Atlas (topologie)

de pour d'autres usages de " ; atlas" ; , voir l'atlas de (désambiguisation) .

Dans la topologie , une branche des mathématiques , un atlas de de décrit comment un espace compliqué appelé une tubulure est collé ensemble des morceaux plus simples. Chaque morceau est indiqué par un diagramme (également connu sous le nom de diagramme de coordonnée de ou système du même rang local ).

Plus avec précision, un atlas pour un espace compliqué est construit hors des informations suivantes :
Une liste des espaces qui sont considérés simples.
Pour chaque point dans l'espace compliqué, un voisinage de ce point qui est le homéomorphe à un espace simple. L'homéomorphie s'appelle un diagramme .
Différents diagrammes étant le compatible est exigés. Au minimum, on l'exige que le composé d'un diagramme avec l'inverse des autres soit une homéomorphie (connue sous le nom de changement de de coordonnées ou d'une fonction de transition ), pourtant des conditions habituellement plus fortes, telles que la douceur , sont imposées.

Cette définition d'atlas est exactement analogue à la signification non-mathématique de l'atlas . Chaque carte individuelle dans un atlas du monde donne un voisinage de chaque point sur le globe qui est homéomorphe à l'avion . Tandis que chaque carte individuelle n'aligne pas exactement avec d'autres cartes avec lesquelles elle recouvre (en raison de la courbure de la terre), le chevauchement de deux cartes peut encore être comparé (en employant des lignes de latitude et de longitude, par exemple).

Les différents choix pour les espaces et des états simples de compatibilité donnent différents objets. Par exemple, si on choisit pour le simple Rⁿ des espaces, les tubulures topologiques sont obtenues. Si on exige également des changements du même rang d'être les tubulures différentiables de Diffeomorphisms sont obtenues.

Deux atlas (au-dessus du même espace topologique fondamental) sont le compatible si les diagrammes dans les deux atlas sont tous compatibles (ou d'une manière equivalente si l'union des deux atlas est un atlas). Formellement, (tant que le concept de la compatibilité pour des diagrammes satisfait certaines propriétés simples), la compatibilité définit une relation d'équivalence sur l'ensemble de tous les atlas. Habituellement, nous considérons les atlas compatibles en tant que provoquer la même tubulure (nous ne nous inquiétons pas comment la tubulure était " ; together" collé ; , seulement ce qui est laissé après " ; emporter le glue" ;), et tellement chacune des classes d'équivalence correspond à une tubulure. En fait, l'union de tous les atlas compatibles avec un atlas donné est lui-même un atlas, appelé un l'atlas complet (ou maximal) . Ainsi chaque atlas est contenu dans un atlas complet unique (le lemme de Zorn de n'est pas nécessaire comme est parfois supposé).

Par définition, une structure différentiable doux (ou structure différentielle ) sur un divers M est un atlas si maximal des diagrammes, tout connexe par les changements du même rang doux sur les chevauchements.

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