Antichain
Dans les mathématiques , dans le secteur de la théorie d'ordre de , un antichain est un sous-ensemble d'un ensemble partiellement commandé tels que deux éléments quelconques dans le sous-ensemble sont incomparables.
Laisser le S être un ensemble partiellement commandé. Nous disons que le de deux éléments un et le b d'un ensemble partiellement commandé sont le comparable si un de ≤ du b ou du b de ≤ de un . Si deux éléments ne sont pas comparables, nous disons qu'ils sont le incomparable ; c'est-à-dire, le X et le y ne sont incomparables si ni le X de ≤ du y ni du y de ≤ du X .
Une chaîne dans le S est un C du sous-ensemble du S dans lequel chaque paire d'éléments est comparable ; c'est-à-dire, le C est le totalement commandé. Un antichain dans le S est un A du sous-ensemble du S dans lequel chaque paire de différents éléments est incomparable ; c'est-à-dire, il n'y a aucune relation d'ordre entre deux éléments différents quelconques dans le A .
Taille et largeur
Un antichain maximal est un antichain qui n'est pas un sous-ensemble approprié d'aucun autre antichain. Un antichain maximum est un antichain qui a la cardinalité au moins aussi grande que chaque autre antichain. La largeur de d'un ensemble partiellement commandé est la cardinalité d'un antichain maximum. N'importe quel antichain peut intersecter n'importe quelle chaîne dans tout au plus un élément, ainsi, si nous pouvons diviser les éléments d'un ordre dans des chaînes du k alors que la largeur de l'ordre doit être tout au plus le k . Le théorème de Dilworth de déclare que cette limite peut toujours être atteinte : là existe toujours un antichain, et une cloison des éléments dans des chaînes, telles que le nombre de chaînes égale le nombre d'éléments dans l'antichain, qui doit donc également égaler la largeur. De même, nous pouvons définir la taille de d'un ordre partiel pour être la cardinalité maximum d'une chaîne. Un duel du théorème de Dilworth énonce pareillement que dans n'importe quel ordre partiel de taille finie, la taille égale le plus petit nombre d'antichains dans lesquels l'ordre peut être divisé.
Ordres de nombre entier
Le compte des nombres de Dedekind de le nombre d'antichains dans la puissance réglé de d'un n - ensemble d'élément, commandée par l'inclusion. Les premiers de ces nombres sont le
2, 3, 6, 20, 168, 7581, 7828354, 2414682040998, 56130437228687557907788 de
. Même l'ensemble vide a deux antichains dans sa puissance réglée : on contenant un ensemble simple (l'ensemble vide lui-même) et on ne contenant aucun ensemble.
Joindre et rencontrer les opérations
N'importe quel A d'antichain correspond à un = plus bas réglé de Dans un ordre partiel fini (ou plus généralement un ordre partiel remplissant la condition à chaînes croissante ) tous les ensembles inférieurs ont cette forme. L'union de deux ensembles inférieurs quelconques est un autre ensemble inférieur, et l'opération des syndicats correspond de cette façon à un joignent l'opération de sur des antichains : = de De même, nous pouvons définir une opération du rassemblement sur des antichains, correspondant à l'intersection des ensembles inférieurs : = de Les opérations de jointure et de rassemblement sur tous les antichains finis des sous-ensembles finis d'un X d'ensemble définissent un trellis distributif , le trellis distributif libre de produit par le X . Le théorème de représentation de s de Birkhoff Garrett le 'pour les trellis distributifs déclare que chaque trellis distributif fini peut être représenté par l'intermédiaire de joignent et rencontrent des opérations sur des antichains d'un ordre partiel fini.
Voir également
antichain fort
Le théorème de Sperner de
.
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