Approximation diophantine
Dans la théorie des nombres , le champ de l'approximation diophantine , baptisé du nom de Diophantus de l'Alexandrie , traite l'approximation des vrais nombres par les nombres raisonnables la dimension de la distance (dans un sens de valeur absolue ) du vrai nombre à approcher du nombre raisonnable qui le rapproche est une mesure brute de la façon dont bon l'approximation est. Une mesure plus subtile considère combien bon l'approximation est par comparaison à la taille du dénominateur .
Le sujet peut être vu comme après avoir été fondé sur un résultat de Joseph Liouville sur les nombres algébriques (le lemme de général à la page pour nombre de Liouville de ). Avant que, beaucoup a été connu de la théorie des fractions continues pour les racines carrées des nombres entiers et d'autres irrationals quadratiques.
Ce résultat a été amélioré par Axel Thue et d'autres de , menant à la fin à un théorème définitif de de Roth : l'exposant dans le théorème a été réduit du n , le degré du nombre algébrique, à tout nombre plus considérablement que 2 (c. Plus tard, Schmidt a généralisé ceci au cas de l'approximation simultanée. Les preuves étaient difficiles, et pas le efficace, un inconvénient dans les applications.
Une autre matière qui a vu un développement complet est la théorie de mod uniforme 1 de distribution de . Prendre à un d'ordre un 1, un 2,… de vrais nombres et considérer leur les pièces partielles . C'est-à-dire, plus abstrait, regard à l'ordre dans le R/Z , qui est un cercle. Pour n'importe quel d'intervalle I sur le cercle nous regardons la proportion des éléments de l'ordre qui se situent dans elle, jusqu'à un certain N de nombre entier, et le comparent à la proportion de la circonférence occupée par le I . la distribution uniforme signifie cela dans la limite, car le N se développe, que la proportion de coups sur l'intervalle tend à la valeur « prévue ». Le Hermann Weyl a prouvé une apparence de base de résultat que c'était équivalent aux limites pour des sommes exponentielles formées de l'ordre. Ceci a prouvé que des résultats diophantines d'approximation ont été étroitement liés au problème général de l'annulation dans des sommes exponentielles, qui se produit all over la théorie des nombres analytiques dans le bondissement des limites d'erreur.
Après le théorème de Roth, les avances principales dans le sujet ont été en liaison avec la théorie de transcendance de . Liée à la distribution uniforme est la matière des irrégularités de de la distribution , qui est d'une nature combinatoire du . Il restent des problèmes non résolus simple-indiqués demeurant dans l'approximation diophantine, par exemple la conjecture de Littlewood de .