Anneau de quotient

Dans les mathématiques un anneau de quotient de , également connu sous le nom d'anneau de facteur de ou anneau de classe de résidu de , est une construction dans la théorie d'anneau de , tout à fait semblable aux groupes de facteur de théorie de groupe et des espaces de quotient de l'algèbre linéaire . On commence par un R de l'anneau et un bilatéral de l'idéal I dans le R , et construit un nouvel anneau, le R / I d'anneau de quotient, essentiellement en exigeant que tous les éléments du I soient zéro. Intuitivement, le R / I d'anneau de quotient est un " ; version" simplifié ; du R où les éléments du I sont " ; ignored" ;.

Les anneaux de quotient sont distincts du soi-disant « champ de quotient », ou du champ de des fractions , d'un domaine intégral aussi bien que des « anneaux plus généraux des quotients » obtenus par la localisation .

Construction formelle d'anneau de quotient

Donné un R d'anneau et un idéal bilatéral I dans le R , nous pouvons définir un ~ de la relation d'équivalence sur le R comme suit : de un du b de ~ de si et seulement si &minus du b de ; le un est dans le I . Using les propriétés idéales, il n'est pas difficile de vérifier que le ~ est une relation de congruence de . Au cas où le un b de ~ de , nous indiqueraient que le un et le b sont le conforme I du modulo de . La classe d'équivalence du d'élément un dans le R est donnée près

= de + I : = { + r : r dans le I }.

Cette classe d'équivalence également est parfois écrite comme un I de mod de et a appelé le " ; classe de résidu de un " du I de modulo de ;.

L'ensemble de toutes telles classes d'équivalence est dénoté par le R / I ; ce devient un anneau, l'anneau de facteur de ou l'anneau de quotient de du I de modulo du R , si on définit le
( + I ) + ( b + I ) = ( + b ) + I ;
( + I ) ( b + I ) = ( un b) + I . (Ici on doit vérifier que ces définitions sont le bien défini. Comparer le Coset et le groupe de quotient de .) Le zéro-élément du R / I est (0 + I ) = le I , et l'identité multiplicative est (1 + I ).

Le de carte p du R au R / I a défini par le p ( un ) = + I est un homomorphisme surjectif d'anneau de du , parfois appelé le la carte normale de quotient ou le l'homomorphisme canonique .

Exemples

Les exemples les plus extrêmes des anneaux de quotient sont fournis par le Modding dehors les idéaux les plus extrêmes, {0} et le R lui-même. Le R /{0} est le naturellement isomorphe au R , et le R / R est l'anneau insignifiant {0} de . Ce équiper du principe de base général qui plus l'idéal I est petit, plus l'anneau de quotient R/I est grand. Si le I est un idéal approprié du R , c. &ne du I ; Le R , puis le R / I ne sera pas l'anneau insignifiant.

Considérer l'anneau du Z des nombres entiers et l'idéal des chiffres pairs dénotés par 2 le Z . Alors le Z du Z /2 d'anneau de quotient a seulement deux éléments, un pour les chiffres pairs et un pour les nombres impairs. Il est naturellement isomorphe au champ fini avec deux éléments, le F ₂ de . Intuitivement : si vous pensez à tous les chiffres pairs en tant que 0, alors chaque nombre entier est 0 (s'il est égal) ou 1 (s'il est impair et diffère donc d'un chiffre pair par 1). L'arithmétique modulaire est essentiellement arithmétique dans le Z d'anneau de quotient/ Z (qui du n a des éléments du n ).

Considérer maintenant le R d'anneau des polynômes dans le variable X avec de vrais coefficients du , et le idéal I = ( X ² + 1) se composant de tous les multiples du polynôme X ² + 1. Le R d'anneau de quotient/(le X ² + 1) est naturellement isomorphe au champ du des nombres complexes C , avec la classe jouant le rôle du i de l'unité imaginaire . La raison : nous " ; forced" ; X ² + 1 = 0, c. X ² = -1, qui est la propriété de définition du i .

Généralisant l'exemple précédent, les anneaux de quotient sont employés souvent pour construire des prolongements de champ de que supposent que le K est un certain champ et le f est un polynôme irréductible dans le K . Puis le L = K /( f ) est un champ qui contient le K aussi bien qu'un X d'élément = X + ( f ) dont le polynôme minimal au-dessus du K est le f .

Un exemple important de l'exemple précédent est la construction des champs finis de que considèrent par exemple le F de champ ₃ = du Z /3 Z avec trois éléments. Le polynôme f ( X ) = X ² ; + ; 1 est irréductible au-dessus du F ₃ (puisqu'il n'a aucune racine), et nous pouvons construire le F ₃/( f ) d'anneau de quotient. C'est un champ avec les éléments 3²=9, dénotés par le F ₉. Les autres champs finis peuvent être construits d'une mode semblable.

Les anneaux de coordonnée de des variétés algébriques sont des exemples importants des anneaux de quotient dans la géométrie algébrique . Comme cas simple, considérer le vrai V de variété = {( X , y ) | X ² = y ³} comme sous-ensemble du vrai plat R ². L'anneau des fonctions polynômes à valeurs réelles définies sur le V peut être identifié avec le R d'anneau de quotient/( X ² - Y ³), et c'est l'anneau du même rang du V . Le V de variété est maintenant étudié en étudiant son anneau du même rang.

Supposer que le M est ^{&infin de C. ;} - la tubulure , et le p est un point de M . Considérer le =C^{&infin du R d'anneau ;} ( M ) de tout le C^{&infin ;}-functions définis sur le M et laissent le I soient l'idéal dans le R se composant du f de ces fonctions qui sont mettent identiquement dedans un certain U du voisinage du p (où le U peut dépendre du f ). Puis le R / I d'anneau de quotient est l'anneau des germes de C^{&infin ;}-functions sur le M au p .

Considérer le F d'anneau des éléments finis d'un champ hyperreal * le R de . Il se compose de tous les nombres hyperreal différant d'une norme vraie par une quantité infinitésimale, ou d'une manière equivalente : de tout le hyperreal X de nombres pour avec lequel un standard n de nombre entier - le n < X < n existe. Le I d'ensemble de tous les nombres infinitésimaux dedans * le R , ainsi que 0, est un idéal dans le F , et le F / I d'anneau de quotient est isomorphe aux vrais nombres. L'isomorphisme est induit en associant à chaque X d'élément du F la partie standard de X , c. le vrai nombre unique qui diffère du X par un infinitésimal.

Propriétés

Est clairement, si le R est un anneau commutatif , puis ainsi le R / I ; l'inverse cependant n'est pas vraie en général.

Le normal p de carte de quotient a le I en tant que son grain ; puisque le grain de chaque homomorphisme d'anneau est un idéal bilatéral, nous pouvons déclarer que les idéaux bilatéraux sont avec précision les grains des homomorphisms d'anneau.

Le rapport intime entre les homomorphisms d'anneau, les grains et les anneaux de quotient peut être récapitulé comme suit : le les homomorphisms d'anneau définis sur R/I sont essentiellement identique que les homomorphisms d'anneau définis sur R qui disparaissent (c. être zéro) dessus I . Plus avec précision : donné un idéal bilatéral I dans le R et un f d'homomorphisme d'anneau : &rarr du R ; Le S dont le grain contient le I , puis existe là avec précision un g d'homomorphisme d'anneau : &RARR DU R / I ; S avec le généraliste de = f (où le p est la carte normale de quotient). Le g de carte ici est donné par le bien défini g de règle () = le f ( un ) pour tout le un dans le R . En effet, cette propriété universelle peut être employée au définissent des anneaux de quotient de et leurs cartes normales de quotient. Par suite de ce qui précède, on obtient le rapport fondamental : chaque f d'homomorphisme d'anneau : &rarr du R ; Le S induit un isomorphisme d'anneau de entre le R /ker ( f ) et l'image im d'anneau de quotient ( f ). (Voir également : Théorème fondamental de sur les homomorphisms .)

Les idéaux du R et du R / I sont étroitement liés : la carte normale de quotient fournit un Bijection entre les idéaux bilatéraux du R qui contiennent le I et les idéaux bilatéraux du R / I (les mêmes sont vrais pour la gauche et pour de bons idéaux). Ce rapport entre l'idéal bilatéral se prolonge à un rapport entre les anneaux de quotient correspondants : si le M est un idéal bilatéral dans le R qui contient le I , et nous écrire le M / I pour l'idéal correspondant dans le R / I (c. M / I = p ( M )), quotient anneau R / M et) (de R / I /( M / I ) être naturellement isomorphe par l'intermédiaire du (bien défini !) traçant le + M |- > ( + I ) + M / I .

Dans l'algèbre commutative et la géométrie algébrique , le rapport suivant est employé souvent : Si &ne du R ; {0} est un anneau commutatif du et le I est un idéal maximal , puis le R / I d'anneau de quotient est un champ ; si le I est seulement une perfection idéal de , alors le R / I est seulement un domaine intégral . Un certain nombre de rapports semblables rapportent des propriétés du idéal I aux propriétés du R / I d'anneau de quotient.

Le théorème chinois de reste de déclare que, si le idéal I est l'intersection (ou d'une manière equivalente, le produit) du par paires copremier I₁ d'idéaux,…, le I_k , puis le R / I d'anneau de quotient est isomorphe au produit du R / I_p , le p =1 d'anneaux de quotient,…, le k . < ! -- lettre p (au lieu par exemple d'i) pour la lisibilité -->

Voir également

Algèbre de quotient de
Champ de résidu de

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