de des cycles
Boucle
Noeud moléculaire
Paradoxe
Vrai avion projectif
Boucle étrange

.

Random links:

Tsuyoshi Dōmoto | Takahama, Aichi | Todd Blackadder | Long Ashton | Discographie de Paul McCartney | Tira_de_Möbius

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