Anneau booléen

Dans les mathématiques , un R de l'anneau booléen est un anneau pour lequel le X ² = X pour tout le X dans le R ; c'est-à-dire, le R consiste seulement en éléments de la quantité . Ces anneaux résultent (et provoquer) des algèbres booléennes

Exemples

Un exemple d'un anneau booléen est la puissance réglé de de n'importe quel X d'ensemble, où l'addition dans l'anneau est la différence symétrique , et la multiplication est l'intersection . En tant qu'autre exemple, nous pouvons également considérer l'ensemble de tous les sous-ensembles finis du de X , encore avec la différence symétrique et l'intersection comme opérations. Plus généralement avec ces opérations n'importe quel champ de des ensembles est un anneau booléen. Par le théorème de la représentation de la pierre de chaque anneau booléen est isomorphe à un champ des ensembles (traités comme anneau avec ces opérations).

Relation aux algèbres booléennes

Donné un R d'anneau booléen, parce que le X et le y dans le R que nous pouvons définir y de ∧ du X de

= de x/y, y de ∨ du X de

= X + &minus du y ; de x/y, X de ~ de

= 1 + X .

Ces opérations satisfont alors tous les axiomes pour se réunit, s'associe, et complète à une algèbre booléenne (pour l'uniformité, nous employons le du X ; + ; y ; &minus ; ; de x/y, bien que, comme remarquable sous les faits de ci-dessous, on pourrait écrire le du X ; + ; y ; + ; de x/y parce qu'il découle de la définition au-dessus de cela le du X d'identité ; = ; &minus ; le X se tient en ces anneaux). Ainsi chaque anneau booléen devient une algèbre booléenne. De même, chaque algèbre booléenne devient ainsi un anneau booléen :

de x/y = y , de ∧ du X X de

+ y = ( y de ∨ de X ) ~ de ∧ ( y de ∧ de X ).

Une carte entre deux anneaux booléens est un de l'homomorphisme d'anneau de si et seulement si c'est un homomorphisme des algèbres booléennes correspondantes. En outre, un sous-ensemble d'un anneau booléen est un anneau idéal (idéal idéal et maximal d'anneau principal de d'anneau) si et seulement si c'est un ordre idéal (idéal idéal et maximal d'ordre principal de d'ordre) de l'algèbre booléenne. L'anneau de quotient d'un modulo d'anneau booléen un idéal d'anneau correspond à l'algèbre de facteur du modulo correspondant d'algèbre booléenne l'idéal correspondant d'ordre.

Faits

Chaque R d'anneau booléen satisfait le X + X = 0 pour tout le X dans le R , parce que nous savons X de

+ X = ( X + X ) ² = X ² + 2 X ² + X ² = X + 2 X + X = X + X + X + X

et depuis < le R , +> est un groupe abélien, nous peut soustraire le X + X des deux côtés de cette équation, qui donne le X + X = 0. Une preuve semblable prouve que chaque anneau booléen est le commutatif : X de

+ y = ( X + y ) ² = X ² + de x/y + yx de + y ² = X + de x/y + yx de + y

et ceci rapporte le de x/y + yx de = 0, qui signifie le de x/y = &minus ; yx de = yx de (using la première propriété ci-dessus).

Le X de propriété + X = 0 prouve que n'importe quel anneau booléen est un l'algèbre associative au-dessus du F ₂ du champ avec deux éléments, dans juste à sens unique. En particulier, n'importe quel anneau booléen fini a comme la cardinalité une puissance de de deux . Non chaque algèbre associative avec un fini F ₂ est un anneau booléen : considérer par exemple le le F ₂ de l'anneau polynôme .

Le R / I d'anneau de quotient de n'importe quel modulo du R d'anneau booléen n'importe quel idéal I est encore un anneau booléen. De même, n'importe quel Subring d'un anneau booléen est un anneau booléen.

Chaque idéal de la perfection P dans un R d'anneau booléen est le maximal : le R / P de l'anneau de quotient est un domaine intégral et en même temps un anneau booléen, ainsi il doit être isomorphe au F ₂ du champ , qui montre le maximality du P . Puisque les idéaux maximaux sont toujours principaux, nous concluons que les idéaux principaux et les idéaux maximaux coïncident en anneaux booléens.

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