Armature de TNB



"Binormal" ; réoriente ici. Pour la signification catégorie-théorétique de ce mot, voir le morphism normal .

La TNB-armature (également connue sous le nom de vue de Frenent), a été découverte par Jean Frederic Frenent (1816-1900). L'armature elle-même est employée pour tracer le mouvement d'un point sur la courbe. Il y a trois parts qui définissent la TNB-armature ; le vecteur de tangente d'unité T (t), le vecteur normal d'unité N (t), et le vecteur binormal B (t). Ensemble, ces trois vecteurs suivent la règle droite et se déplacent le long du corps d'une courbe.


Donné un point sur une courbe dans l'espace, le vecteur de la tangente ( T ), le vecteur normal du ( N ) et le vecteur binormal du ( B ) sont trois vecteurs orthogonaux du d'unité de longueur qui forment ensemble un système du même rang normal à ce point, l'armature du TNB.


Le T ( t ) est le vecteur de tangente d'unité à la courbe au r ( t ) de point.

Afin de résoudre pour le de vecteur de tangente d'unité T (t), les étapes sont comme suit :

1. Donné un vecteur (habituellement sous forme de i de r (t)= + j + k ), trouver le dérivé du vector. Après, trouver la norme du derivative. En conclusion, diviser le dérivé par la norme du dérivé.

Formule de :
de de de
de
de
du
\ mathbf {T} (t)= \ frac {\ mathbf {r} « (t)} {\ est parti \|\ mathbf {r} » (t) \ droit \|} = \ frac {d \ mathbf {r}} {ds} .




le N ( t ) de

est le vecteur normal d'unité au r ( t ). Il est perpendiculaire au T (t) et aux points vers le centre de la courbure de la courbe au r ( t ) de point.

Afin de résoudre pour le de vecteur de tangente d'unité N (t), les étapes sont comme suit :

1. Donné un vecteur (habituellement dans le i de de forme r (t)= + j + k ), trouver le T (t).
de vecteur de tangente d'unité 2. Après, trouver le dérivé du T (t). Résoudre pour la norme du dérivé du T (t). En conclusion, diviser le dérivé du T (t) par la norme du dérivé du T (t).

Formule de :
de de de
de
de
du
\ mathbf {N} (t)= \ frac {\ mathbf {T} « (t)} {\ est parti \|\ mathbf {T} » (t) \ droit \|} = \ frac {d {\ mathbf {T}} /ds} {\ est parti \|d {\ mathbf {T}} /ds \ droit \|} .


  • Le B ( t ) est le vecteur binormal au r ( t ). C'est un vecteur d'unité qui est perpendiculaire à la tangente et des vecteurs normaux et, ainsi qu'eux, se conforme à la règle droite . D'une manière equivalente, c'est le produit en travers du T (t) et du N (t).

Afin de résoudre pour le vecteur binormal, les étapes sont comme suit :

1. Donné un vecteur (habituellement du i de de forme r (t)= + j + k ), trouver le T (t).
de vecteur de tangente d'unité 2. Du T (t), trouver le normal N (t).
de vecteur d'unité 3. En conclusion, prendre le croix-produit du du T (t) et du N (t) dans cet order.

Formule de :
de de de
de
de
du
\ mathbf {B} (t)= \ mathbf {T} (t) \ périodes \ mathbf {N} (t).

prennent la note : le B (t) peut également être exprimé sans résoudre pour le T (t) ou le N (t).
de

de
de
de
\ mathbf {B} (t)= \ frac {\ mathbf {r} « (t) \ périodes \ de mathbf {r} (t)} {\ est parti \|\ mathbf {r} » (t) \ périodes \ mathbf {r} (t) \ droit \|}

Maintenant, si on donne deux des vecteurs de TNB-armature fournis, le processus pour trouver le vecteur absent est assez simple tant que on se rappelle l'ordre T, N, B. Puisque les vecteurs sont orthogonaux, si les deux vecteurs donnés sont croisés dans l'ordre approprié, le tiers est produced.

Ainsi, les formules suivantes jugent vrai :
de de
de
de
du
\ mathbf {T} (t)= \ mathbf {N} (t) \ périodes \ mathbf {B} (t).
de de
de
de
du
\ mathbf {N} (t)= \ mathbf {B} (t) \ périodes \ mathbf {T} (t).
de de
de
de
du
\ mathbf {B} (t)= \ mathbf {T} (t) \ périodes \ mathbf {N} (t).







\ commencer {la matrice} \ et &=& de frac {d \ mathbf {T}} {ds} \ kappa \ mathbf {N} et \ \ \ de &&&& \ \ - &=& de frac {d \ mathbf {N}} {ds} \ kappa \ mathbf {T} et &+ \, \ \ de tau \ mathbf {B} \ \ de &&&& \ \ &=& de frac {d \ mathbf {B}} {ds} et - \ tau \ mathbf {N} et \ extrémité {matrice}

là où le \ kappa est la courbure et le \ tau est la torsion : \ kappa de de
de
de
(t) = \ frac {\ est parti \| \ du mathbf {x} (t) \ périodes \ mathbf {x} « (t) \ droit \| } {\ est parti \| \ mathbf {x} » (t) \ droits \| ^3}
\ tau (t) = \ frac {\ laissé (\ mathbf {x} « (t) \ périodes \ mathbf {x} (t) \) droit \ de cdot \ mathbf {x} (t)} {\ est parti \|\ du mathbf {x} (t) \ périodes \ mathbf {x} » (t) \ droits \|^2}

Cette armature est utile en géométrie différentielle et cinématique . C'est le cas tridimensionnel de l'armature plus générale de Frenet de .

Voir également

La géométrie différentielle de des courbes
Formules de Frenet-Serret de

eometry-moignon

.

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