Alfred Tarski

Le Alfred Tarski (le le 14 janvier , le 1902 , Varsovie , le russe a ordonné le Pologne - le 26 octobre , 1983 , Berkeley, la Californie ) était un logicien Polir-Américain du et le mathématicien . Instruit dans l'école de Varsovie de des mathématiques et de la philosophie, il a émigré aux Etats-Unis en 1939, et les mathématiques enseignées et recherchées à l'Université de Californie de , Berkeley , de 1942 jusqu'à sa mort.

Un auteur prolifique le plus connu pour son travail sur la théorie des modèles , le Metamathematics , et la logique algébrique , il a également contribué à l'algèbre d'abrégé sur , à la topologie , à la géométrie , à la théorie des mesures , à la logique mathématique , à la théorie des ensembles , et à la philosophie analytique .

Parmi des logiciens, il se range avec le Aristote , le Frege , le Bertrand Russell et le Gödel . Ses biographes Anita et Solomon Feferman déclarent cela, " ; Avec son contemporain, Kurt Gödel , il a changé le visage de la logique au 20ème siècle, particulièrement par son travail sur le concept de la vérité et la théorie de " des modèles ; (A.)

La vie

Alfred Tarski était né Alfred Teitelbaum (épellation polonaise : " ; Tajtelbaum" ;), aux parents qui étaient les juifs polonais dans des circonstances confortables. Un certain suspect qu'il a hérité de son brillant de sa mère, Rosa Prussak. Il a manifesté la première fois ses capacités mathématiques tandis que dans l'école secondaire, au Szkoła Mazowiecka de Varsovie. Néanmoins, il est entré à l'université de de Varsovie en 1918 entendant étudier la biologie .

Dans le 1919 , la Pologne est devenue une nation pour la première fois depuis le 1795 , et l'université de Varsovie de est devenue une université polonaise. Sous la conduite du janv. Łukasiewicz , du Stanisław Leśniewski et du Wacław Sierpiński , l'université est immédiatement allée bien à un leader mondial en logique, mathématiques fondamentales, philosophie des mathématiques, et philosophie analytique et linguistique. À l'université de Varsovie de , Tarski a eu une rencontre fatidique avec Leśniewski, qui a découvert le génie de Tarski et l'a persuadé d'abandonner la biologie pour des mathématiques. Dorénavant Tarski a suivi des cours enseignés par Łukasiewicz, Sierpiński, Stefan Mazurkiewicz et Tadeusz Kotarbiński , et est allé bien à la seule personne jamais pour remplir un doctorat sous la surveillance de Leśniewski. Tarski et Leśniewski bientôt se sont développés frais entre eux. Dans la correspondance privée, Leśniewski a parfois utilisé la langue antisémitique du en discutant Tarski. Dans la vie postérieure, Tarski a réservé son éloge plus chaude pour le Kotarbiński .

En 1923, Alfred Teitelbaum et son frère Wacław ont changé leur nom de famille en " ; Tarski, " ; un nom qu'ils ont inventé parce qu'il a semblé polonais, étaient simples pour orthographier et prononcer, et semblé inutilisé. (Des ans après, Alfred a rencontré un autre Alfred Tarski dans le nordique la Californie .) Les frères de Tarski ont également converti en catholicisme romain , la religion dominante de de la Pologne. Alfred a fait ainsi quoiqu'il ait été un athée avéré , parce qu'il était sur le point de remplir son doctorat et correctement prévu qu'il serait difficile que un juif obtienne une position sérieuse dans le nouveau système d'université polonais. Tarski était un nationaliste polonais qui s'est vu en tant que Polonais et souhaité pour être entièrement accepté en soi. En Amérique, il a parlé polonais à la maison.

En Tarski 1929 marié un professeur semblable Maria Witkowska, un Polonais de l'ascendance catholique. Elle avait travaillé comme courier pour l'armée pendant le combat de la Pologne pour l'indépendance. Ils ont eu deux enfants, un fils janv. qui sont devenus un physicien, et une fille qui a marié le Andrzej Ehrenfeucht de mathématicien.

Après être devenu le jeune jamais pour remplir un doctorat à l'université de Varsovie, Tarski a enseigné la logique à l'institut, aux mathématiques et à la logique pédagogiques polonais à l'université, et a servi d'aide de Łukasiewicz. Puisque ces positions étaient mal payées, Tarski a également enseigné des mathématiques à une école secondaire de Varsovie ; avant la deuxième guerre mondiale, il n'était pas rare que les intellectuels européens du calibre de recherches enseignent le lycée. Par conséquent entre 1923 et son départ pour les Etats-Unis en 1939, Tarski a non seulement écrit plusieurs manuels et beaucoup de papiers, un certain nombre ils d'inauguration, mais également a fait ainsi tout en se soutenant principalement en enseignant des mathématiques de lycée. Tarski s'est appliqué pour une chaise de philosophie à l'université de Lwów de , mais sur le recommandation de s de Bertrand Russell 'il a été attribué au Leon Chwistek . En 1937 Tarski s'est appliqué pour une chaise à l'université de Poznań de ; mais plutôt qu'attribuent une chaise à une d'ascendance juive, la chaise a été supprimé (Feferman et Feferman, 2004, Pp.

En 1930, Tarski a visité l'université de Vienne, parlée au colloque de Menger, et le rencontré Kurt Gödel . Grâce à une camaraderie, Tarski pouvait retourner à Vienne pendant la première moitié de 1935 au travail avec le groupe de recherche de Menger. De Vienne il a voyagé à Paris pour présenter ses idées sur la vérité lors de la première rencontre de l'unité de du mouvement de la Science , une conséquence du cercle de Vienne de . Les cravates de Tarski à ce mouvement ont sauvé sa vie, parce qu'elles ont eu comme conséquence le sien étant invitées à adresser l'unité du congrès de la Science tenue en septembre 1939 à l'Université de Harvard . Ainsi il a quitté la Pologne en août 1939, sur le dernier bateau à la voile de Pologne pour le Etats-Unis avant l'invasion allemande de de la Pologne et la manifestation de la deuxième guerre mondiale . Tarski est parti à contre-coeur, parce que Leśniewski était mort quelques mois avant, créant une offre d'emploi qui Tarski espéré pour remplir. Il était si inconscient à la menace nazie qu'il a laissée à son épouse et enfants à Varsovie ; il ne les a pas revus jusqu'en 1946. Pendant la guerre, presque tout son famille étendu est mort aux mains des nazis.

Une fois aux Etats-Unis, Tarski a tenu un certain nombre de positions provisoires d'enseignement et de recherches : Université de Harvard (1939) de , université de ville de de New York (1940), et grâce à une camaraderie de Guggenheim, l'institut de pour les études supérieures chez Princeton (1942), où il a encore rencontré Gödel. Tarski est allé bien à un citoyen américain en 1945. En 1942, Tarski a joint le département de mathématiques à l'Université de Californie de , Berkeley , où il a dépensé le reste de sa carrière. Bien qu'honoraire de 1968, il a enseigné jusqu'en 1973 et a dirigé des candidats de Ph. Chez Berkeley, Tarski a acquis une réputation en tant que professeur impressionnant et exigeant : le

ses conférences chez Berkeley rapide est devenu une centrale électrique de la logique. Ses étudiants, bon nombre d'entre elles ont maintenant distingué des mathématiciens, rappellent l'énergie impressionnante avec laquelle il cajolerait et cajole leur meilleur établissent de elles, exigeant toujours les niveaux les plus élevés de la clarté et du precision." ; '' Chronomètre '' la nécrologie.

"Tarski était extroverted, d'esprit vif, strong-willed, énergique, et sharp-tongued. Il preferred sa recherche à être de collaboration - parfois travaillant toute la nuit avec un collègue - et était très fastidieux au sujet de priority." ; (Gregory Moore, " ; Alfred Tarski" ; en dictionnaire de de scientifique de biographie.

"Un chef charismatique et un professeur, connus pour son modèle expositoire brillamment précis pourtant mystérieux, Tarski ont eu des niveaux intimidatingly élevés pour des étudiants, mais en même temps il pourrait être très d'une manière encourageante, et particulièrement ainsi aux femmes - contrairement à la tendance générale. Quelques étudiants ont été effrayés loin, mais un cercle des disciples est demeuré, beaucoup de qui est allé bien aux chefs monde-renommés dans le field." ; (Anita Feferman 1999)

Tarski a dirigé 24 dissertations de Ph., 5 par des femmes, et a fortement influencé les dissertations du Alfred Lindenbaum , du Dana Scott , et du Steven Givant. Ses étudiants incluent le Andrzej Mostowski , Julia Robinson , Robert Vaught , Solomon Feferman , Richard Montague , le moine du J. Donald, Donald Pigozzi, Roger Maddux, et les auteurs du texte classique sur la théorie des modèles , Chang et Jerome Keisler (1973). Tarski a parlé le centre d'enseignement supérieur de , à Londres (1950, 1966), le Institut Henri Poincaré à Paris (1955), l'institut de Miller de pour la recherche fondamentale en la Science dans Berkeley (1958-1960), l'Université de Californie de à Los Angeles (1967), et l'université catholique pontificale de du Chili (1974-75). Il a été élu à l'Académie des Sciences nationale et à l'académie britannique , et présidé au-dessus de l'association de pour la logique symbolique , 1944-46, et l'union internationale de pour l'histoire et la philosophie de la Science , 1956-57.

Mathématicien

Les intérêts mathématiques de Tarski étaient exceptionnellement larges pour un logicien mathématique ses papiers rassemblés courus à environ 2500 pages, la plupart d'entre elles sur des mathématiques, pas logique. Pour un aperçu concis des accomplissements mathématiques et logiques de Tarski par son Solomon Feferman d'ancien étudiant, voir le " ; Intermèdes I-VI" ; dans Feferman et Feferman (2004).

Le premier document de Tarski, édité quand il était 19 années, était sur la théorie des ensembles , a sujet à laquelle il est retourné durant toute sa vie. En 1924, lui et le Stefan Banach ont montré qu'une boule peut être coupée en nombre fini de morceaux, et alors rassemblé dans une sphère d'une plus grande taille, ou alternativement elle peut être rassemblée dans deux sphères dont les tailles chacune l'égale qui de l'originale. Ce résultat s'appelle maintenant le paradoxe de Banach-Tarski de .

Dans la méthode de décision du A pour l'algèbre élémentaire et la géométrie , Tarski a montré, par la méthode d'élimination de Quantifier de , que la théorie de premier ordre des vrais nombres sous l'addition et la multiplication est le que l'on peut décider. (Tandis que ce résultat apparaissait seulement en 1948, il remonte à 1930 et a été mentionné en Tarski (1931).) C'est un résultat très curieux, parce que l'église d'Alonzo de prouvée en 1936 que le Peano arithmétique (effectivement la théorie Tarski a prouvé que l'on peut décider, sauf que les nombres normaux remplacent les reals) est le pas que l'on peut décider. L'arithmétique de Peano est également inachevée par le théorème de l'imperfection de Gödel de . Dans ses théories 1953 d'Undecidable de , Tarski a et autres prouvé que beaucoup de systèmes mathématiques, y compris la théorie de trellis de , la géométrie projective abstrait, et les algèbres sont tout de fermeture de undecidable. La théorie des groupes abéliens est que l'on peut décider, mais ce des groupes non-Abéliens n'est pas.

Dans les années 20 et le 30s, Tarski a souvent enseigné la géométrie de lycée. En 1929, il a prouvé que beaucoup de la géométrie pleine euclidienne pourrait être remaniée comme première théorie d'ordre dont les individus sont des sphères, une notion primitive, un " primitif simple de relation binaire ; est contenu dedans, " ; et deux axiomes qui, entre autres, impliquent ce de retenue commande partiellement les sphères. Détente de la condition que tous les individus soient des rendements de sphères par formalisation de Mereology bien plus facile à l'exposit la variante de ce Lesniewski. Commençant dans le 1926 , Tarski a conçu une axiomatisation originale pour la géométrie euclidienne , un de plat considérablement plus concis que le de Hilbert de . L'axiomatisation de Tarski est une théorie de premier ordre exempte de la théorie des ensembles , dont les individus sont les points et avoir seulement deux relations primitives en 1930, il a prouvé ce que l'on peut décider de théorie parce qu'elle peut être tracée dans une autre théorie qu'il avait déjà prouvé que l'on peut décider, à savoir sa théorie de premier ordre des vrais nombres. Vers la fin de sa vie, Tarski a écrit une lettre très longue, éditée comme Tarski et Givant (1999), récapitulant son travail sur la géométrie.

Les algèbres cardinales de ont étudié les algèbres dont les modèles incluent l'arithmétique des algèbres ordinales de des nombres cardinaux que a visé une algèbre pour la théorie additive de types d'ordre de cardinal de , mais pas le nombre ordinal, addition permute.

En 1941, Tarski a édité un document important sur les relations binaires qui ont commencé le travail sur l'algèbre de relation de et son Metamathematics qui ont occupé Tarski et ses étudiants pour une grande partie de l'équilibre de sa vie. Tandis que cette exploration (et le travail étroitement lié de Roger Lyndon ) découvraient quelques limitations importantes d'algèbre de relation, Tarski a également montré que (Tarski et Givant 1987) cette algèbre de relation peut exprimer la plupart de théorie des ensembles axiomatique et Peano arithmétique. Pour une introduction à l'algèbre de relation de , voir le Maddux (2006). Vers la fin des années 40, Tarski et ses étudiants ont conçu les algèbres cylindrique qui sont à la logique de premier ordre ce qui est l'algèbre booléenne de Deux-élément de à la logique Sentential classique. Ce travail a abouti aux deux monographies par Tarski, Henkin, et Monk (1971, 1985).

Logicien

Avec le Aristote , le Gottlob Frege , et le Kurt Gödel , Tarski est généralement considéré un des quatre plus grands logiciens de toute l'heure (Vaught 1986). De ces quatre, il était le meilleur mathématicien et l'auteur le plus prolifique. Ni Frege ni Gödel n'a jamais dirigé un pH simple D. ou coauthored un papier ; Tarski, d'une part, a dirigé 24 pH Ds et coauthored plus de 100 livres et papiers. Frege était sévèrement distant chez la personne et souvent acéré sarcastique dans la copie, et Gödel était un recluse notoire. En attendant, Tarski a aimé agir l'un sur l'autre avec des personnes intellectuellement et socialement.

Tarski a produit des axiomes pour la conséquence logique de , et a travaillé sur les systèmes déductifs, l'algèbre de la logique, et la théorie de definability. Ses méthodes sémantiques, qui ont abouti à la théorie des modèles lui et un certain nombre de ses étudiants de Berkeley développés dans les années 50 et le 60s, ont radicalement transformé le metamathematics preuve-théorétique de Hilbert. " de ; En vue, le metamathematics est devenu semblable à n'importe quelle discipline mathématique. Non seulement ses concepts et résultats peuvent mathematized, mais ils réellement peuvent être integrated dans des mathématiques. … Tarski a détruit la limite entre le metamathematics et les mathématiques. Il s'est opposé à limiter le rôle du metamathematics aux bases de mathematics." ; (Sinaceur 2001) Toutes les langues scientifiques formelles peuvent être étudiées par la théorie des modèles et les méthodes sémantiques connexes.

" 1936 de l'article de Tarski ; Sur le concept du consequence" logique ; argué du fait que la conclusion d'un argument suivra logiquement de ses lieux si et seulement si chaque modèle des lieux est un modèle de la conclusion. En 1937, il a édité un document présentant clairement ses vues sur la nature et le but de la méthode déductive, et le rôle de la logique dans des études scientifiques. Son enseignement de lycée et d'étudiant préparant une licence sur la logique et l'axiomatics a abouti à un texte court classique, a édité d'abord dans le polonais, puis dans la traduction allemande, et finalement dans une traduction en anglais 1941 comme introduction de à la logique et à la méthodologie des sciences déductives .

Le " 1969 de Tarski ; Vérité et proof" ; a considéré les théorèmes de l'imperfection de Gödel de et le théorème de l'indefinability de Tarski de , et chauffé au-dessus de leurs conséquences pour la méthode axiomatique dans les mathématiques.

Vérité dans des langues formalisées

En 1933, Tarski a édité (plus que 100pp) un document très long dans le polonais, intitulé " ; Dedukcyjnych prawdy de nauk de językach de Pojęcie W, " ; viser une définition mathématique de la vérité pour des langages formels. La traduction de 1936 Allemands a été intitulée " ; Der Wahrheitsbegriff dans le der de Sprachen de repaire deduktiven Disziplinen, " ; parfois raccourci au " ; Wahrheitsbegriff." ; Une traduction en anglais a dû attendre la première édition 1956 de la logique de de volume, sémantique, Metamathematics . Ce document énormément cité est un événement de borne limite en philosophie analytique du 20ème siècle, contribution importante à la logique symbolique , sémantique , et philosophie de de la langue . Pour un bref examen de son contenu, voir la vérité pour une courte description du " ; Convention T" ; (voir également le T-schéma ) norme dans le " de Tarski ; définition inductive de truth" ;.

Une certaine discussion philosophique récente examine le point auquel la théorie de Tarski de vérité pour des langues formalisées peut être vue comme théorie de correspondance de de la vérité . La discussion porte sur la façon dont lire l'état de Tarski de l'adéquation matérielle pour une définition de vérité. Cette condition exige que la théorie de vérité ont le suivant comme des théorèmes pour toutes les phrases P de la langue pour laquelle la vérité est définie : le

« P » de est vrai si et seulement si P.

(où p est la proposition exprimée par le " ; P" ;)

La discussion s'élève à si lire des phrases de cette forme, comme

"La neige est white" ; est vrai si et seulement si la neige est blanc

en tant qu'expression simplement d'une théorie déflationniste de de la vérité ou en tant qu'incarnation de la vérité comme propriété plus substantielle (voir le Kirkham 1992).

Conséquence logique

En 1936, Tarski a édité des versions polonaises et allemandes d'une conférence qu'il avait donné l'année précédente au congrès international de la philosophie scientifique à Paris. < ! -- (Apparition en anglais ?) --> la nouvelle traduction en anglais d'A de ces document, Tarski (2002), points culminants les nombreuses différences entre les versions d'Allemand et de polonais du papier, et corrige un certain nombre de traductions erronées en Tarski (1983).

Cette publication a visé la définition modèle-théorétique du moderne de la conséquence logique (sémantique), ou au moins la base pour elle. Si la notion de Tarski était entièrement la moderne s'allume s'il a eu l'intention d'admettre des modèles avec les domaines variables (et en particulier, modèles avec des domaines de différents cardinalities ). Cette question est une question d'une certaine discussion dans la littérature philosophique courante. Le John Etchemendy (1999) a stimulé une grande partie de la discussion récente au sujet du traitement de Tarski des domaines variables.

Tarski finit en précisant que sa définition de conséquence logique dépend d'une division des limites dans le logique et le supplémentaire-logique et lui exprime du scepticisme qu'une telle division objective sera reçue. " ; Quelles sont des notions logiques ? " ; peut être regardé ainsi en tant que " continu ; Sur le concept de Consequence." logique ;

Quelles sont des notions logiques ?

Une autre théorie de l'attention de attraction de Tarski dans la littérature philosophique récente est cela décrite dans son " ; Quelles sont des notions logiques ? " ; (Tarski 1986). C'est la version éditée d'un exposé qu'il a présenté en 1966 ; elle a été éditée sans sa participation directe.

Dans l'entretien, Tarski a proposé une délimitation des opérations logiques (qu'il appelle " ; notions" ;) du non-logique. Les critères suggérés ont été dérivés du programme du mathématicien allemand du 19ème siècle, Felix Klein d'Erlangen de . (Mautner 1946, et probablement un article par le mathématicien italien Silva, Tarski prévu en s'appliquant le programme d'Erlangen à la logique.)

Ce programme a classifié les divers types de géométrie (la géométrie euclidienne , de affinent la géométrie , la topologie , etc.) par le type de transformation d'one-one de l'espace sur lui-même qu'a laissé les objets de cette théorie géométrique invariables. (La transformation linéaire d'A est une carte fonctionnelle de l'espace sur elle-même de sorte que chaque point de l'espace soit associé à ou tracé à un autre point de l'espace. Ainsi, " ; tourner le degrees" 30 ; et " ; magnifier par un facteur de 2" ; sont les descriptions intuitives des transformations uniformes simples d'one-one.) Les transformations continues provoquent les objets de la topologie, transformations de similitude à ceux de la géométrie euclidienne, et ainsi de suite.

Car la gamme des transformations permises devient plus large, la gamme des objets un peut distinguer comme préservé par l'application des transformations devient plus étroit. Les transformations de similitude sont assez étroites (elles préservent la distance relative entre les points) et nous permettent ainsi de distinguer relativement beaucoup de choses (par exemple, triangles équilaterales des triangles non-équilaterales). Les transformations continues (qui peut intuitivement être considéré comme les transformations qui permettent l'étirage non-uniforme, compression, se pliant, et tordant, mais aucune déchirure ou collage) nous permettent de distinguer un polygone d'un anneau (anneau de avec un trou au centre), mais ne nous permettent pas de distinguer deux polygones entre eux.

La proposition de Tarski était de délimiter les notions logiques en considérant toutes les transformations linéaires possibles (automorphismes d'un domaine sur lui-même. Par domaine est signifié l'univers de du discours d'un modèle pour la théorie sémantique d'une logique. Si on identifie la valeur de vérité vraie avec l'ensemble de domaine et la vérité-valeur fausse avec l'ensemble vide, alors les opérations suivantes sont comptées comme logiques sous la proposition :

1. Vérité-fonctions ': Toutes les vérité-fonctions sont admises par la proposition. Ceci inclut, mais n'est pas limité à, tout le de n - vérité-fonctions ary pour le fini de n. (Il admet également des vérité-fonctions avec tout nombre infini d'endroits. d'individus de : Aucuns individus, si le domaine a au moins deux membres. affirme le :
Un-endroit total et nul (l'attribut qui a tous les membres du domaine dans sa prolongation et l'attribut qui n'a aucun membre du domaine dans sa prolongation).
Deux-endroit total et nul, aussi bien que les attributs d'identité et de diversité (l'attribut avec l'ensemble de toutes les paires commandées de membres de domaine en tant que sa prolongation, l'attribut avec l'ensemble vide comme prolongation, l'attribut avec l'ensemble de toutes les ordre-paires < un , un > où un est un membre du domaine et de l'attribut avec l'ensemble de toutes les paires < d'ordre un , de b > dans sa prolongation, où un et de b sont les membres distincts du domaine.
de n - attributs ary en général : tout affirme définissable de l'attribut d'identité ainsi que la conjonction , la disjonction et la négation (jusqu'à tout ordinality, fini ou infini). des Quantifiers de : Tarski discute explicitement seulement des quantifiers univalents et précise que tous tels quantifiers numériques sont admis sous sa proposition. Ceux-ci incluent les quantifiers universels et existentiels standard aussi bien que des quantifiers numériques tels que le " ; Exactement four" ; , " ; De façon finie many" ; , " ; Many" d'Uncountably ; , et " ; Entre le million" quatre et 9 ; , par exemple. Tandis que Tarski n'entre pas dans l'issue, il est également clair que des quantifiers polyadiques soient admis sous la proposition. Ce sont des quantifiers comme, donné deux le des attributs Fx et le de GY, " ; Plus ( de X, de y) de " ; , qui indique le " ; Plus de choses ont le de F qu'avoir le de G. Placer-Théorétique de relations de : Les relations telles que l'inclusion , l'intersection et l'union appliquée aux sous-ensembles du domaine sont logiques dans le sens actuel. d'appartenance à un ensemble de : Tarski a fini sa conférence avec une discussion de si la relation d'appartenance à un ensemble comptée en tant que logique dans le sien sens. (Etant donné la réduction (plus de) de mathématiques à la théorie des ensembles, c'était, en effet, la question de si la majeure partie ou toutes les mathématiques sont une partie de logique.) Il a précisé que l'appartenance à un ensemble est logique si la théorie des ensembles est développée le long des lignes du type la théorie , mais est extralogical si la théorie des ensembles est présentée axiomatique, comme dans la théorie des ensembles de Zermelo-Fraenkel de canonique. Notions logiques de de évolué : Tandis que Tarski confinait sa discussion aux opérations de la logique de premier ordre, il n'y a rien au sujet de sa proposition qui le limite nécessairement à la logique de premier ordre. (Tarski a probablement limité son attention aux notions de premier ordre pendant que l'exposé était présenté à une assistance non technicienne.) Ainsi, des quantifiers et les attributs évolués sont aussi bien admis.

Par certains côtés la présente proposition est la face de cela de Lindenbaum et de Tarski (1936), qui a montré que toutes les opérations logiques de de Principia Mathematica de Russell et le de s de Whitehead 'sont invariables sous des transformations linéaires du domaine sur lui-même. La présente proposition est également utilisée en Tarski et Givant (1987).

Le Solomon Feferman et le Vann McGee encore la proposition de Tarski discuté dans le travail édité après sa mort. Feferman (1999) soulève des problèmes pour la proposition et propose un traitement : remplaçant la conservation de Tarski par des automorphismes avec la conservation par le arbitraire Homomorphisms essentiellement, cette suggestion évite la proposition du Tarski de difficulté a en faisant face au sameness de l'opération logique à travers des domaines distincts d'une cardinalité donnée et à travers des domaines des cardinalities distincts. La proposition de Feferman a comme conséquence une restriction radicale des limites logiques par rapport à la proposition originale de Tarski. En particulier, elle finit compter vers le haut en tant que logique seulement ces opérateurs de la logique de premier ordre standard sans identité.

McGee (1996) fournit un compte précis quelles opérations sont logiques dans le sens de la proposition de Tarski en termes d'expressibility dans une langue qui prolonge la logique de premier ordre en permettant arbitrairement de longues conjonctions et disjonctions, et la quantification au-dessus d'arbitrairement de beaucoup de variables. " ; Arbitrarily" ; inclut un infini comptable.

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