Attribut fonctionnel

Dans la logique formelle et les branches relatives des mathématiques , un attribut fonctionnel , ou le symbole de fonction de , est un symbole logique qui peut être appliqué à une limite d'objet pour produire une autre limite d'objet. Des attributs fonctionnels s'appellent également parfois les tracés de , mais cette limite a d'autres significations aussi bien. Dans un modèle , un symbole de fonction sera modelé par une fonction .

Spécifiquement, le de symbole F dans un langage formel est un symbole fonctionnel si, le donné n'importe quel X de symbole de représentant un objet dans la langue, le F ( X ) est encore un symbole représentant un objet dans cette langue. Dans le la logique dactylographiée , le F est un symbole fonctionnel avec le type le T du domaine de et le type le U du codomain de si, donné n'importe quel X de symbole la représentation d'un objet de type le T , le F ( X ) est un symbole représentant un objet de type le U . On peut pareillement définir des symboles de fonction de plus que ceux variables, analogues aux fonctions de plus que celles variables ; un symbole de fonction dans des variables du zéro est simplement un symbole constant du .

Considérer maintenant un modèle du langage formel, avec les types le T et le U modelé par les ensembles et et chaque X de symbole de type le T modelé par un élément dedans. Alors le F peut être modelé par le $de d'ensemble : = \ grand \ {(,) : \ dans \ grand \},$ ce qui est simplement une fonction avec le domaine et le codomain. C'est une condition d'un modèle cohérent qui = toutes les fois que =.

Présentation de nouveaux symboles de fonction

Dans un traitement de la logique d'attribut qui permet à on de présenter de nouveaux symboles d'attribut, on voudra également pouvoir présenter de nouveaux symboles de fonction. La présentation de nouveaux symboles de fonction de vieux symboles de fonction est facile ; donné F de symboles de fonction et G , il y a un nouveau G , la composition du F o de symbole de fonction de du F et du G , satisfaisant G ) ( X ) (de F o = le F ( G ( X )), pour tout le X de . Naturellement, le côté droit de cette équation ne semble pas raisonnable dans la logique dactylographiée à moins que le type de domaine de F assortisse le type de codomain de G , ainsi ceci est exigé pour que la composition soit définie.

On obtient également certains symboles de fonction automatiquement. Dans la logique non classée, il y a une identification de l'attribut d'identité de qui satisfait l'identification ( X ) = le X pour tout le X . Dans la logique dactylographiée, donnée tout type T , il y a un T d'id_{d'attribut d'identité avec le domaine et le type le T de codomain ; il satisfait le T} ( X ) d'id_{= le X pour tout le X de type le T . De même, si le T est un sous-type du U , puis il y a un attribut d'inclusion de type le T de domaine et de type le U de codomain qui satisfait la même équation ; il y a des symboles additionnels de fonction liés à d'autres manières de construire de nouveaux types hors de les vieux.}

En plus, on peut définir des attributs fonctionnels après preuve d'un théorème approprié . (Si vous travaillez dans un système formel qui ne te permet pas de présenter de nouveaux symboles après preuve des théorèmes, alors vous devrez employer des symboles de relation pour venir à bout ceci, comme dans la prochaine section.) Spécifiquement, si vous pouvez montrer que pour chaque X (ou chaque X d'un certain type), là existe un unique Y du satisfaisant un certain P de condition, puis vous pouvez présenter un F de symbole de fonction pour indiquer ceci. Noter que le P lui-même sera un attribut apparenté impliquant le X et le Y . Ainsi s'il y a un tel P d'attribut et un théorème : pour tout le X de type T , pour un certain unique Y de type U , P ( X , Y ), alors vous pouvez présenter un F de symbole de fonction de type le T de domaine et de type le U de codomain qui satisfait : pour tout le X de type T , pour tout le Y de type U , de du P ( X , Y ) si et seulement si Y de = F ( X ).

Faire sans attributs fonctionnels

Beaucoup de traitements de la logique d'attribut ne permettent pas des attributs fonctionnels, seulement les attributs apparentés C'est utile, par exemple, dans le cadre de prouver des théorèmes de Metalogical (tels que théorèmes de l'imperfection de Gödel de , où on ne veut pas permettre l'introduction de nouveaux symboles fonctionnels (ni de tous autres nouveaux symboles, pour cette matière). Mais il y a une méthode de remplacer des symboles fonctionnels par des symboles apparentés partout où l'ancien peut se produire ; en outre, c'est algorithmique et ainsi approprié à s'appliquer la plupart des théorèmes metalogical au résultat.

Spécifiquement, si le F a le type le T de domaine et le type le U de codomain, puis lui peut être remplacé par un P d'attribut de type ( T , U ). Intuitivement, le P ( X , Y ) signifie le F ( X ) = le Y . Alors toutes les fois que le F ( X ) apparaîtrait dans un rapport, vous pouvez le remplacer par un nouveau Y de symbole de type le U et inclure un autre P ( X , Y ) de rapport. Pour pouvoir faire les mêmes déductions, vous avez besoin d'une proposition additionnelle : de pour tout le X de de type T , pour un certain unique Y du de type U , P ( X , Y ). (Naturellement, c'est la même proposition qui a dû être prouvée qu'un théorème avant de présenter un nouveau symbole de fonction dans la section précédente.)

Puisque l'élimination des attributs fonctionnels est commode pour quelques buts et possible, beaucoup de traitements de la logique formelle ne traitent pas explicitement des symboles de fonction mais emploient à la place seulement des symboles de relation ; une autre manière de penser à ceci est qu'un attribut fonctionnel est un genre spécial de d'attribut de , spécifiquement une qui satisfait la proposition ci-dessus. Ceci peut sembler être un problème si vous souhaitez spécifier un schéma de proposition qui s'applique seulement au fonctionnel F d'attributs ; comment savez-vous en avant du temps s'il remplit cette condition ? Pour obtenir une formulation équivalente du schéma, remplacer d'abord n'importe quoi du F ( X ) de forme par un nouveau variable Y . Alors le mesurent universellement au-dessus de chaque Y juste après que le correspondant X est présenté (c'est-à-dire, après que le X soit mesuré plus de, ou au début du rapport si le X est libre), et gardent la quantification avec le P ( X , Y ). En conclusion, faire au rapport entier un la conséquence matérielle de la condition d'unicité pour un attribut fonctionnel ci-dessus.

Prenons comme exemple le schéma d'axiome de du remplacement dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel de . (Cet exemple emploie les symboles mathématiques .) États de ce schéma (sous une forme), pour tout fonctionnel d'attribut F dans une variable : , de $\ forall A de \ existe, de B \ forall C, C \ dans A \ rightarrow F (C) \ dans B.$ D'abord, nous devons remplacer le F ( C ) par un autre variable D : , de $\ forall A de \ existe, de B \ forall C, C \ dans A \ rightarrow D \ dans B.$ Naturellement, ce rapport n'est pas correct ; Le D doit être mesuré plus de juste après le C : , de $\ forall A de \ existe B, \, du forall C \ forall D, C \ dans A \ rightarrow D \ dans B.$ Nous devons encore présenter le P pour garder cette quantification : , de $\ forall A de \ existe B, \, du forall C \ forall D, P (C, D) \ rightarrow (C \ dans A \ rightarrow D \ dans B).$ C'est presque correct, mais il s'applique à trop d'attributs ; ce que nous voulons réellement est : $de (\, de forall X \ existe ! Y, P (X, Y)) \ rightarrow (\, de forall A \ existe B, \, du forall C \ forall D, P (C, D) \ rightarrow (C \ dans A \ rightarrow D \ dans B)).$ Cette version du schéma d'axiome du remplacement est maintenant appropriée pour l'usage dans un langage formel qui ne permet pas l'introduction de nouveaux symboles de fonction. Alternativement, on peut interpréter le rapport original comme rapport dans un langage formel si ; c'était simplement une abréviation pour le rapport produit à l'extrémité.

Voir également

liaison logique
Constante logique

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