Arithmétique des variétés abéliennes

Dans les mathématiques , l'arithmétique de des variétés abéliennes est l'étude de la théorie des nombres d'une variété abélienne , ou famille de ceux. Elle retourne aux études du Fermat sur ce qui sont maintenant identifiées comme courbes elliptiques et est devenue un secteur très substantiel en termes de résultats et conjectures. Les la plupart de ces derniers peuvent être posées pour un abélien de variété A au-dessus d'un K du champ de nombre ; ou plus généralement (pour champs globaux ou des anneaux ou des champs fini-produits plus généraux de ).

Points de nombre entier sur des variétés abéliennes

Il y a une certaine tension ici entre les concepts : le point de nombre entier de appartient dans une certaine mesure au affinent la géométrie , alors que la variété abélienne de est en soi définie dans la géométrie projective . Les résultats de base montrant que les courbes elliptiques font sortir de façon finie beaucoup de points de nombre entier de l'approximation diophantine .

Points raisonnables sur des variétés abéliennes

Le résultat de base (théorème de Mordell-Weil de ) indique ce A ( K ), le groupe de points sur le A au-dessus du K , est un groupe abélien Fini-produit par . Beaucoup d'informations sur ses sous-groupes possibles de torsion sont connues, du moins quand le A est une courbe elliptique. La question du grade de vraisemblablement est liée aux L-fonctions (voir ci-dessous).

Il mène au groupe de Selmer de et au groupe , ce dernier de Tate-Shafarevich de (conjecturalement finis) étant difficiles étudier la théorie de Torsor ici.

Tailles

Il y a une fonction canonique de la taille de Néron-Tate de , qui est une forme quadratique ; il a quelques propriétés remarquables, parmi toutes les fonctions de taille conçues à la sélection des ensembles finis dans le A ( K ) des points de h de la taille de (rudement, la taille logarithmique de coordonne) tout au plus.

p de mod de réduction

La réduction d'un modulo abélien du A de variété une perfection idéal de (les nombres entiers de) du K - dire, un p de nombre premier - pour obtenir un abélien p de _{du A de variété au-dessus d'un champ fini , est possible au presque tout le p de . Le « mauvais » amorce, pour lequel le de réduction se dégénère en acquérant les points singuliers, sont connus pour indiquer l'information très intéressante. Comme se produit souvent en nombre la théorie, le « mauvais » amorce le jeu un rôle plutôt actif dans la théorie.}

Ici une théorie de raffinage (en effet) d'un adjoint de droite de au p - le Néron modèle de mod de réduction - ne peut pas toujours être évité. Dans le cas d'une courbe elliptique il y a un algorithme de John Tate le décrivant.

L-fonctions

Pour des variétés abéliennes telles que le p d'A_{, il y a une définition de la zéta-fonction locale disponible. Pour obtenir une L-fonction pour A elle-même, on prend un produit approprié d'Euler de de telles fonctions locales ; pour comprendre le nombre fini de facteurs pour le « mauvais » amorce un doit se rapporter au module de Tate de d'A, qui est (conjuguer) le groupe du cohomology d'étale de H¹(A), et à l'action du groupe de Galois de là-dessus. De cette façon on obtient une définition respectable de la L-fonction de Hasse-Weil de pour l'A. En général ses propriétés, telles que l'équation fonctionnelle , sont encore conjecturales - la conjecture de Taniyama-Shimura de était juste un cas spécial, de sorte que soit à peine étonnant.}

Il est en termes de cette L-fonction que la conjecture de du bouleau et du Swinnerton-Tinctorial est posé. C'est juste un en particulier aspect intéressant de la théorie générale au sujet des valeurs des L-fonctions L ( s ) aux valeurs de nombre entier du s , et il y a beaucoup d'évidence empirique la soutenant.

Multiplication complexe

Depuis l'époque du gauss (qui de ont su du cas de la fonction de lemniscate de ) le rôle spécial a été connu d'A avec des automorphismes supplémentaires, et plus généralement des endomorphisms. En termes d'extrémité d'anneau (A) il y a une définition de variété abélienne de du Cm-type qui choisit la classe la plus riche. Ce sont spéciaux dans leur arithmétique. Ceci est vu dans leurs L-fonctions en termes plutôt favorables - l'analyse harmonique exigée est tout les type de la dualité de Pontryagin de , plutôt qu'ayant besoin des représentations plus générales d'Automorphic de qui reflète un bon arrangement de leurs modules de Tate comme modules de Galois. Elle leur fait également le un plus dur pour traiter en termes de la géométrie algébrique conjectural (la conjecture de Hodge de et le Tate conjecturent ). Dans ces problèmes la situation spéciale est plus exigeante que le général.

Dans le cas des courbes elliptiques, le Kronecker Jugendtraum était le Kronecker de programme proposé, pour employer les courbes elliptiques du Cm-type pour faire la théorie des champs de classe explicitement pour le l'équation quadratique qu'imaginaire met en place - de la manière que les racines de de l'unité permettent à on de faire ceci pour le champ des nombres raisonnables. Ceci généralise, mais dans un certain sens avec la perte d'information explicite (de même que typiques du plusieurs variables complexes ).

Conjecture de Manin-Mumford

La conjecture de Manin-Mumford du Yuri Manin et du David Mumford , prouvée par Michel Raynaud, déclare qu'un de courbe C dans son J de la variété de Jacobian de peut seulement contenir un nombre fini de points qui sont d'ordre fini dans le J , à moins que le C = J . Il y a des rapports plus généraux ; celui-ci est le plus clair motivé par la conjecture de Mordell de , où un tel C de courbe devrait intersecter le J ( K ) seulement de façon finie à beaucoup de points. Il y a maintenant une théorie générale de « Manin-Mumford ».

Random links: