Adjoint hermitien

Dans les mathématiques , spécifiquement dans l'analyse fonctionnelle , chaque opérateur linéaire sur un espace de Hilbert a un opérateur d'adjoint correspondant de . Adjoints des opérateurs le conjugé généralisent transpose des situations infini-dimensionnelles carrées de matrices (probablement). Si on pense aux opérateurs sur un espace de Hilbert comme " ; numbers" complexe généralisé ; , alors l'adjoint d'un opérateur joue le rôle du conjugé de complexe de d'un nombre complexe.

L'adjoint d'un A d'opérateur parfois s'appelle le l'adjoint hermitien (après que Charles Hermite ) du A et est dénoté également par le † (ce dernier de ^{du A ^* ou du A particulièrement une fois utilisé en même temps que la notation de Soutien-gorge-ket de ).}

Définition pour les opérateurs liés < ! -- Cette section est liée du dipöle -->

Supposer que le H est un espace de Hilbert , avec, de $\ cdot \ rangle$ . Considérer un continu de le A de l'opérateur linéaire : H de → du H (c'est identique qu'un opérateur lié ).

Using le théorème de représentation de Riesz de , on peut prouver que là existe un opérateur linéaire continu unique A* : de → du H H avec la propriété suivante : le $de \ hache de lang, y \ ont sonné = \ lang X, A^* y \ ont sonné \ quadruples \ mbox {pour tous} x, y \ dans H$

Ce A d'opérateur * est l'adjoint du A .

Propriétés

Propriétés immédiates : A ** =

DU A Si le A est inversible, est ainsi le A *. Puis, ( A *) ^{&minus ; 1} = (^{&minus de A ; 1}) *

( A + B ) * = A * + B *

( A de λ) * = A de λ* *, où le λ* dénote le conjugé de complexe de du

de λ du nombre complexe ( AB ) * = B * A *

Si nous définissons la norme d'opérateur de du A par le $de \| A \| _ {op} : = \ sup \ {\|Hache \| : \| X \| \ le 1 \}$ puis $de \| A^* \| = {op} de _ \| A \| _$ {op}. D'ailleurs, $de \| A^* A \| = {op} de _ \| A \| _ ^2 {op}$

L'ensemble d'opérateurs linéaires liés sur un de l'espace de Hilbert H ainsi que l'opération d'adjoint et la norme d'opérateur forment le prototype d'une algèbre de C* de .

Le rapport entre l'image de $A$ et le grain de son adjoint est donné par : $de \ ker A^* = \ = (\ operatorname {im} \ A \ droit) du ^ \ bot$ $laissé de \ (\ ker A^* \ droit) ^ laissé \ bot \ overline {\ operatorname {im} \ A}$

Preuve de la première équation : le $de \ commencent {aligner} Et d'A^* X = 0 \ IFF \ langle A^*x, y \ rangle = 0 \ quadruple \ forall y \ dans \ de H \ et \ IFF \ langle X, Ay \ rangle = 0 \ quadruple \ forall y \ dans \ de H \ et \ IFF X \ \ bot \ \ operatorname {im} \ A \ extrémité {aligner}$

La deuxième équation suit dès la début de prendre l'espace orthogonal des deux côtés. Noter que généralement l'image n'a pas besoin d'être fermée, mais le grain d'un opérateur continu est toujours.

Opérateurs hermitiens

Un A d'opérateur lié : Le H de → du H s'appelle l'Individu-adjoint d'Hermitian ou de si le A de = A * ce qui est équivalent au $= \ lang X, A y \ a sonné \ mbox {pour tous} x, y \ dans H.$

Dans un certain sens, ces opérateurs jouent le rôle des vrais nombres (étant égal à leur propre " ; conjugate" complexe ;). Ils servent de modèle des choses observables à valeurs réelles dans la mécanique quantique De . Voir l'article sur les opérateurs d'Individu-adjoint de pour un plein traitement.

Adjoints des opérateurs illimités

Beaucoup d'opérateurs d'importance ne sont pas continus et sont seulement définis sur un sous-espace d'un espace de Hilbert. Dans cette situation, on peut encore définir un adjoint, comme est expliqué dans l'article sur les opérateurs d'Individu-adjoint de

D'autres adjoints

La hache de $\ lang de d'équation, y \ a sonné = \ lang X, A^* y \ a sonné$ est formellement semblable aux propriétés la définition des paires de functors d'Adjoint de dans la théorie de catégorie de , et c'est où les functors d'adjoint ont obtenu leur nom.

Voir également

Concepts mathématiques de

Algèbre linéaire
Produit intérieur
L'espace de Hilbert
Opérateur hermitien
Norme
Norme d'opérateur de
Application physique
L'espace duel
Notation de Soutien-gorge-ket de
La mécanique quantique De
observable

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