Anneau principal
Dans l'algèbre d'abrégé sur , un non trivial R de l'anneau du est un anneau de perfection de si pour n'importe quel de deux éléments un et b du R , si arb de = 0 pour tout le r dans le R , puis a = 0 ou b = 0 . L'anneau principal peut également se rapporter au Subring d'un champ déterminé par son caractéristique. Pour un champ de la caractéristique 0, l'anneau principal est les nombres entiers pour un champ caractéristique du p (avec p un nombre premier ) que l'anneau principal est le champ fini du p (cf. champ principal d'ordre de ).
Des anneaux principaux, sous la première définition, peuvent être considérés comme une généralisation simultanée des domaines intégraux et des anneaux de Matrix de au-dessus des champs .
Exemples
n'importe quel domaine est un anneau principal.
N'importe quel anneau simple est un anneau principal, et plus généralement : chaque anneau primitif gauche ou bon est un anneau principal.
N'importe quel anneau de matrice au-dessus d'un domaine intégral est un anneau principal. En particulier, l'anneau de 2 matrices du nombre entier by-2 est un anneau principal.
Propriétés
L'anneau commutatif du
A est un anneau principal si et seulement si c'est un domaine intégral .
Un anneau est principal si et seulement si son idéal nul est une perfection idéal de .
Un anneau non trivial est principal si et seulement si le monoîde de ses idéaux manque des diviseurs zéro
L'anneau de des matrices au-dessus d'un anneau principal est encore un anneau principal.
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