Anneau des nombres entiers

Dans les mathématiques , l'anneau de des nombres entiers est le réglé des nombres entiers faits un algébrique de la structure Z avec les opérations de l'addition, de la négation, et de la multiplication de nombre entier. C'est un anneau commutatif , et est le prototypique tels en vertu de satisfaire seulement se tenir de ces équations de tous les anneaux commutatifs avec l'identité ; en effet c'est l'anneau commutatif de l'initiale , aussi bien qu'être l'anneau initial.

Plus généralement l'anneau de des nombres entiers d'un K du champ de nombres algébriques , souvent dénotés par le K d'O_{, est l'anneau des nombres entiers algébriques contenus dans le K .}

Using cette notation, nous pouvons écrire le Z de = Q d'O_{puisque le Z comme ci-dessus est l'anneau des nombres entiers du Q du champ des nombres raisonnables et en effet, dans la théorie de nombre algébrique de que les éléments du Z s'appellent souvent le " ; integers" raisonnable ; pour cette raison.}

Une limite alternative est l'ordre maximal , puisque l'anneau des nombres entiers d'un champ de nombre est en effet l'ordre maximal unique dans le domaine.

L'anneau du K d'O_{de nombres entiers a une base intégrale ; par ceci nous voulons dire que là existent le b ₁,…, le K} (la base intégrale) d'O_{de ∈ du b _n tels que chaque d'élément X dans le K} d'O_{peut uniquement être représenté en tant que le $x= de \ ^na_ib_i du sum_ {i=1},$ avec le un Z de ∈ de _i.}

Exemples

Si le ζ est une racine de de Th du p de l'unité et le K = le Q (ζ) est le champ cyclotomique correspondant , alors une base intégrale du K d'O_{est donnée près (1, ζ, ζ²,…, ζ^p-2).}

Si le d est un nombre entier Place-libre du et le K = le Q ( d ^1/2) est le champ quadratique correspondant , alors une base intégrale du K d'O_{est donnée par (1, (1+ d ^1/2) /2) si d≡1 (mod 4) et près (1, d ^1/2) si d ≡2 ou 3 (mod 4).}

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