Augustus De Morgan

Les deux derniers peuvent s'appeler les règles de la réduction. De Morgan professe pour donner un inventaire complet des lois aux lesquelles les symboles de l'algèbre doivent se conformer, parce que il dit, " ; Tout système des symboles qui n'obéit ces lois et aucun autre, à moins qu'elles soient constituées par la combinaison de ces lois, et qui n'emploie les symboles précédents et aucun autre, excepté eux être de nouveaux symboles inventés dans l'abréviation des combinaisons de ces symboles, est algebra." symbolique ; De son point de vue, aucun des principes ci-dessus n'est des règles ; il est les lois formelles, c., les relations arbitrairement choisies auxquelles les symboles algébriques doivent être sujet. Il ne mentionne pas la loi, à qui avait été déjà précisée par Gregory, à savoir, $(a+b)+c\; =\; a+\; (b+c),\; (ab)\; c\; =\; a\; (avant\; Jésus\; Christ)$ et à ce qui a été après donnée le nom de la loi de de l'association . Si la loi commutative échoue, l'associatif peut juger bon ; mais pas vice versa . C'est une chose malheureuse pour le symbolist ou le formaliste qui dans l'arithmétique universelle $m^n$ n'est pas égal à $n^m$ ; pour alors la loi commutative aurait la pleine portée. Pourquoi ne lui donne-t-il pas la pleine portée ? Puisque les bases de l'algèbre sont, après tous, vrai non formelles, matériel non symbolique. Aux formalistes les opérations d'index sont excessivement réfractaires, en conséquence dont quelque ne tenir aucun compte de eux, mais les relèguent aux mathématiques appliquées. Pour donner un inventaire des lois aux lesquelles les symboles de l'algèbre doivent se conformer est une tâche impossible, et rappelle un pas de la tâche de ces philosophes qui essayent de donner un inventaire de la connaissance a priori du de l'esprit.

La trigonométrie et la double algèbre de autorisée par travail de De Morgan se compose de deux parts ; l'ancien dont est un traité sur la trigonométrie , et ce dernier un traité sur l'algèbre généralisée qu'il appelle double algèbre. Mais qu'est signifié par le double pour l'algèbre ? et pourquoi la trigonométrie devrait-elle être également traitée dans le même manuel ? La première phase dans le développement de l'algèbre est le arithmétique, où les nombres apparaissent seulement et des symboles des opérations telles que $+$, $\backslash \; times$, etc. La prochaine étape est l'arithmétique universelle de , où les lettres apparaissent au lieu des nombres, afin de dénoter des nombres universellement, et les processus soient conduits sans savoir les valeurs des symboles. Laisser $a$ et $b$ dénoter tous les nombres ; alors une expression telle que $a-b$ peut être impossible ; de sorte que dans l'arithmétique universelle il y ait toujours une clause conditionnelle, le a fourni l'opération est possible. La troisième étape est l'algèbre simple de , où le symbole peut dénoter une quantité expédie ou une quantité vers l'arrière, et est en juste proportion représenté par des segments sur une ligne droite passant par une origine. Les quantités négatives ne sont alors plus impossibles ; elles sont représentées par le segment en arrière. Mais une impossibilité demeure toujours dans la dernière partie d'une expression telle que $a+b\; \backslash \; racine\; carrée\; \{-\; 1\}$ qui surgit dans la solution de l'équation quadratique. Le du quatrième étage est la double algèbre de ; le symbole algébrique dénote en général un segment d'une ligne dans un avion donné ; c'est un double symbole parce qu'il comporte deux caractéristiques, à savoir, longueur et direction ; et le $\backslash racine\; carrée\{-\; 1\}$ est interprété en tant que dénotation d'un quart de cercle. L'expression $a+b\; \backslash \; racine\; carrée\; \{-\; 1\}$ représente alors une ligne dans l'avion ayant une abscisse $a$ et une ordonnée $b$. Argand et double algèbre portée par Warren jusqu'ici ; mais ils ne pouvaient pas interpréter sur cette théorie une expression telle que le $e^\; \{a\; \backslash \; racine\; carrée\; \{-\; 1\}\}$. De Morgan l'a essayé par le ramenant une telle expression à la forme $b+q\; \backslash \; racine\; carrée\; \{-\; 1\}$, et il a considéré qu'il avait prouvé qu'il pourrait être toujours ainsi a réduit. Le fait remarquable est que cette double algèbre satisfait toutes les lois fondamentales au-dessus d'énumérer, et car chaque combinaison apparent impossible des symboles a été interprétée elle ressemble à la forme complète d'algèbre.

Si la théorie ci-dessus est vraie, la prochaine étape du développement doit être algèbre triple du et si $a+b\; \backslash \; racine\; carrée\; \{-\; 1\}$ représente vraiment une ligne dans un avion donné, il doit être possible de trouver qu'une troisième limite qui s'est ajoutée à ce qui précède représenterait une ligne dans l'espace. Argand et quelque d'autre a deviné qu'il était $a\; +\; b\; \backslash \; racine\; carré\; \{-\; 1\}\; +\; c\; \backslash \; racine\; carré\; \{-\; 1\}\; \backslash ,\; ^\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{-\; 1\}\}$ bien que ceci contredise vérité établi par Euler que $\backslash \; racine\; carré\; \{-\; 1\}\; \backslash ,\; =e^\; de\; ^\; \{\backslash \; racine\; carrée\; \{-\; 1\}\}\; \{-\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2\}\; \backslash \; pi\}$. De Morgan et beaucoup d'autres a travaillé dur au problème, mais rien n'est venu de lui jusqu'à ce que le problème ait été pris par Hamilton. Nous voyons maintenant la raison clairement : le symbole de la double algèbre dénote pas une longueur et une direction ; mais un multiplicateur et un un angle . Dans lui les angles sont confinés avec un avion ; par conséquent la prochaine étape sera une algèbre quadruple de , quand l'axe de l'avion est rendu variable. Et ceci donne la réponse à la première question ; la double algèbre n'est rien mais trigonométrie plate analytique, et c'est pourquoi on l'a avéré l'analyse normale pour les courants alternatifs. Mais De Morgan n'a jamais obtenu ceci lointain ; il est mort avec le " de croyance ; cette double algèbre doit demeurer comme plein développement des conceptions de l'arithmétique, autant que ces symboles sont concernés quelle arithmétique immédiatement suggests." ;

Quand l'étude des mathématiques a rétabli à l'université de Cambridge, ainsi a fait l'étude de la logique. L'esprit mobile était Whewell, le maître de l'université de trinité, dont les principales écritures étaient une histoire de des sciences inductives , et philosophie de des sciences inductives . Sans aucun doute De Morgan a été influencé dans ses investigations logiques par Whewell ; mais d'autres contemporains influents étaient monsieur W. Hamilton d'Edimbourg, et professeur Boole de liège. Le travail de De~Morgan sur la logique formelle de , éditée dans le 1847 , est principalement remarquable pour son développement du syllogism numériquement défini. Les disciples du Aristote disent que de deux propositions particulières telles que le quelques m sont les d'A, et le quelques m sont le du b que rien ne suit de la nécessité au sujet de la relation d'A et des b. Mais ils vont plus loin et disent pour que n'importe quelle relation au sujet d'A et des b puisse suivre de la nécessité, la limite moyenne doivent être pris universellement dans un des lieux. De~Morgan a précisé que de la plupart des m sont A et la plupart des m sont les du b qu'il suit de la nécessité que le quelques A sont le du b et il a formulé le syllogism numériquement défini qui met ce principe sous la forme quantitative exacte. Supposer que le nombre de m est $m$, du m qui sont A est $a$, et des m qui sont les b est $b$ ; alors il y a au moins le $(a+b-m)$ A qui sont des b. Supposer que le nombre d'âmes à bord d'un vapeur était 1000, ces 500 étaient dans la salle, et 700 ont été perdus ; elle suit de la nécessité, ce au moins 700+500-1000, c., 200, passagers de salle ont été perdus. Ce principe simple suffit pour prouver la validité de tous les modes aristotéliciens ; c'est donc un principe fondamental dans le raisonnement nécessaire.

Ici alors De Morgan avait fait une grande avance en présentant la quantification de des limites . À ce moment-là monsieur W. Hamilton était enseignement à Edimbourg par doctrine de la quantification de l'attribut, et une correspondance a pris naissance. Cependant, De Morgan a bientôt perçu que la quantification de Hamilton était d'un caractère différent ; qu'elle a signifié par exemple, substituant le de deux formes la totalité d'A est la totalité de B , et le la totalité d'A est une partie de B pour le aristotélicien de forme que tous les A sont les du b. Les philosophes ont généralement une grande part d'intolérance ; ils sont trop susceptibles de penser qu'ils ont la prise de toute la vérité, et que tout en dehors de leur système est erreur. Hamilton a pensé qu'il avait placé la clef de voûte dans la voûte aristotélicienne, comme il l'a exprimée ; bien que ce doive avoir été une voûte curieuse qui pourrait tenir 2000 ans sans clef de voûte. Par conséquent il n'a eu aucune pièce pour des innovations de De Morgan. Il a accusé De Morgan du plagiat, et la polémique a fait rage pendant des années dans les colonnes du Athenæum , et dans les publications des deux auteurs.

Les mémoires sur la logique que De Morgan a contribuée aux transactions de la société philosophique de Cambridge à la suite de la publication de son livre sur la logique formelle de sont de loin les contributions les plus importantes qu'il a apportées à la science, particulièrement son quatrième mémoire, dans lequel il commence le travail dans le large domaine de la logique de des parents . C'est le champ vrai pour le logicien du 20ème siècle, l'où le travail de plus grande importance doit être fait vers améliorer la langue et la facilitation pensant les processus qui se produisent toute l'heure dans la vie pratique. L'identité et la différence sont les deux relations qui ont été considérées par le logicien ; mais il y a beaucoup d'autres mériter également de l'étude, telle que l'égalité, l'équivalence, la consanguinité, l'affinité, etc.

Dans l'introduction au budget de des paradoxes De Morgan explique ce que veut dire il par le mot. " ; Un grand beaucoup d'individus, depuis que l'élévation de la méthode mathématique, a, chacun pour se, attaqué ses conséquences directes et indirectes. J'appellerai chacune de ces personnes un paradoxer de , et son système un paradoxe de . J'emploie le mot dans le vieux sens : un paradoxe est quelque chose qui est indépendamment d'opinion générale, dans les thèmes, la méthode, ou la conclusion. Plusieurs des choses avancées maintenant s'appelleraient les cinglés de , qui est le mot le plus proche que nous devons le vieux paradoxe de . Mais il y a cette différence, celle en appelant une chose un cinglé que nous voulons dire pour parler légèrement de elle ; ce qui n'était pas le sens nécessaire du paradoxe. Ainsi en XVIème siècle beaucoup a parlé du mouvement de la terre comme paradoxe de de Copernic et a tenu l'ingéniosité de cette théorie dans l'estime très élevée, et certains je pense qui même incliné vers lui. Au dix-septième siècle la dépravation de la signification a eu lieu, dans le " de l'Angleterre au moins. ;

Comment le paradoxer sain peut-il être distingué du paradoxer faux ? De Morgan fournit l'essai suivant : " ; La façon dans laquelle un paradoxer se montrera, quant au sens ou au non-sens, ne dépendra pas de ce qu'il maintient, mais au moment s'il a ou n'a pas fait une connaissance suffisante de ce qui a été fait par d'autres, particulièrement quant au mode de le faire, un préliminaire à inventer la connaissance pour se… Les nouvelles connaissances, quand à n'importe quel but, doivent venir par contemplation de la vieille connaissance, dans chaque matière qui concerne la pensée ; l'adaptation mécanique parfois, pas très souvent, échappe à cette règle. Tous les hommes qui s'appellent maintenant les découvreurs, dans chaque matière ordonnée par pensée, ont été des hommes versés en vers dans les esprits de leurs prédécesseurs et appris dans ce qui avait été avant elles. Il n'y a pas un exception." ;

" ; Je me rappelle que juste avant que l'association américaine se soit réunie à Indianapolis dans le 1890 , les journaux locaux ont annoncé une grande découverte qui devait être transmise aux sages rassemblés -- un jeune homme vivant quelque part dans le pays avait ajusté le cercle. Tandis que la réunion était en marche j'ai observé un jeune homme aller environ de pair avec un rouleau de papier dans sa main. Il m'a parlé et s'est plaint que le papier contenant sa découverte n'avait pas été reçu. Je lui ai demandé si son objet en présentant le papier n'était pas de l'obtenir lue, imprimée et éditée de sorte que chacun pourrait s'informer du résultat ; à ce qu'il a approuvé aisément. Mais, a dit I, beaucoup d'hommes ont travaillé à cette question, et leurs résultats ont été examinés entièrement, et ils sont imprimés au profit de n'importe qui qui peut lire ; vous êtes-vous informé de leurs résultats ? À ceci il n'y avait aucun consentement, mais le sourire maladif du paradoxer" faux ; De Morgan n'a pas dit ceci (comment a osé il ? Il est mort loin avant 1890…). En revanche, comme précisé à la page de discussion, ce paragraphe (et le reste de l'article) est copié in extenso d'une conférence donnée en 1916

Le budget de se compose d'un examen d'une grande collection de livres paradoxaux que De Morgan avait accumulés dans sa propre bibliothèque, en partie par l'achat aux bookstands, en partie des livres envoyés à lui pour la revue, en partie des livres envoyés à lui par les auteurs. Il donne la classification suivante : squarers du cercle, trisectors de l'angle, duplicateurs du cube, constructeurs de mouvement perpétuel, subverters d'attraction universelle, stagnators de la terre, constructeurs de l'univers. Vous trouverez toujours des spécimens de toutes ces classes dans le nouveau monde et en nouveau siècle.

De Morgan donne sa connaissance personnelle des paradoxers. " ; Je suspecte que je connaisse plus de la classe anglaise que n'importe quel homme en Grande-Bretagne. Je n'ai jamais gardé n'importe quel compte : mais je sais cela un an avec des autres ? -- et moins d'années en retard que dans un temps plus tôt ? -- J'ai parlé plus d'à cinq dedans tous les ans, donnant plus que les cent cinquante spécimens. De ceci je suis sûr, cela que c'est mon propre défaut s'ils n'ont pas eu mille ans. Personne ne sait ils grouillent, excepté ceux à qui ils recourent naturellement. Ils sont dans tous les grades et métiers, de tous les âges et caractères. Ils sont les personnes très sérieuses, et leur but est le véritable , la diffusion de de leurs paradoxes. Un grand beaucoup -- la masse, en effet -- sont illettrés, et de grands beaucoup perte leurs moyens, et sont dedans ou misère de approche. Ces découvreurs dédaignent un another." ;

Un paradoxer à qui De Morgan a payé le compliment qu'Achilles a payé à Hector -- pour le traîner autour des murs à plusieurs reprises -- était James Smith, un négociant réussi de Liverpool. Il a trouvé le $\backslash \; pi\; =\; 3\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}$. Son mode du raisonnement était une caricature curieuse de l'absurdum d'annonce de reductio de d'Euclid. Il a dit a laissé le $\backslash \; pi\; =\; 3\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}$, et ont alors prouvé que sur cette supposition, chaque autre valeur du $\backslash \; pi$ doit être absurde ; par conséquent le $\backslash \; pi\; =\; 3\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}$ est la valeur vraie. Ce qui suit est un spécimen de De Morgan traînant autour des murs de Troy : " ; M. Smith continue à m'écrire les longues lettres, auxquelles il laisse entendre que je dois répondre. Dans son bout de 31 côtés étroitement écrits de papier de note, il m'informe, concernant mon silence obstiné, qui bien que je pense moi-même et AM pensés par d'autres pour être un Goliath mathématique, j'ont résolu pour jouer l'escargot mathématique, et gardent dans ma coquille. Un escargot mathématique de ! Ceci ne peut pas être la chose soi-disant qui règle la frappe d'une horloge ; pour elle signifierait que je dois inciter M. Smith à retentir l'en temps réel du jour, que j'entreprendrais nullement sur une horloge qui gagne 19 secondes d'impair en chaque heure par valeur quadrative fausse du $\backslash \; pi$. Mais il essaye de me dire que les cailloux de la bride de la vérité simple et du bon sens fendront finalement ma coquille, et me mettront le combat des hors De de . La confusion des images est d'une manière amusante : Goliath se transformant en escargot pour éviter le $\backslash \; pi\; =\; 3\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{8\}$ et James Smith, Esq., du conseil de dock du Mersey : et combat mis des hors De de par des cailloux d'une bride. Si Goliath avait rampé dans une coquille d'escargot, David aurait fendu le philistin avec son pied. Il y a quelque chose comme la modestie dans l'implication que le caillou de fente-coquille n'est pas encore entrée en vigueur ; il pourrait avoir pensé que le frondeur aurait à cette heure chanté -- Et trois fois un huitième j'ai conduit tous mes ennemis, et trois fois un huitième I ont massacré le slain." ;

Dans la région des mathématiques pures De Morgan a pu détecter facilement le faux du paradoxe vrai ; mais il n'était pas aussi compétent dans le domaine de la physique. Son père était un paradoxer, et son épouse un paradoxer ; et selon l'opinion des philosophes physiques De Morgan lui-même ne s'est à peine échappé. Son épouse a écrit un livre décrivant les phénomènes du spiritualism, du table-frappement, du Table-tournant , etc. ; et De Morgan a écrit une préface en laquelle il a dit qu'il a su certains des faits affirmés, a cru d'autres sur le témoignage, mais n'a pas feint pour connaître le si ils ont été provoqués par des spiritueux, ou a eu une certaine origine inconnue et inimaginable. De cette alternative il a omis des causes matérielles ordinaires. Faraday a fourni une conférence sur le Spiritualism de , dans lequel il l'a étendu avalent cela dans la recherche que nous devons viser avec l'idée de ce qui est physiquement possible, ou impossible ; De Morgan ne pourrait pas comprendre ceci.

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