Bêta fonction

Dans les mathématiques , la bêta fonction , a également appelé le Euler intégral de la première sorte, est une fonction spéciale définie près

$\backslash \; mathrm\; \{\backslash \; bêta\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; int\_0^1t^\; \{x-1\}\; (1-t)\; ^\; \{y-1\}\; \backslash ,\; décollement\; \backslash \; !$

pour le Re ( X ), au sujet ( y ) > de 0.

La bêta fonction a été étudiée par le Euler et le Legendre et a été donnée son nom par le Jacques Binet .

Propriétés

La bêta fonction est le symétrique, signifiant cela

$\backslash \; mathrm\; \{\backslash \; bêta\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{\backslash \; bêta\}\; (y,\; x).\; \backslash \; !$

Il a beaucoup d'autres formes, incluant :

$\backslash \; mathrm\; \{\backslash \; bêta\}\; (x,\; y)=\; \backslash \; dfrac\; \{\backslash \; gamma\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; gamma\; (y)\}\; \{\backslash \; gamma\; (x+y)\}\; \backslash \; !$

$\backslash \; mathrm\; \{\backslash \; bêta\}\; (x,\; y)\; =\; 2\; \backslash \; int\_0^\; \{\backslash \; pi/2\}\; \backslash \; sin^\; \{2x-1\}\; \backslash \; thêta\; \backslash \; cos^\; \{2y-1\}\; \backslash \; thêta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; thêta,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; au\; sujet\; de\; (x)>0,\; \backslash \; \backslash \; au\; sujet\; de\; (y)>0\; \backslash \; !$

$\backslash \; mathrm\; \{\backslash \; bêta\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; int\_0^\; \backslash \; infty\; \backslash \; dfrac\; \{t^\; \{x-1\}\}\; \{(1+t)^\; \{x+y\}\}\; \backslash ,\; décollement,\; \backslash \; qquad\; \backslash \; au\; sujet\; de\; (x)>0,\; \backslash \; \backslash \; au\; sujet\; de\; (y)>0\; \backslash \; !$

$\backslash \; mathrm\; \{\backslash \; bêta\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; dfrac\; \{1\}\; \{y\}\; \backslash \; ^\; du\; sum\_\; \{n=0\}\; \backslash \; (-\; ^n\; \backslash \; dfrac\; infty\; de\; 1)\; \{\_\; (y)\; \{n+1\}\}\; \{n\; !\; (x+n)\}\; \backslash \; !$

là où $\backslash \; gamma\; (x)$ est la fonction gamma et ( X ) le n de _{est le factoriel en baisse ; c., $x\; (x\; -\; 1)\; (x\; -\; 2)\dots \; (x\; -\; n\; +\; 1)$. La deuxième identité montre en particulier le $\backslash \; =\; du\; gamma\; (1/2)\; \backslash \; racine\; carrée\; \backslash \; pi$.}

Juste comme la fonction gamma pour des nombres entiers décrit le Factorials la bêta fonction peut définir un coefficient binomial après ajustement des index : = de $de\; \{n\; \backslash \; choisissent\; k\}\; \backslash \; frac1\; \{(n+1)\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\; (n-k+1,\; k+1)\}$

La bêta fonction était le premier connu dispersant l'amplitude dans la théorie de corde de , d'abord conjecturée par le Gabriele Veneziano .

Rapport entre la fonction gamma et la bêta fonction

Pour dériver la représentation intégrale de la bêta fonction, écrire le produit de deux factorials As

$\backslash \; mathrm\; \{\backslash \; gamma\; (x)\; \backslash \; gamma\; (y)\}\; =\; \backslash \; int\_0^\; \backslash \; infty\; \backslash \; e^\; \{-\}\; u^\; u\; \{x-1\}\; \backslash ,\; du\; \backslash \; int\_0^\; \backslash \; infty\; \backslash \; e^\; \{-\; v\}\; v^\; \{y-1\}\; \backslash ,\; dv.\; \backslash \; !$

Maintenant, laisser le $u\; \backslash \; a^2$ équivalent, $v\; \backslash \; b^2$ équivalent, ainsi le $de$

\ commencent {aligner} \ mathrm {\ gamma (x) \ (y)} &= gamma 4 \ int_0^ \ infty \ e^ {-} a^ a^2 {2x-1} \ mathrm {d} a \ int_0^ \ infty \ e^ {- b^2} b^ {2y-1} \, \ de DB \ &= \ ^ d'int_ {- \ infty} \ infty \ \ ^ d'int_ {- \ infty} \ infty \ e^ {- (a^2+b^2)} |a|^ {2x-1} |b|^ {2y-1} \, le DA \, DB. \ extrémité {aligner} \ !

Transformant aux coordonnées polaires avec le $a\; =\; le\; r\; \backslash \; cos\; \backslash \; theta$, $b\; =\; r\; \backslash \; péché\; \backslash \; theta$ : le $de$

\ commencent {aligner} \ mathrm {\ gamma (x) \ (y)} &= gamma \ int_0^ {2 \ pi} \ \ int_0^ \ infty \ e^ {- r^2} |r \ cos \ thêta|^ {2x-1} |r \ péché \ thêta|^ {2y-1} r \, Dr. \, \ de d \ thêta \ &= \ int_0^ \ infty \ e^ {-} r^ r^2 {2x+2y-1} \, Dr. \ int_0^ {} de 2 \ pi \ |\ cos^ {2x-1} \ thêta \ sin^ {2y-1} \ thêta| \, \ de d \ thêta \ &= \ frac {1} {2} \ r^ d'int_0^ \ infty \ e^ {- r^2} {2 (x+y-1)} \, d (r^2) 4 \ int_0^ {\ pi/2} \ \ cos^ {2x-1} \ thêta \ sin^ {2y-1} \ thêta \, \ de d \ thêta \ &= \ gamma (x+y) 2 \ int_0^ {\ pi/2} \ \ cos^ {2x-1} \ thêta \ sin^ {2y-1} \ thêta \, \ de d \ thêta \ &= \ gamma (x+y) \ bêta (, de x \, y). \ extrémité {aligner} \ !

Par conséquent, récrire les arguments avec la forme habituelle de bêta fonction :

$\backslash \; Bêta\; (,\; de\; x\; \backslash ,\; y)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (x)\; \backslash ,\; \backslash \; gamma\; (y)\}\; \{\backslash \; gamma\; (x+y)\}.$

Une dérivation légèrement plus franche :

l'argument dans l'exponentiel nous inspire utiliser la substitution

$\backslash \; commencer\; \{aligner\}\; \backslash \; commencer\; \{rangée\}\; \{l\}\; \backslash \; \backslash \; des\; sigma=s\; \{+\}\; t\; \backslash \; \backslash \; tau=t\; \backslash \; extrémité\; \{\}\; de\; rangée\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; Rightarrow\; \backslash \; quadruple\; |\backslash \; mathrm\; \{J\}|=1\; \backslash \; extrémité\; \{aligner\}$

employant que nous arrivons :

$\backslash \; commencer\; \{aligner\}$

\ int^ \ infty_0 d \ sigma \ ! \ int^ \ sigma_0 d \ tau \ \ e^ ^ de tau^ {x {-} 1} (\ sigma {-} \ tau) {y-1} {- \ sigma}

\ int^ \ infty_0 d \ sigma \ ! \ int^ \ sigma_0 d \ tau \ \ tau^ {x {-} 1} \, \ sigma^ {y {-} 1} \,

\ Grand (1 {-} \ frac {\ tau} {\ sigma} \ grand) e^ du ^ {y {-} 1} {- \ sigma} = \ extrémité {aligner}

encore, maintenant la comparaison au $B\; (x,\; y)$ nous mène à :

$\backslash \; commencer\; \{aligner\}\; r=\; \backslash \; displaystyle\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; tau\}\; \{\backslash \}\; de\; sigma\; \backslash ,\; \backslash \; q=\; \backslash \; sigma\; \backslash \; quadruple\; \backslash \; texte\; \{où\; le\; Jacobian\; est\; maintenant\; :\}\; \backslash \; quadruple\; |\backslash \; mathrm\; \{J\}|=q\; \backslash \; extrémité\; \{aligner\}$

le quel mène à une identification facile avec le résultat prévu :

$\backslash \; commencer\; \{aligner\}$

et \ int^ \ infty_0 \ ! dq \ int^1_0 Dr. \, q \ ^ (de rq) {x {-} 1} \, q^ {y {-} 1} \, (1 {-} r)^ {y {-} 1} \, e^ {- q}

\ int^ \ infty_0 \ ! dq \ int^1_0 Dr. \ r^ {x {-} 1} \, (1 {-} r)^ {y {-} 1} \, q^ {x {+} y {-} 1} \, \ d'e^ {- q} \

et \ int^ \ infty_0 q^ {x {+} y {-} 1} \, e^ {-} de q \, Dr. de r^ \ de dq \ int^1_0 {x {-} 1} (1 {-} r)^ {y {-} 1}

\ Gamma (x {+} y) \, B (x, y) \. \ extrémité {aligner}

Dérivés

Les dérivés suivent :

$\{\backslash \; partiel\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \}\; partiel\; de\; x\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\; (x,\; y)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\; (x,\; y)\; \backslash \; parti\; (\{\backslash \; Gamma\text{'}(x)\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; gamma\; (x)\}\; -\; \{\backslash \; Gamma\text{'}(X\; +\; y)\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; gamma\; (x\; +\; y)\}\; \backslash \; droit)\; =\; \backslash \; mathrm\; \{B\}\; (x,\; y)\; (\backslash \; livre\; parpouce\; carré(x)\; -\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (x\; +\; y))$

là où $\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (x)$ est la fonction de digamma de .

Intégrales

Le Nörlund-Riz intégral de est une intégrale impliquant la bêta fonction.

Approximation

L'approximation de Stirling de donne la formule asymptotique

$\backslash \; bêta\; (x,\; \backslash ,\; y)\; \backslash \; sim\; \backslash \; racine\; carré\; \{\}\; de\; 2\; \backslash \; pi\; \backslash \; frac\; y^\; de\; ^\; \{x\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; \{-\; de\; y\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; ^\; gauche\; (\{x\; +\; y\}\; \backslash \; droit)\; \{-\; de\; x\; +\; de\; y\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\}\; .$

Bêta fonction inachevée

Fonction inachevée la bêta est une généralisation de la bêta fonction qui remplace l'intégrale définie de la bêta fonction par une intégrale indéfinie . La situation est analogue à la fonction gamma inachevée étant une généralisation de la fonction gamma.

La bêta fonction inachevée est définie As $de$

\ bêta (x ; \, a, b) = \ int_0^x t^ {A-1} \, ^ (1-t) {b-1} \, décollement. \ !

Pour le X = 1, la bêta fonction inachevée coïncide avec la bêta fonction complète.

La bêta fonction inachevée régularisée par (ou bêta fonction régularisée par pour le short) est définie en termes de bêta fonction inachevée et bêta fonction complète : $I\_x\; (a\; de$

, b) = \ dfrac {\ bêta (x ; \, a, b)} {\ bêta (a, b)}. \ !

Établissant l'intégrale pour des valeurs de nombre entier de un et de b , un trouve : $I\_x\; (a\; de$

, b) = \ ^ de sum_ {j=a} {a+b-1} {(a+b-1) ! \ au-dessus de j ! (a+b-1-j) !} ^ du x^j (1-x) {a+b-1-j}.

Propriétés

$I\_0\; (a\; de$

, b) = 0 \, $I\_1\; (a$, b) = 1 \, $I\_x\; (a$, b) = 1 - I_ {1-x} (b, a) \,

(beaucoup d'autres propriétés pourraient être énumérées ici.)

Voir également

Bêta distribution
Distribution binomiale
Distribution binomiale négative
Distribution de Yule-Simon de
Distribution uniforme (continu)

.

Random links:

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