Anneau d\'Artinian

Dans l'algèbre d'abrégé sur , un anneau d'Artinian de est un anneau qui remplit la condition à chaînes descendante sur les idéaux .

Il y a deux classes des anneaux qui ont les propriétés très semblables :
Anneaux de

dont les ensembles étant à la base sont le fini.
Les anneaux qui sont fini-dimensionnels les espaces de vecteur au-dessus du met en place .

Le Emil Artin a découvert la première fois que la condition à chaînes descendante pour des idéaux généralise les deux classes des anneaux simultanément. Des anneaux d'Artinian sont baptisés du nom de lui.

Pour les anneaux non commutatifs, nous devons distinguer trois concepts très semblables :
L'anneau du

A est Artinian laissé par s'il remplit la condition à chaînes descendante sur des idéaux gauches.
Un anneau est Artinian droit s'il remplit la condition à chaînes descendante sur de bons idéaux.
Un anneau est Artinian ou Artinian bilatéral s'il est deux Artinian gauche et droit.

Pour les anneaux commutatifs, ces concepts tous coïncident. Ils coïncident également pour les deux classes des anneaux mentionnés ci-dessus, mais en général ils sont différents. Il y a des anneaux qui sont laissés Artinian et Artinian non droit, et vice versa.

Le théorème d'Artin-Wedderburn de caractérise tous les anneaux simples qui sont Artinian : ils sont les anneaux de Matrix de au-dessus d'un anneau de Division de . Ceci implique que pour les anneaux simples, les deux Artinian gauche et droit coïncident.

Par le théorème d'Akizuki-Hopkins-Levitzski de , un bon) anneau d'Artinian de gauche (est automatiquement anneau noethérien (un bon) de gauche.

Voir également

Module d'Artinian de

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