Arbelos

Dans la géométrie , les arbelos d'un est une région plate liée par un demi-cercle du diamètre 1, relié aux demi-cercles du r de diamètres et (1 ; &minus ; ; r ), tout orienté la même manière et partage d'une ligne de base commune. (La ligne de base d'un demi-cercle est une ligne droite formant le diamètre qui relie les extrémités de l'arc.)

" ; Arbelos" ; signifie le " ; le knife" du cordonnier ; dans le Grec.

Propriétés

La figure a un certain nombre de propriétés intéressantes, beaucoup d'abord identifiés par le Archimède .

Propriété de de secteur : laissent B et C soient les points où la ligne de base intersecte le grand demi-cercle, et A soit le point où la ligne de base intersecte les deux plus petits demi-cercles. Tracer maintenant la ligne OH perpendiculaire pour rayer AVANT JÉSUS CHRIST, tels que H est sur le grand demi-cercle (voir le diagramme). (En d'autres termes, OH est le semichord vertical passant par l'A.) alors le secteur des arbelos est égal au secteur du cercle avec le diamètre OH. preuve : Laisser le h être le OH de taille. D'abord nous dérivons le h en termes de r . Observer que bhc est une bonne triangle (par le théorème de Thales de ), avec la hypoténuse de la longueur 2. Ainsi $BH^2 + CH^2 = 4$ . Mais regardant deux plus petites bonnes triangles BAH et CAH, nous obtenons $h^2 = BH^2 - 4r^2$ et $h^2 = CH^2 - 4 (1-r) ^2$ . Combinant ces rendements de trois équations $h^2 = 4r (1-r)$ , ou $r (1-r) = h^2/4$ . Maintenant les rayons des demi-cercles sont le r , 1 - le r , et 1, ainsi leurs secteurs sont respectivement le ${\ pi \ plus de 2} r^2$ , le ${\ pi \ plus de 2} (1-r) ^2$ , et $\ pi \ au-dessus de 2$ . Par soustraction, le secteur des arbelos est ${\ pi r (1-r)}$ , qui égale le $\ pi h^2 \ au-dessus de 4$ . C'est également le secteur du cercle avec le h de diamètre.

Propriété de de rectangle : le segment BH intersecte le BA de demi-cercle au D. Le segment ch intersecte le C. de demi-cercle à l'E. Alors DHEA est un rectangle . preuve : Pêche ADR, bhc, et l'AEC sont des angles droits parce qu'ils sont inscrits dans les demi-cercles (par le théorème de Thales'). Le quadrilatère ADHE a donc trois angles droits, ainsi c'est un rectangle.

Propriété de des tangentes : la ligne De est tangente au BA de demi-cercle à D et à C. de demi-cercle à la preuve d'E. : Puisque l'ADR d'angle est un à angle droit, le DBA d'angle égale π/2 sans la TAPE d'angle. Cependant, l'angle DAH égale également π/2 sans la TAPE d'angle (puisque l'angle HAB est un à angle droit). Par conséquent le DBA et les DAH de triangles sont le semblable. Par conséquent le diamètre d'angle égale le DO d'angle, où I est le point médian du BA et O est le point médian de OH. Mais AOH est une ligne droite, ainsi le DO d'angle et les DOA sont les angles supplémentaires . Par conséquent la somme de diamètre et de DOA d'angles est l'angle IAO de π/2. est une à angle droit. La somme des angles dans n'importe quel quadrilatère est π, ainsi dans le quadrilatère IDOA, l'angle IDO doit être un à angle droit. Mais ADHE est un rectangle, ainsi le point médian O de OH (la diagonale du rectangle) est également le point médian de De (l'autre diagonale du rectangle). Car I (défini comme point médian de BA) est le centre du BA de demi-cercle, et l'angle ide est un à angle droit, puis le De est tangente au BA de demi-cercle au D. Par le raisonnement analogue le De est tangente au C.

En outre, depuis AVANT JÉSUS CHRIST est un demi-cercle, il doit être moitié d'un plein cercle. Cela signifie qu'il est 1/2 le secteur du plein cercle.

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