Algèbre de Lie

Dans les mathématiques , une algèbre de Lie de est une structure algébrique dont l'utilisation principale est en étudiant les objets géométriques tels que les groupes de Lie et des algèbres de Lie différentiables des tubulures ont été présentées pour étudier le concept des transformations infinitésimales le " de limite ; Algebra" de mensonge ; (après mensonge de Sophus de , prononcé /li ː/ (" ; lee" ;), pas /la ɪ/ (" ; lie" ;) ) a été présenté par le Hermann Weyl dans les années 30 . En textes plus anciens, le " nommé ; " infinitésimal du groupe ; est employé.

Définition et premières propriétés

Une algèbre de Lie est un type d'algèbre de au-dessus d'un champ ; c'est un $de l'espace de vecteur \ mathfrak {g}$ au-dessus d'un certain F du champ ainsi qu'un $de de l'opération binaire : \ mathfrak {g} \ période \ mathfrak {} de g \ \ mathfrak {g}$

a appelé le collecteur ou la parenthèse de mensonge de , qui satisfait les axiomes suivants :

Bilinearity : $X de de + b y, z = z +, de b z \ quadruple x + b y = x + b y$

pour tout le de grandeurs scalaires un , b dans le F et tout le X , y , z d'éléments dans le $\ mathfrak {g}.$
Anticommutativity de

, ou biaiser-symétrie : = de $de de \,$

pour tout le X , y d'éléments dans le $\ mathfrak {g}.$ quand le F est un champ du caractéristique deux, un doit imposer la condition plus forte : $de de =0 \$

pour tout le X dans le $\ mathfrak {g}.$
L'identité de Jacobi de : $de de ] +] +] = 0 \ quadruple$

pour tout le X , y , z dans le $\ mathfrak {g}.$

Pour tout associatif de l'algèbre A avec la multiplication *, on peut construire un L ( A ) d'algèbre de Lie. Comme espace de vecteur, le L ( A ) est le même que le A . La parenthèse de mensonge de deux éléments du L ( A ) est définie pour être leur collecteur dans le A : $de =a*b-b*a. \$

L'associativity de la multiplication * dans le A implique l'identité de Jacobi du collecteur dans le L ( A ). En particulier, l'algèbre associative du du n ; × ; ; les matrices du n au-dessus d'un F de champ provoque le _n linéaire général de $\ mathfrak de l'algèbre de Lie {gl} (F).$ le associatif A d'algèbre s'appelle un enveloppant l'algèbre du L ( A ) d'algèbre de Lie. On le sait que chaque algèbre de Lie peut être incluse dans une qui résulte d'une algèbre associative de cette fa4con. Voir l'universel de envelopper l'algèbre .

Homomorphisms, subalgebras, et idéaux

La parenthèse de mensonge n'est pas une opération associative signifiant généralement ce '' x '', '' y ''], le '' z n'a pas besoin d'égale]. Néanmoins, une grande partie de la terminologie qui a été développée dans la théorie de associatif sonne ou algèbres associatives de que est généralement appliqué aux algèbres de Lie. Un

\ mathfrak {h}

d'un

d'algèbre de Lie \ de mathfrak {g}

qui est fermé sous la parenthèse de mensonge s'appelle un subalgebra de mensonge de . Si un

I \ subseteq \ mathfrak de sous-espace {g}

satisfait un plus fort conditionner cela

de  \ subseteq I,

alors le I s'appelle un idéal dans le $d'algèbre de Lie \ mathfrak {g}.$ une algèbre de Lie dans laquelle le collecteur n'est pas identiquement zéro et laquelle n'a aucun idéal approprié s'appelle le simple. Un homomorphisme entre deux algèbres de Lie (au-dessus du même champ au sol) est une carte linéaire qui est compatible avec les collecteurs : $f de : \ mathfrak {} de g \ \ mathfrak {, de g'} \ quadruple f () =,$

pour tout le X d'éléments et y dans le $\ mathfrak {g}.$ comme dans la théorie d'anneaux associatifs, idéaux sont avec précision les grains des homomorphisms, donnés un $d'algèbre de Lie \ mathfrak {g}$ et un idéal I dans lui, un construit le $de l'algèbre de facteur de \ mathfrak {g} /I,$ et les premières prises du théorème d'isomorphisme de pour des algèbres de Lie. $de deux algèbres de Lie \ mathfrak donnés {g}$ et $\ mathfrak {le g'},$ leur somme directe est l'espace de vecteur $\ mathfrak {} de g \ oplus \ mathfrak {g'}$ comprenant le $de paires (x, de x') \, x \ dans \ mathfrak {g}, dans de x'\ \ mathfrak {g'},$ avec l'opération $de = (,), \ quadruple X, y \ dans \, du mathfrak {g} \, dans de y'\ de x', \ mathfrak {g'}.$

Approche catégorique

Une composition de

f de deux homomorphisms : \ mathfrak {} de g \ \ mathfrak {g'}

g : \ mathfrak {le g'} \ \ mathfrak { de g}

est un homomorphisme du

g d'algèbres de Lie \ du circ f : \ mathfrak {} de g \ \ mathfrak {g }.

si un

f d'homomorphisme : \ mathfrak {} de g \ \ mathfrak {g'}

est le bijectif, puis c'est le inversible et s'appelle un isomorphisme , et ces algèbres de Lie s'appellent le isomorphe. Pour beaucoup de buts, les algèbres de Lie isomorphes sont indistinguibles. La carte d'identité de sur n'importe quelle algèbre de Lie est un isomorphisme de l'algèbre de Lie avec elle-même.

Exemples

n'importe quel V de l'espace de vecteur doté de la parenthèse identiquement zéro de mensonge devient une algèbre de Lie. De telles algèbres de Lie s'appellent le abélien, cf. N'importe quelle algèbre de Lie unidimensionnelle au-dessus d'un champ est abélienne, par l'antisymmetry de la parenthèse de mensonge.

le tridimensionnel R ³ de l'espace euclidien avec la parenthèse de mensonge donnée par le produit en travers des vecteurs devient une algèbre de Lie tridimensionnelle.

l'algèbre de Heisenberg de est une algèbre de Lie tridimensionnelle avec le X , le y , le z de générateurs, dont les relations de commutation ont le de
de forme $=z de , \, du quadruple =0 \ quadruple =0. \,$

n'importe quel G du groupe de Lie définit un vrai =Lie associé de $\ mathfrak d'algèbre de Lie {g} (G).$ la définition est en général quelque peu technique, mais dans le cas des vrais groupes de Matrix de il peut être formulé par l'intermédiaire de la carte exponentielle , ou de l'exposant de matrice. Le $d'algèbre de Lie \ mathfrak {g}$ se compose du X de ces matrices pour lequel de
$\ exp) (de tX \ dans G \, de$ pour tout le t de vrais nombres. La parenthèse de mensonge du $\ du mathfrak {g}$ est donnée par le collecteur des matrices. Comme exemple concret, considérer le le groupe linéaire spécial SL ( n , R ), se composant de tout le du n ; × ; ; matrices du n avec les vraies entrées et cause déterminante 1. C'est un groupe de Lie de matrice, et son algèbre de Lie se compose de tout le du n ; × ; ; matrices du n avec les vraies entrées et trace 0.

le vrai espace de vecteur de tout le du n ; × ; ; les matrices Biaiser-hermitiennes du du n est fermée sous le collecteur et forme un vrai dénoté u ( n ) d'algèbre de Lie. C'est l'algèbre de Lie du groupe unitaire U (n).

une classe importante de vraies algèbres de Lie infini-dimensionnelles surgit dans la topologie différentielle . L'espace des champs de vecteur doux sur un différentiable M de la tubulure forme une algèbre de Lie, où la parenthèse de mensonge est définie pour être le collecteur des champs de vecteur. L'one-way d'exprimer la parenthèse de mensonge est par le formalisme des dérivés de mensonge de qui identifie un de champ de vecteur X avec un opérateur différentiel partiel du premier ordre que le L le X de _{de agissant sur des fonctions douces en laissant le L le X} ( f ) de _{de soit le dérivé directionnel du de fonction f dans la direction du X . La parenthèse de mensonge de deux champs de vecteur est le champ de vecteur défini par son action sur des fonctions par la formule : f=L_X de L_ de $de de {} (L_Y f) - L_Y (L_X f). \,$ < ! -- où on le sait que le côté droit est en effet un champ de vecteur. --> le cette algèbre de Lie est lié au Pseudogroup du Diffeomorphisms du M .}

< ! --- C'est un peu d'une surpuissance, et légèrement erroné L'espace de vecteur des champs de vecteur gauche-invariables sur un groupe de Lie est fermé sous cette opération et est donc une algèbre de Lie dimensionnelle finie. On peut alternativement penser à l'espace de vecteur fondamental de l'algèbre de Lie appartenant à un groupe de Lie comme espace de tangente à l'élément d'identité du groupe. La multiplication est le différentiel du collecteur de groupe, ( un , b ) &rarr ; ^{&minus du aba ; 1} ^{&minus du b ; 1}, à l'élément d'identité. --->
Les relations de commutation entre les composants du X , du y , et du z de l'opérateur du moment angulaire dans la mécanique quantique De forment une représentation d'une algèbre de Lie tridimensionnelle complexe, qui est la complexification du d'algèbre de Lie ainsi (3) du groupe tridimensionnel de rotation de : de
$L_x = I \ L_y$ hbar

Théorie et classification de structure

Chaque vraie ou complexe algèbre de Lie fini-dimensionnelle a une représentation fidèle par des matrices (le théorème de l'agitation de ). Les théorèmes fondamentaux du mensonge décrivent une relation entre les groupes de Lie et les algèbres de Lie. En particulier, n'importe quel groupe de Lie provoque une algèbre de Lie canoniquement déterminée, et réciproquement, pour n'importe quelle algèbre de Lie il y a un groupe de Lie relié correspondant (théorème du mensonge de le troisième). Ce groupe de Lie n'est pas déterminé uniquement, cependant, deux groupes de Lie reliés quelconques avec la même algèbre de Lie sont le localement isomorphe, et en particulier, avoir la même couverture universelle . Par exemple, le groupe orthogonal spécial AINSI (3) et le groupe unitaire spécial SU de (2) tous les deux provoquent la même algèbre de Lie, qui est isomorphe au R ³ avec le croix-produit, et le SU (2) est une couverture double simple-reliée d'AINSI (3). De vraies et complexes algèbres de Lie peuvent être classifiées dans une certaine mesure, et c'est souvent une étape importante vers la classification des groupes de Lie.

Un $d'algèbre de Lie \ mathfrak {g}$ est le abélien si la parenthèse de mensonge disparaît, c. = 0, pour tout le X et y dans le $\ mathfrak {g}$ . Les algèbres de Lie abéliennes correspondent abélien) aux groupes de Lie reliés commutatifs (ou . Une classe plus générale des algèbres de Lie est définie par le disparaition de tous les collecteurs de longueur donnée. Un $d'algèbre de Lie \ mathfrak {g}$ est le nilpotent si la série centrale inférieure $de \ mathfrak {g} > > \ mathfrak {g}, \, du mathfrak {g}] \ mathfrak {g > [\, de mathfrak {g} \ mathfrak {g}], \, du mathfrak {g}] \ mathfrak {g >…$

devient zéro par la suite. Par le théorème d'Engel de , une algèbre de Lie est nilpotent si et seulement si pour chaque u dans le $\ mathfrak {g}$ l'endomorphism d'Adjoint de $ad de (u) : \ mathfrak {} de g \ \, du mathfrak {g} \ quadruple \ operatorname {annonce} (u) v=$

est nilpotent. Plus généralement toujours, un $d'algèbre de Lie \ mathfrak {g}$ serait le soluble de si le dérivait la série : $de \ mathfrak {g} > >, de \ mathfrak {g} \ mathfrak {g}], [\, de mathfrak {g} \ mathfrak {g} > [\, de mathfrak {g} \ mathfrak {g}], [\, de mathfrak {g} \ mathfrak {g}]], [[\, de mathfrak {g} \ mathfrak {g}], [\, de mathfrak {g} \ mathfrak {g}] >…$

devient zéro par la suite. Chaque algèbre de Lie a un idéal soluble maximal unique, appelé son le radical. Sous la correspondance de mensonge, (respectivement, soluble) les groupes de Lie reliés nilpotent correspondent (respectivement, soluble) aux algèbres de Lie nilpotent.

Une algèbre de Lie est " ; " simple du ; s'il n'a aucun idéal non trivial et n'est pas abélien. Un $d'algèbre de Lie \ mathfrak {g}$ s'appelle le semisimple de de si son radical est zéro. D'une manière equivalente, le $\ mathfrak {g}$ est semisimple s'il ne contient aucun idéal abélien différent de zéro. En particulier, une algèbre de Lie simple est semisimple. Réciproquement, il peut montrer que n'importe quelle algèbre de Lie de semisimple est la somme directe de ses idéaux minimaux, qui sont des algèbres de Lie simples canoniquement déterminées.

De plusieurs manières, les classes du semisimple et les algèbres de Lie solubles sont aux extrêmes inverses du plein éventail des algèbres de Lie. La décomposition de Levi de exprime une algèbre de Lie arbitraire comme produit semidirect de son radical soluble et une algèbre de Lie de semisimple, presque d'une manière canonique. Des algèbres de Lie de Semisimple au-dessus d'un champ algébriquement fermé ont été complètement classifiées par leurs systèmes de racine de que la classification des algèbres de Lie solubles est un problème « sauvage », et ne peuvent pas être accomplies en général.

Le critère du de Cartan de donne des conditions pour un agebra de mensonge pour être nilpotent, soluble, ou le semisimple. Il est basé sur la notion de la forme , une forme bilinéaire symétrique de massacre de de sur le $\ mathfrak {g}$ définie par le $K de de formule (u, v)= \ operatorname {TR} (\ operatorname {annonce} (u) \ operatorname {annonce} (v)),$ là où le TR dénote la trace de d'un opérateur linéaire . Un $d'algèbre de Lie \ mathfrak {g}$ est nilpotent si et seulement si la forme de massacre est identiquement zéro, et semisimple si et seulement si la forme de massacre est le Nondegenerate. Un $d'algèbre de Lie \ mathfrak {g}$ est soluble si et seulement si le $K (\ mathfrak {g},) =0.$

Le concept du semisimplicity pour des algèbres de Lie est étroitement lié avec la réductibilité complète de leurs représentations. Quand le au sol F de champ a le caractéristique zéro, le semisimplicity d'un $d'algèbre de Lie \ de mathfrak {g}$ au-dessus du F est équivalent à la réductibilité complète de toutes les représentations fini-dimensionnelles du $\ du mathfrak {g}.$ une preuve tôt de ce rapport a procédé par l'intermédiaire du raccordement avec les groupes compacts (le tour unitaire de Weyl de ), mais des preuves entièrement algébriques postérieures ont été trouvées.

Relation aux groupes de Lie

Bien que des algèbres de Lie soient souvent étudiées de leur propre chef, historiquement elles ont surgi comme des moyens d'étudier des groupes de Lie. Donné un groupe de Lie, une algèbre de Lie peut être associée à elle en dotant l'espace de tangente à l'identité au différentiel de la carte d'Adjoint de , ou en considérant les champs de vecteur gauche-invariables comme mentionné dans les exemples. Cette association est Functorial , signifiant que les homomorphisms des groupes de Lie se soulèvent aux homomorphisms des algèbres de Lie, et de diverses propriétés sont satisfaites par ce levage : il permute avec la composition, il trace des sous-groupes de mensonge, des grains, des quotients et des cokernels des groupes de Lie aux subalgebras, aux grains, aux quotients et aux cokernels des algèbres de Lie, respectivement.

Le functor qui prend chaque groupe de Lie à son algèbre de Lie et chaque homomorphisme à son différentiel est un plein et fidèle functor exact. Ce functor n'est pas inversible ; les différents groupes de Lie peuvent avoir la même algèbre de Lie, par exemple AINSI (3) et SU (2) ont des algèbres de Lie isomorphes. Encore plus mauvais, quelques algèbres de Lie n'ont pas besoin d'avoir le tout groupe de Lie associé par . Néanmoins, quand l'algèbre de Lie est fini-dimensionnelle, il y a toujours au moins un groupe de Lie dont l'algèbre de Lie est celle à l'étude, et un groupe de Lie preferred peut être choisi. N'importe quel groupe de Lie relié par fini-dimensionnel de a une couverture universelle . Ce groupe peut être construit comme image de l'algèbre de Lie sous la carte exponentielle . Plus généralement, nous avons que l'algèbre de Lie est le homéomorphe à un voisinage de l'identité. Mais globalement, si le groupe de Lie est compact, l'exponentiel ne sera pas le injectif, et si le groupe de Lie n'est pas relié, le simplement relié ou le compact, la carte exponentielle n'a pas besoin d'être le surjectif.

Si l'algèbre de Lie est infini-dimensionnelle, l'issue est plus subtile. Dans beaucoup de cas, la carte exponentielle n'est pas même localement une homéomorphie (par exemple, dans Diff ( S ¹), on peut trouver les diffeomorphisms arbitrairement près de l'identité qui ne sont pas dans l'image de l'exp). En outre, quelques algèbres de Lie infini-dimensionnelles ne sont pas l'algèbre de Lie de tout groupe.

La correspondance entre les algèbres de Lie et les groupes de Lie est employée de plusieurs manières, incluant dans la classification de des groupes de Lie et la matière relative de la théorie de représentation de de groupes de Lie. Chaque représentation d'une algèbre de Lie se soulève uniquement à une représentation de la correspondance reliée, groupe de Lie simplement relié, et réciproquement chaque représentation de n'importe quel groupe de Lie induit une représentation de l'algèbre de Lie du groupe ; les représentations sont dans une à une correspondance. Par conséquent, connaître les représentations d'une algèbre de Lie règle la question des représentations du groupe. Quant à la classification, il peut montrer que n'importe quel groupe de Lie relié avec une algèbre de Lie indiquée est isomorphe au mod universel de couverture par sous-groupe central discret. Ainsi la classification des groupes de Lie devient simplement une question de compter les sous-groupes discrets du centre, une fois que la classification des algèbres de Lie est connue (résolu par Cartan et autres dans le cas de Semisimple ).

Définition théorétique de catégorie

Using la langue de la théorie de catégorie de , une algèbre de Lie de peut être définie comme d'objet A dans le Vec , la catégorie de des espaces de vecteur ainsi qu'un Morphism : &otimes du A ; &rarr du A ; A , où &otimes ; se rapporte au produit monoidal du Vec , tels que
$de \ cdot \ circ (\ + de mathrm {identification} \ tau_ {A, A}) = 0$
$\ cdot \ circ (\ cdot \ otimes \) de mathrm {identification} \ circ (\ mathrm {identification} + \ + de sigma \ sigma^2) = 0$

là où &tau ; ( &otimes d'un ; b ) : = &otimes du b ; un et un &sigma ; est le tressage de la permutation cyclique (&otimes d'identification ; &tau ; &DEG DU A , DU A DE _{) ; (&tau ; A , &OTIMES DE _{DU A} ; identification). Sous la forme schématique :}

Voir également

class=" de

Représentation d'Adjoint de d'une algèbre de Lie
Algèbre de Lie d'Anyonic
Cohomology d'algèbre de Lie de
Bialgebra de mensonge de
Coalgebra de mensonge de
Superalgebra de mensonge de
Forme de massacre de
Physique de particules de et théorie de représentation
Algèbre de Poisson de
Le Quasi-Se trouvent l'algèbre
Représentation de d'une algèbre de Lie

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