Analyse asymptotique

cet article est au sujet de la méthode mathématique d'analyse asymptotique . Pour des informations sur le asymptotique de la géométrie de , voir la courbe asymptotique .

Dans les mathématiques pures et les applications, en particulier l'analyse de des algorithmes , la vraie analyse, et la construction, l'analyse asymptotique est une méthode de décrire le limitant le comportement de . Le comportement limiteur semblable est parfois exprimé en langue des relations d'équivalence D'ailleurs, l'analyse asymptotique se rapporte à résoudre des problèmes approximativement jusqu'à de telles équivalences. Par exemple, donné le complexe-évalué des fonctions f et le de g d'un variable du nombre normal n, on écrit $f de \ sim g \ quadruple (\ mbox {comme} n \ \ infty)$

pour exprimer le fait cela

$\ lim_ {n \ \} infty \ frac {f (n)} {g (n)} = 1$

et $f$ et $g$ s'appellent le équivalent de asymptotiquement en tant que &rarr de de n ; &infin ;. Ceci définit une relation d'équivalence (sur l'ensemble de fonctions étant différentes de zéro pour tout le de n assez grand - la plupart des mathématiciens préfèrent le $f de définition \ sim g \ f-g=o d'IFF (g)$ en termes de notation de landau de , qui évite cette restriction). La classe d'équivalence du de f se compose de tout le des fonctions g qui " ; se comporter le like" ; de f, dans la limite.

La notation asymptotique a été développée pour fournir une langue commode pour la manipulation des rapports au sujet de l'ordre de du de croissance. Ce s'appelle également le de la notation de landau de de , puisqu'il est devenu populaire d'abord dans la recherche dans la théorie des nombres analytiques , à compter environ de 1900, présenté en le landau d'Edmund de (lancé cependant par Paul Bachmann ). Voir également la grande O notation du , parce que le traitement davantage du point de vue de l'analyse des algorithmes que le point de vue asymptotique est de base dans le de l'informatique, où la question est en général comment décrire l'implication de ressource de la graduation-vers le haut la taille d'un problème informatique, au delà du « jouet » de niveau.

Une expansion asymptotique de de d'un de la fonction f ( de X) est dans la pratique une expression de cette fonction en termes de série infinie , les sommes partielles de de que dont ne pas faire (nécessairement doivent) converger ; mais tels que la prise de n'importe quelle somme partielle initiale fournit une formule asymptotique pour le de f. L'idée est que les limites successives fournissent de plus en plus une description précise de l'ordre de la croissance du de f. Un exemple est l'approximation de Stirling de .

Dans les symboles, il signifie que nous avons $f de \ sim g_1$

mais également $f \ sim de g_1 + g_2$

et $f \ sim de g_1 + \ cdots + g_k$

pour chaque fixe du k, alors qu'une certaine limite est prise, habituellement avec la condition que de g_k = o ( +1 de _{k de de g), qui signifie la forme (de de g_k) une balance asymptotique .}

Au cas où l'expansion asymptotique ne convergerait pas, parce que aucune valeur particulière de l'argument il y aura une somme partielle particulière qui fournit la meilleure approximation et ajouter des limites additionnelles diminuera l'exactitude. Cependant, cette somme partielle optimale aura habituellement plus de limites comme l'argument approche la valeur limite.

Les expansions asymptotiques surgissent typiquement dans l'approximation de certaines intégrales (méthode de Seller-point de , méthode de de descente la plus raide ) ou dans l'approximation des distributions de probabilité (série d'Edgeworth de ). Les graphiques célèbres de Feynman de dans la théorie des champs de Quantum sont un autre exemple des expansions asymptotiques qui souvent ne convergent pas.

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