Algèbre de Hecke

L'algèbre de Hecke de est le nom commun de plusieurs types relatifs d'anneaux associatifs dans l'algèbre et la théorie de représentation de . Plus le familier de ces derniers est l'algèbre de Hecke de d'un groupe de Coxeter, également connue sous le nom d'algèbre d'Iwahori-Hecke de , qui est une déformation d'un-paramètre de l'algèbre de groupe de d'un groupe de Coxeter de . Des algèbres de Hecke d'une sorte plus générale sont considérées dans la théorie de représentation de groupes réducteurs au-dessus des champs locaux et la théorie des formes d'Automorphic de

Des algèbres de Hecke sont intimement reliées raccordement des groupes de tresse d'Artin de à ce ont trouvé une application spectaculaire dans le construction de Jones Vaughan 'de nouveaux invariants de des noeuds . Les représentations des algèbres de Hecke ont mené à la découverte des groupes de Quantum de par le Michio Jimbo . Le Freedman de Michael de a proposé des algèbres de Hecke comme base pour le calcul topologique de quantum de .

Algèbre de Hecke d'un groupe de Coxeter

Supposer que ce (W, S) est un système de Coxeter de avec le M de matrice de Coxeter. Fixer un au sol R d'anneau (le plus généralement, le R est le

d'anneau \ mathbb {Z}

des nombres entiers ou d'un champ algébriquement fermé, tel que le

\ mathbb {C}

). Laisser le q être un indéterminé formel, et laisser le A=R '' être l'anneau des polynômes de Laurent de au-dessus du de R. Alors l'algèbre de Hecke de définie par ces données est l'algèbre associative unital au-dessus du de A avec le des générateurs T_s pour tout le s&ensp de ; du ∈ S et les relations :

T_s T_t T_s \ ldots = T_t T_s T_t \ ldots,

de où chaque côté a les facteurs < du

m_ {rue} \ infty

et le

S \ Ne t \ dans le S ( de relations de tresse de ) (T_s-q) (T_s+1)=0

pour tous les

s \ dans S

( quadratique de relation de ).

Cet anneau s'appelle également le l'algèbre générique de Hecke de , pour la distinguer de l'anneau obtenu à partir du de H en spécialisant le indéterminé de q à un élément de de R (par exemple, un nombre complexe si de R=C).

avertissant : en livres et journal récents, Lusztig avait employé une forme modifiée de la relation quadratique qui lit le $(T_s-q^ {1/2}) (T_s+q^ {- 1/2}) =0.$ après l'élargissement des grandeurs scalaires pour inclure le $q^ {\ P. 1/2},$ que l'algèbre en résultant de Hecke est isomophic à précédemment définie. Tandis que ceci ne change pas la théorie générale, beaucoup de formules semblent différentes.

Propriétés

1. L'algèbre de Hecke a une base { T_w } au-dessus du A répertorié par les éléments du W de groupe de Coxeter. En particulier, le H est un libre A - module. Si le w=s₁s₂… s_n est une décomposition réduite par de w&ensp de ; ∈ W , puis

T_w=T_ {s_1} T_ {s_2} \ ldots T_ {s_n}.

cette base d'algèbre de Hecke s'appelle parfois le la base normale . L'élément neutre du W correspond à l'identité du H : T_e=1 . Les éléments de la base normale sont le multiplicatif, à savoir, le T_yw=T_yT_w quand le l (yw) le =l (y)+l (w) , où le l dénote la fonction de longueur de sur le W de groupe de Coxeter. Les éléments de la base normale sont inversibles. Par exemple, de la relation quadratique nous concluons ce =q^ de

T_s^ {- 1} {- 1} T_s+ (q^ {- 1} - 1). Supposer que le W est un groupe fini et l'anneau au sol est le de champ \ mathbb {C} des nombres complexes. Les mésanges de Jacques de a prouvé cela si le indéterminé q est spécialisé à n'importe quel nombre complexe dehors de une liste explicitement donnée (se composant des racines de l'unité), alors l'algèbre fini-dimensionnelle en résultant est semisimple et isomorphe à l'algèbre complexe de groupe du W (correspondant au de cas q =1). Plus généralement, si le W est un groupe fini et le au sol R d'anneau est un champ de la caractéristique zéro , puis l'algèbre de Hecke est une algèbre associative de semisimple de au-dessus du A . D'ailleurs, les premiers résultats de élargissement de Benson et de Curtis, George Lusztig ont fourni un isomorphisme explicite entre l'algèbre de Hecke et l'algèbre de groupe après la prolongation des grandeurs scalaires au champ de quotient de R. < ! -- que si le A est prolongé au K=R de champ (q^ {\ frac12}) puis le H_K=H de K- algebra \ otimes_A K obtenu à partir du H par le changement des grandeurs scalaires est isomorphe au-dessus de K à l'algèbre K de groupe du W de groupe de Coxeter. Sur un théorème de Benson et de Curtis. Algèbre 71 (1981), numéro 2, 490--498. Cependant, il semble excessif donner cette référence dans un article dans une encyclopédie ! -->

Base canonique

voient également :

polynôme de Kazhdan-Lusztig Une grande découverte de Kazhdan et de Lusztig était qu'une algèbre de Hecke admet une base différente du , qui d'une manière commande la théorie de représentation d'une série d'objets relatifs.

Considérer un d'algèbre de Hecke H au-dessus du $A= d'anneau \ du mathbb {Z},$ en tant que dans la propriété 4 ci-dessus. Cet anneau a une barre de d'involution qui trace le to ${- \ frac12}$ et agit en tant qu'identité sur le Z . Alors le H admet un unique i d'automorphisme d'anneau qui est semi-linéaire en ce qui concerne l'involution de barre de $A$ et trace $T_s$ au $T_s^ {- 1}.$ il peut plus loin montrer que cet automorphisme est involutif (a l'ordre deux) et prend n'importe quel $T_w$ au _ de $T^ {- 1} {w^ {- 1}}.$

Théorème (Kazhdan-Lusztig)

Pour chaque w&ensp de ; ∈W là existe unique élément

C'_ w

qui est invariable sous le i d'involution et a propriété qui dans expansion

C'_ w= (q^ {- 1/2}) ^ {l (w)} \ sum_ {y \ leq W} P_ {y, W} T_y

au-dessus des éléments de la base normale, on a le

P_ {W, W} =1, P_ {y, W} (q) \ dans \ mathbb {Z}

a le

\ leq \ frac de degré {1} {2} (l (W) - l (y) - 1)

y dans l'ordre de Bruhat de et le P_ {y, W} =0 si y \ nleq w.

Le $C'_ w$ d'éléments où le W varie au-dessus de la forme du W une base du H d'algèbre, qui s'appelle la base canonique duelle de du H d'algèbre de Hecke. Le $de la base de \ {C_w : W \ dans W \}$ est obtenu d'une manière semblable. Le $P_ de polynômes {y, W} (q)$ faisant l'aspect dans ce théorème sont les polynômes de Kazhdan-Lusztig de .

Les notions de Kazhdan-Lusztig des cellules gauches, bonnes et bilatérales de dans des groupes de Coxeter sont définies par le comportement de la base canonique sous l'action du H .

Algèbre de Hecke d'un groupe localement compact

Les algèbres d'Iwahori-Hecke sont apparues la première fois comme cas spécial important d'une construction très générale dans la théorie de groupe. Laissé ( G , K ) être une paire se composant d'un topologique G du groupe de contrat de localement et de son fermé K de sous-groupe. Puis l'espace du K - fonctions continues invariables de Bi C de

peut être doté d'une structure d'une algèbre associative sous l'opération de la convolution . Cette algèbre est dénotée H ( DE G // K ) DE

et appelé l'anneau de Hecke de des paires ( G , K ). Si nous commençons par une paire de Gelfand de puis l'algèbre en résultant s'avère être commutative. En particulier, ceci tient quand G de

= SL _n (Q_p) et K = SL _n (Z_p)

et les représentations de l'anneau commutatif correspondant de Hecke ont été étudiées par le Ian G.

D'une part, dans le cas G de

= SL ₂(Q) et K = SL ₂(Z)

nous arrivons à l'anneau abstrait derrière les opérateurs de Hecke de dans la théorie des formes modulaires , qui ont donné le nom aux algèbres de Hecke en général.

Le cas menant à l'algèbre de Hecke d'un groupe fini de Weyl est quand le G est le groupe fini de Chevalley de au-dessus d'un champ fini avec des éléments du p ^k, et le B est son sous-groupe de Borel de . Iwahori a montré à cela l'anneau de Hecke H ( DE G // K )

est obtenu à partir du générique H _q d'algèbre de Hecke du W du groupe de Weyl de du G en spécialisant le indéterminé q de la dernière algèbre au p ^k, la cardinalité du champ fini. George Lusztig a remarqué en 1984 (des caractères de des groupes réducteurs au-dessus d'un champ fini , XI, apostille) : de que je pense qu'il serait le plus approprié de l'appeler l'algèbre d'Iwahori, mais l'anneau nommé de Hecke (ou l'algèbre) donnée par Iwahori lui-même a été en service pendant presque 20 années et elle est probablement trop tardive pour la changer maintenant.

Iwahori et Matsumoto (1965) ont considéré le cas quand le G est un groupe de points d'un groupe algébrique réducteur au-dessus d'un non-d'Archimède K du champ local , tel que le p de _{du Q , et le K est ce qui s'appelle maintenant un sous-groupe d'Iwahori de du G . L'anneau en résultant de Hecke est isomorphe à l'algèbre de Hecke du affinent le groupe de Weyl de G , ou le affinent l'algèbre de Hecke, où le indéterminé q a été spécialisé à la cardinalité du champ de résidu de du K .}

Travail de Roger Howe dans les années 70 et de ses papiers avec Allen Moy sur des représentations du p - le adic n de _{du GL a ouvert une possibilité de classifier les représentations admissibles irréductibles des groupes réducteurs au-dessus des champs locaux en termes d'algèbres convenablement construites de Hecke. (Des contributions importantes ont été également apportées par Joseph Bernstein et Andrey Zelevinsky.) Ces idées ont été prises beaucoup plus loin théorie dans de Colin Bushnell et de Philip Kutzko des types , leur permettant d'accomplir la classification dans le cas linéaire général. Plusieurs des techniques peuvent être prolongées à d'autres groupes réducteurs, qui reste un domaine de recherche active. On l'a conjecturé que toutes les algèbres de Hecke qui sont jamais nécessaires soient des généralisations douces de affinent des algèbres de Hecke.}

Représentations des algèbres de Hecke

Il découle du travail d'Iwahori que des représentations complexes des algèbres de Hecke de type fini sont intimement rapportées avec la structure des représentations sphériques de principale série de des groupes finis de Chevalley.

George Lusztig a poussé ce raccordement beaucoup plus loin et pouvait décrire la plupart des caractères des groupes finis de type de mensonge en termes de théorie de représentation d'algèbres de Hecke. Ce travail a employé un mélange des techniques géométriques et de diverses réductions, mené à l'introduction de divers objets généralisant des algèbres de Hecke et l'arrangement détaillé de leurs représentations (pour q pas une racine de l'unité). Les représentations modulaires des algèbres de Hecke et les représentations aux racines de l'unité se sont avérées être rapportées avec la théorie de bases canoniques dans le affinent les groupes de quantum et la combinatoire très intéressante.

La théorie de représentation de affinent des algèbres de Hecke a été développée par Lusztig avec une vue vers s'appliquer l'à la description des représentations du p - groupes adic. Elle est de plusieurs manières très différente dans la saveur du cas fini. Une généralisation de affinent des algèbres de Hecke, appelées le double de affinent l'algèbre de Hecke, a été employée par le Ivan Cherednik dans sa preuve des conjectures de Macdonald de .

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