Anneau commutatif

Dans la théorie d'anneau de , une branche de l'algèbre d'abrégé sur , un anneau commutatif est un anneau en lequel l'opération de multiplication se conforme à la loi commutative . Ceci signifie cela si le un et le b sont des éléments de l'anneau, puis des × d'un ; b = × du b ; un .

L'étude des anneaux commutatifs s'appelle l'algèbre commutative de de .

Exemples

l'exemple le plus important est l'anneau de des nombres entiers avec les deux opérations de l'addition et de la multiplication. La multiplication ordinaire des nombres entiers est commutative. Cet anneau est habituellement le dénoté Z dans la littérature pour signifier le allemand Zahlen (nombres) de mot.
Le raisonnable, vrai et anneaux commutatifs complexes de forme de nombres du ; en fait, ils sont même les champs
Plus généralement, chaque champ est un anneau commutatif, ainsi la classe des champs est une sous-classe de la classe des anneaux commutatifs.
Un exemple simple d'un anneau non commutatif est le réglé de chacune des 2 matrices du by-2 dont les entrées sont de vrais nombres. Par exemple, le de
de la multiplication de Matrix de le $de \ commencent {bmatrix} 1 et 1 \ \ 0 et 1 \ \ \ extrémité {} de bmatrix \ cdot \ commencer {le bmatrix} 1 et 1 \ \ 1 et 0 \ \ \ extrémité {bmatrix} = \ commencer {le bmatrix} 2 et 1 \ \ 1 et 0 \ \ \ extrémité {bmatrix} le de$ n'est pas égal à la multiplication exécutée dans l'ordre opposé : le $de \ commencent {bmatrix} 1 et 1 \ \ 1 et 0 \ \ \ extrémité {} de bmatrix \ cdot \ commencer {le bmatrix} 1 et 1 \ \ 0 et 1 \ \ \ extrémité {bmatrix} = \ commencer {le bmatrix} 1 et 2 \ \ 1 et 1 \ \ \ extrémité {bmatrix}.$ Si le n est un nombre entier positif, alors le n de _{du Z d'ensemble du n de modulo de nombres entiers forme un anneau commutatif avec des éléments du n (voir l'arithmétique modulaire ).
Si le R est un anneau commutatif donné, alors l'ensemble de tous les polynômes dans le variable X dont les coefficients sont dans le R forme un nouvel anneau commutatif, le dénoté R ''.
De même, l'ensemble _{formel '' n ''} du de '' X '' ₁,…, '' X '' de de de la série entière R au-dessus d'un de l'anneau commutatif R est un anneau commutatif. Si le de R est un champ, l'anneau formel de série entière est un genre spécial d'anneau commutatif, appelé un le complet de l'anneau local .
L'ensemble de tous les nombres raisonnables ordinaires dont le dénominateur est les formes impaires par anneau commutatif, en fait un anneau local. Cet anneau contient l'anneau des nombres entiers correctement, et est lui-même un sous-ensemble approprié du champ raisonnable.
Si le de p est n'importe quel nombre premier , l'ensemble de '' p '' - les nombres entiers adic forme un anneau commutatif.
Un ensemble de matrices qui peuvent être diagonalized par avec la même transformation de similitude de forme un anneau commutatif. Un exemple est l'ensemble de matrices des différences divisées en ce qui concerne un ensemble fixe de noeuds.}

Construction des anneaux commutatifs

Donné un anneau commutatif, on peut l'employer pour construire de nouveaux anneaux, comme décrit ci-dessous.
anneau de facteur de de de

: donné un R d'anneau commutatif et un idéal I du du R , le R / I de l'anneau de facteur de de est l'ensemble de cosets du I ainsi que les opérations ( a+I ) + ( b+I ) = ( + b ) +I et ( a+I ) ( b+I ) = le ab+I .
localisation de : si le S est un sous-ensemble multiplicatif d'un R d'anneau commutatif puis nous peut définir la localisation du R au S , ou l'anneau des fractions avec des dénominateurs dans le S , le habituellement dénoté R du S ^-1. L'exemple pénultième ci-dessus est la localisation de l'anneau des nombres entiers au sous-ensemble multiplicatif de nombres entiers impairs. Le champ des nombres rationnels est la localisation de l'anneau commutatif des nombres entiers à l'ensemble multiplicatif de nombres entiers différents de zéro.
accomplissement de : si le I est un idéal dans un R d'anneau commutatif, les puissances des voisinages topologiques de forme du I du 0 qui permettent au R d'être regardé comme anneau topologique . Cette topologie s'appelle le I - topologie adic. Le R peut alors être accompli en ce qui concerne cette topologie. Formellement, le I - l'accomplissement adic est la limite inverse du R / Iⁿ d'anneaux. Par exemple, si le k est un champ, le '' X '' le , l'anneau formel de du k de la série entière dans une variable au-dessus du k , est le I - accomplissement adic du k '' où le de I est l'idéal principal produit par le de X. De façon analogue, l'anneau du de p - nombres entiers adic est le de I - accomplissement adic du Z où le de I est l'idéal principal produit par le de p.
Si le de R est un anneau commutatif donné, l'ensemble de tout le des polynômes R de au-dessus de de R forme un nouvel anneau commutatif, appelé le de l'anneau polynôme dans des variables de n au-dessus de R .
Si le de R est un anneau commutatif donné, alors l'ensemble de tout le _{formel '' n ''} du '' X '' ₁,…, '' X '' de de de la série entière R au-dessus d'un de l'anneau commutatif R est un anneau commutatif, appelé la série entière de sonnent dans des variables de n au-dessus de R .

Propriétés

Tout le Subrings et anneaux de quotient des anneaux commutatifs sont également commutatifs.
Si f : &rarr du R ; Le S est un homomorphisme injectif (c'est-à-dire, un monomorphisme d'anneau de du ) entre le R d'anneaux et le S , et si le S est commutatif, alors le R doit également être commutatif, depuis le f ( un · b ) = f ( un )· f ( b ) = f ( b )· f ( un ) = f ( b · un ).
De même, si f : &rarr du R ; Le S est un homomorphisme d'anneau de entre le R d'anneaux et le S , et si le R est commutatif, le 'subring 'de f ( de R) du de S est également commutatif ; en particulier, si le de f est le surjectif (et donc un Epimorphism ), le de S doit être commutatif.

Discussion générale

La structure intérieure d'un anneau commutatif est déterminée en considérant ses idéaux. Tous les idéaux dans un anneau commutatif sont bilatéraux, qui simplifie la situation considérablement.

La structure externe d'un anneau commutatif est déterminée en considérant l'algèbre linéaire au-dessus de cet anneau, c., en étudiant la théorie de ses modules . Ce sujet est plus difficile quand l'anneau commutatif n'est pas un champ et s'appelle habituellement le l'algèbre homologique . L'ensemble d'idéaux dans un R d'anneau commutatif peut être exactement caractérisé comme ensemble de R - les modules qui sont des sous-modules du R .

Un d'élément un d'un anneau commutatif (avec l'identité) s'appelle une unité de de s'il possède un inverse multiplicatif, c., si là existe un autre b d'élément de l'anneau (avec b pas nécessairement distinct du un ) de sorte que le ab = 1. Chaque élément différent de zéro d'un champ est une unité. Chaque élément d'un anneau local commutatif non contenu dans l'idéal maximal est une unité.

Un différent de zéro d'élément un d'un anneau commutatif serait un diviseur du zéro de si là existe un différent de zéro b d'élément de l'anneau tels que ab = 0 . Un anneau commutatif avec l'identité qui ne possède aucun diviseur zéro s'appelle un domaine intégral de de puisqu'il ressemble étroitement aux nombres entiers par certains côtés.

Quelques genres spécifiques d'anneaux commutatifs sont donnés avec la chaîne suivante des inclusions réglées :

&sup des anneaux commutatifs ; &sup de des domaines intégraux de ; &sup des domaines de factorisation unique de de ; &sup de des domaines d'idéal principal de de ; &sup des domaines euclidiens de de ; le de met en place le de

Une autre chaîne possible (qui est plus géométrique) est la chaîne suivante des inclusions :

le Cohen-Macaulay de sonne le &sup de ; le Gorenstein de sonne le &sup de de ; le militaire de carrière de de sonne le &sup de ; les gens du pays de militaire de carrière de de sonnent le de

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