Axiome de determinacy

L'axiome de du determinacy (abrégé comme ANNONCE ) est un axiome dans la langue de la théorie des ensembles (c'est-à-dire, un qui fait une affirmation au sujet de place . Il a été présenté par les mathématiciens polonais Mycielski et Steinhaus. Il énonce ce qui suit : le

considèrent les jeux pour deux personnes infinis avec l'information parfaite . Puis, chaque jeu du ω de longueur où les deux joueurs choisissent les nombres entiers est déterminé, c., un des deux joueurs a un gagnant la stratégie de .

L'axiome du determinacy est contradictoire avec l'axiome de du choix (C.) ; en effet, on lui a montré qu'il implique que tous les ensembles de reals sont Lebesgue mesurable et ont la propriété de de Baire .

L'ANNONCE implique l'uniformité de ZF. Par conséquent il n'est pas possible de prouver l'ANNONCE dans ZF (une conséquence des théorèmes d'imperfection de ).

Types de jeu qui sont déterminés

Non tous les jeux exigent de l'axiome du determinacy de les prouver qu'a déterminé. Les jeux dont le gain place sont fermés sont déterminés. Ceux-ci correspondent à beaucoup de jeux infinis naturellement définis. Il a été montré dans le 1975 par le Donald A. Martin que les jeux dont l'ensemble de gain est un Borel réglé sont déterminés. Il découle de l'existence des grands cardinaux de suffisamment de que tous les jeux avec l'ensemble de gain un ensemble projectif sont déterminés (voir le determinacy projectif ), et que l'ANNONCE se tient dans le L (R) .

Pourquoi l'axiome du choix contredit l'axiome du determinacy

L'ensemble S1 de toutes les premières stratégies de joueur dans un &omega ; - le G de jeu a la même cardinalité que le continuum . Le même est vrai de l'ensemble S2 de toutes les deuxièmes stratégies de joueur. Nous notons que de toute la cardinalité du SG d'ensemble ordonnance possible dans le G est également le continuum. Laisser A être le sous-ensemble du SG de tous les ordres qui font la première victoire de joueur. Avec l'axiome du choix nous pouvons l'ordre bon le continuum ; en outre, nous pouvons faire ainsi de telle manière que toute partie initiale appropriée n'ait pas la cardinalité du continuum. Nous créons un contre-exemple par l'induction transfinie sur l'ensemble de stratégies sous cette commande de puits :

Nous commençons par l'ensemble A éliminé. Laisser T être le " ; time" ; à qui axe a le continuum de longueur. Nous devons considérer toutes les stratégies {S1 (T)} du premier joueur et de tous stratégies {s2 (T)} du deuxième joueur pour s'assurer que pour chaque stratégie il y a une stratégie de l'autre joueur qui gagne contre elle. Pour chaque stratégie du joueur nous a considérés produira d'un ordre qui donne à l'autre joueur une victoire. Laisser t être le temps dont l'axe a le &alefsym de longueur ; ₀ et qui est employé pendant chaque ordre de jeu.

considèrent la stratégie courante {S1 (T)} du premier joueur.

Passer par le jeu entier, se produisant (ainsi que du premier la stratégie S1 joueur (T)) un ordre {a (1), b (2), a (3), b (4),…, a (t), b (t+1),…}.

Décider que cet ordre n'appartient pas à A, c.

Considérer la stratégie {s2 (T)} du deuxième joueur.

Passer par le prochain jeu entier, se produisant (ainsi que la deuxième stratégie s2 du joueur (T)) un ordre {c (1), d (2), c (3), d (4),…, c (t), d (t+1),…}, veillant que cet ordre est différent de {a (1), b (2), a (3), b (4),…, a (t), b (t+1),…}.

Décider que cet ordre appartient à A, c.

Continuer à répéter avec d'autres stratégies s'il y en a, en veillant que les ordres déjà considérés ne deviennent pas produits encore. (Nous commençons à partir de l'ensemble de tous les ordres et chaque fois que nous produisons d'un ordre et réfutons une stratégie nous projetons l'ordre produit sur des premiers mouvements de joueur et sur des deuxièmes mouvements de joueur, et nous emportons les deux ordres en résultant de notre ensemble d'ordres.)

Pour tous les ordres qui n'ont pas été soulevés dans la considération ci-dessus arbitrairement décider s'ils appartiennent à A, ou au complément d'A.

Une fois que ceci a été fait nous avons un G de jeu. Si vous me donnez une stratégie S1 puis nous avons considéré cette stratégie à un moment donné T = T (S1). Au T de temps, nous avons décidé des résultats de S1 qui seraient une perte de S1. Par conséquent cette stratégie échoue. Mais cela vaut pour une stratégie arbitraire ; par conséquent l'axiome du determinacy est faux.

Logique infinie et l'axiome du determinacy

On a proposé beaucoup de différentes versions de la logique d'Infinitary de vers la fin du 20ème siècle. Une raison qui a été donné pour croire en axiome de determinacy est qu'il peut écrire comme suit (dans une version de la logique infinie) :

$\ forall G \ dans \$

$\ forall a \ dans S : \ existe l'a \ dans S : \ forall b \ dans S : \ existe le b \ dans S : \ forall c \ dans S : \ existe le c \ dans S… : (a, a', b, b', c,) de c'… \ dans G$ OR

le $\ existe a \ dans S : \ a de forall \ dans S : \ existe b \ dans S : \ b de forall \ dans S : \ existe c \ dans S : \ c de forall \ dans S… : (a, a', b, b', c,) de c'… \ pas \ dans G$

Note : Seq ( S ) est l'ensemble de tout le $\ omega$ -sequences du S . Les phrases ici sont infiniment longues avec une liste comptable infinie des Quantifiers où les ellipses apparaissent.

Si la logique étaient généralisées pour permettre des rapports infinis de la sorte donnée au-dessus de puis le rapport ci-dessus pourrait être interprété en tant qu'étant du S de forme OU pas du S et par conséquent trivialement rectifier. Cependant, beaucoup de mathématiciens ne sont pas d'accord avec généraliser la logique de cette façon.

Grands cardinaux et l'axiome du determinacy

L'uniformité de l'axiome du determinacy est étroitement liée à la question de l'uniformité de grands axiomes du cardinal . Par un théorème de Woodin , l'uniformité de la théorie des ensembles de Zermelo-Frankel sans choix (ZF) ainsi que l'axiome du determinacy est équivalente à l'uniformité de la théorie des ensembles de Zermelo-Frankel avec le choix (ZFC) ainsi que l'existence infiniment de beaucoup de cardinaux de Woodin de puisque les cardinaux de Woodin sont fortement inaccessibles, si l'ANNONCE est conformée, puis sont ainsi un infini des cardinaux inaccessibles.

D'ailleurs, si à l'hypothèse d'un ensemble infini de Woodin des cardinaux est ajoutés l'existence d'un cardinal mesurable plus grand que tous, une théorie très forte d'ensembles mesurables de Lebesgue de reals émerge, car chaque ensemble lié par de vrais nombres dans le L (R) est mesurable. En outre, si le extrêmement fort Ranger-dans-se rangent l'axiome I0 de est postulé, il suit que l'axiome du determinacy est vrai de L (R), dont et par conséquent le soupçon que L (R) est un modèle intérieur canonique pour l'ANNONCE dans la théorie des ensembles de ZFC est correct. Ainsi, I0 supposant n'est pas contradictoire, un logique et la théorie puissante d'ANNONCE et d'ensembles mesurables émerge.

Voir également

axiome du vrai determinacy (AD_R)
AD⁺ , une variante de l'axiome du determinacy formulé par le Woodin
Axiome de du quasi-determinacy (ADQ)

Random links:

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