Angle plein

L'angle plein , le Ω de , est l'angle qu'un d'objet sous-tend à un point. C'est une mesure de la façon dont grand qui l'objet semble à un observateur à ce point. Par exemple, un petit objet tout près a pu sous-tendre le même angle plein comme grand objet lointain. L'angle plein est proportionnel à la superficie , le S de , d'une projection de cet objet sur une sphère centrée à ce point, divisé par la place du rayon de la sphère, le R . (Symboliquement, Ω = k S/R2 , où le k est la constante de proportionnalité.) Un angle plein est lié à la surface d'une sphère de la même manière qu'un angle ordinaire est lié à la circonférence d'un cercle .

Si la constante de proportionnalité est choisie pour être 1, les unités de l'angle plein seront le stéradian (" abrégé de du SI ; sr" ;). Ainsi l'angle plein d'une sphère mesurée à partir d'un point dans son intérieur est 4 Sr du π , et l'angle plein sous-tendu au centre d'un cube par un de ses côtés est un sixième de cela, ou Sr 2π/3. Des angles pleins peuvent également être mesurés (pour k = (180/π) 2) en degrés de place de ou (pour k = 1/4π) dans les fractions de la sphère (c., secteur partiel de ).

L'one-way pour déterminer le secteur partiel sous-tendu par une surface sphérique est de diviser le secteur de cette surface par la superficie entière de la sphère. Le secteur partiel peut alors être converti en mesures de degré de stéradian ou de place par les formules suivantes : le

pour obtenir l'angle plein dans les stéradians, multiplient le secteur partiel par 4π. Le

  • pour obtenir l'angle plein en degrés carrés, multiplient le secteur partiel par le × 4π (180/π) 2, qui est égal à 129600/π.

    Applications pratiques

    le


    définissant l'intensité lumineuse et l'excès sphérique calculateur E de

  • de la luminance
    • de d'un
  • de la triangle sphérique
    • de le calcul des potentiels en employant le
  • de la méthode d'élément de frontière (BEM)
    • évaluant la taille des Ligands dans des complexes en métal, voient le cône de Ligand de pêcher .
    calculant le champ électrique et la force du champ magnétique autour des distributions de charge.

    Angles pleins pour les objets communs

    Triangle sur une sphère

    Un algorithme efficace pour calculer le Ω d'angle plein sous-tendu par une triangle avec le A de sommets, le B , et le C , comme vu de l'origine a été donné par Oosterom et Strackee (IEEE trans. BME-30, non 2, 1983) :

    \ tan \ (\ frac {1} {2} \ Omega \ droit)

    laissé

    \ frac {a \ vec b \ vec c} {ABC + (\ vec a \ cdot \ vec b) c + (\ vec a \ cdot \ vec c) b + (\ vec b \ cdot \ vec c) a}

    ,

    là où : le de a \ vec b \ vec c dénote le déterminant de la matrice cette des résultats en écrivant les vecteurs ensemble dans une rangée, par exemple = du M_ {i1} \ vec a_i et ainsi de suite--c'est également équivalent au produit triple scalaire des trois vecteurs ; le de
    \ vec a est la représentation de vecteur du point A, alors qu'a est le module de ce vecteur (la distance d'origine-point) ; le de
    \ vec a \ cdot \ vec b dénote le produit scalaire .

    Cône, chapeau sphérique, hémisphère

    L'angle plein d'un cône avec l'angle de l'apex 2 \ thêta \, \ ! , est secteur de sphérique chapeau sur unité sphère \ Omega = 2 \ pi \ est parti (1 - \ cos {\ thêta} \) droit \, \ ! .

    (Le résultat ci-dessus est trouvé en calculant la double intégrale suivant using l'élément extérieur de d'unité dans les polars sphériques ) :

    \ int_0^ {2 \ pi} \ int_0^ {\ thêta} \ péché \ theta \ d \ theta \ d \ phi = 2 \ pi \ int_0^ {\ thêta} \ péché \ theta \ d \ theta = 2 \ pi \ parti - \ cos \ theta \ right_0^ {\} de thêta \ = 2 \ pi \ parti (1 - \ cos \ thêta \ droit).

    Quand   du θ de ; =  ; π/2, le chapeau sphérique devient un hémisphère ayant un angle plein 2π.

    Pyramide

    L'angle plein d'une pyramide rectangulaire droite four-sided avec l'apex pêche le a \, \ ! et b \, \ ! (mesuré aux visages de la pyramide) est 4 \ arcsin \ est parti (\ péché {a \ plus de 2} \ péché {b \ plus de 2} \) droit \, \ ! .
    Si les longueurs latérales (α de et β de ) de la base de la pyramide et la distance ( d ) du centre du rectangle au centre du cercle sont connues, alors l'équation ci-dessus peut être manoeuvrée pour donner : \ Omega = 4 \ arcsin \ frac {\ alpha \ bêta} {\ racine carrée {(4d^2+ \ alpha^2) (4d^2+ \ beta^2)}} \, \ ! .

    rectangle de Latitude-longitude

    Plein angle de latitude-longitude rectangle sur globe est \ est parti (\ péché \ phi_N - \ péché \ phi_S \ droit) \ à gauche (\ - de theta_E \ theta_W \) droit \, \ ! , où \ phi_N \, \ ! et \ phi_S \, \ ! sont les lignes du nord et de sud de la latitude (mesuré à partir de l'équateur en radians avec l'angle augmentant au nord), et \ theta_E \, \ ! et \ theta_W \, \ ! sont les lignes est et occidentales de la longitude (où l'angle en augmentations de radians vers l'est). Mathématiquement, ceci représente un arc de - de \ phi_N d'angle \ phi_S \, \ ! balayé autour d'une sphère par - de \ theta_E \ theta_W \, \ ! radians de . Quand les radians des envergures 2π de longitude et les radians de π d'envergures de latitude, l'angle plein est celui d'une sphère.

    Un rectangle de latitude-longitude ne devrait pas être confondu avec l'angle plein d'une pyramide rectangulaire. Chacun des quatre côtés d'une pyramide rectangulaire intersecte la surface de la sphère dans des arcs du grand cercle . Avec un rectangle de latitude-longitude, seulement les lignes de la longitude sont des arcs de grand cercle ; les lignes de la latitude ne sont pas.

    Sun et lune

    Le Sun et la lune sont vus de la terre à un secteur partiel 0.001% de l'hémisphère céleste ou de stéradian environ 6.

    Angle plein dans la dimension arbitraire

    Le volume de la sphère d'unité peut être défini dans n'importe quelle dimension. On a besoin souvent de ce facteur d'angle plein dans les calculs avec la symétrie sphérique. Il est donné par la formule

    \ Omega_ {d}

    \ frac {2 \ pi^ {d/2}} {\ gamma \ parti (\ frac {d} {2} \ droits)}

    là où le \ Gamma est la fonction gamma . Puisque d est un nombre entier, la fonction gamma peut être calculée explicitement. Elle suit cela

    \ Omega_ {d}

    \ frac {d \ pi^ {d/2}} {\ laissé (\ frac {d} {2} \ droits) !}

    quand d est égal, et

    \ Omega_ {d}

    \ frac {2^d \ parti (\ frac {d-1} {2} \ droits) !}{(d-1) !} \ pi^ {(d-1) /2}

    quand d est impair.

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