Action de Polyakov

Dans la physique , l'action de Polyakov de est l'action bidimensionnelle d'une théorie des champs isogone décrivant le Worldsheet d'une corde dans la théorie de corde de . Elle a été présentée par S.Zumino et indépendamment par L.Howe (dans la physique marque avec des lettres B65, les pgs 369 et 471 respectivement), et est devenue associée au Alexandre Polyakov après qu'il se soit servi de lui en quantifiant la corde. L'action lit

$\ mathrm {d} ^2 \ sigma \ racine carré {-} h^ h {ab} g_ {\ MU \ NU} (x) \ partial_a X^ \ MU (\) de sigma \ partial_b X^ \ NU (\ sigma)$

là où le $T$ est la tension de corde, le $g_ {\ MU \ NU}$ est le métrique de la tubulure de cible de et le $h^ {ab}$ est le worldsheet auxiliaire métrique. $h$ est la cause déterminante du $h_ {ab}$ . La signature métrique est choisie tels que les directions de timelike sont + et les directions de spacelike sont -. La coordonnée de worldsheet de spacelike s'appelle des wheareas du $\ sigma$ que la coordonnée de worldsheet de timelike s'appelle le $\ tau$ .

Symétries globales

L'action est le invariable sous les traductions et les transformations infinitésimales de Lorentz de du : (i) $(ii) X^ \ alpha \ rightarrow X^ \ + d'alpha \ omega^ \ alpha_ {\ \ bêta} X^ \ bêta$
de où $\ omega_ {\ MU \ NU} = - \ omega_ {\ NU \ MU}$ , qui forme la symétrie de Poincaré de de la tubulure de cible.

le b^ de $\ alpha$ est constant, l'action dépend de la première dérivée du $X^ \ alpha$ et en conséquence le $\ {S}$ mathcal est invariable sous des traductions. La preuve de la deuxième relation :

Symétries locales

L'action est le invariable sous le Diffeomorphisms ou coordonne les transformations et les transformations de Weyl de

Diffeomorphisms

Assumer la transformation suivante : le

de de  \ sigma^ \ alpha \ rightarrow \ ^ de tilde {\ sigma} \ alpha \ ont laissé (\, de sigma \ tau \ droit)

Il transforme le tenseur métrique de la façon suivante :

h^ {ab} \ rightarrow \ tilde {h} ^ {ab} = h^ {cd} \ frac {\ ^a partiel \ tilde {\ sigma}} {\} partiel \ sigma^c \ frac {\ partiel \ ^b de tilde {\ sigma}} {\ partiel \ sigma^d}

On peut voir cela :

\ tilde {h} ^ {ab} \ frac {\ partiel} {\ ^a partiel \ tilde {\ sigma}} X^ \ MU \ frac {\ partiel} {\ ^b partiel \ tilde {\ sigma}} X^ \ NU = h^ {cd} \ frac {\ ^a partiel \ tilde {\ sigma}} {\ partiel \ sigma^c} \ frac {\ ^b partiel \ tilde {\ sigma}} {\} partiel \ sigma^d \ frac {\ partiel} {\ ^a partiel \ tilde {\ sigma}} X^ \ MU \ frac {\partiel} {\ ^b partiel \ tilde {\ sigma}} X^ \ NU = h^ {} d'ab \ partial_a X^ \ MU \ partial_b X^ \ NU

On sait que le Jacobian de cette transformation est donné par :

\ mathrm {J} = \ mathrm {

} de det \ laissé (\ frac {\ ^ \ alpha partiels \ tilde {\ sigma}} {\ sigma^ \ bêta} \ droit) à ce que mène :

\ mathrm {d} ^2 \ sigma \ rightarrow \ mathrm {d} ^2 \ tilde {\ sigma} = \ mathrm {J} \ mathrm {d} ^2 \ sigma \,

h = \ mathrm {det} \ parti (h_ {ab} \) droit \ rightarrow \ tilde {h} = \ ^ du mathrm {J} {- 2} h \,

et on voit cela :

\ racine carré {- \ tilde {h}} \ mathrm {d} ^2 \ tilde {\ sigma} = \ racine carré {-} de h \ mathrm {d} ^2 \ sigma

le résumé de cette transformation laisse l'action invariable.

Transformation de Weyl

Assumer la transformation de Weyl de :

h_ {} d'ab \ rightarrow \ h_ = _ du tilde {h} {ab} \ lambda (\ sigma) {ab}

puis :

\ h_ = de mathrm {det} (\ _ de tilde {h} {ab}) \ Lambda^2 (\ sigma) {ab}

Et finalement :

Relation avec l'action Nambu-Goto

L'inscription de l'équation d'Euler-Lagrange de pour le h^ métrique de $du tenseur {ab}$ un obtient cela : $\ frac de de {\ delta S} {\ h^ de delta {ab}} = T^ {ab} = 0$ Savoir également cela : $de de \ delta \ racine carrée {- h} = - \ frac12 \ h_ de racine carrée {- h} {ab} \ h^ de delta {ab}$ On peut écrire le dérivé variationnel de l'action :

$\ frac {\ delta S} {\ h^ de delta {ab}} = \ frac {T} {2} \ racine carrée {- h} \ (h^ de h_ - de G_ {ab} \ frac12 {ab} G_ {cd} \ droit {cd})$ laissé là où $G_ {ab} = g_ {\} de MU \ du NU \ partial_a X^ \ MU \ partial_b X^ \ NU$ au lequel mène : ${cd} G \ mathrm {det} \ laissé (G_ {ab} \ droit) = \ frac14 h \ laissé (h^ G_ {cd} \ droit {cd}) ^2$

Si le $métrique du tenseur de auxiliaire de Worldsheet \ racine carrée {- h}$ est calculé à partir des équations du mouvement : = du $de de \ racine carrée {- h} \ frac {2 \ racine carrée {- G}} {h^ G_ {cd} {cd}}$ et substitué de nouveau à l'action, ce devient l'action Nambu-Goto :

$S = {T \ plus de 2} \ international \ mathrm {d} ^2 \ sigma \ racine carré {-} h^ h {ab} G_ {ab} = {T \ plus de 2} \ international \ mathrm {d} ^2 \ h^ de sigma \ frac {2 \ racine carrée {- G}} {h^ G_ {cd} {cd}} {ab} G_ {ab} = T \ international \ mathrm {d} ^2 \ sigma \ racine carrée {- G}$

Cependant, l'action de Polyakov est plus facilement quantifié par parce que c'est le linéaire.

Équations du mouvement

Using le Diffeomorphisms et la transformation de Weyl de on peut transformer l'action en forme suivante :

$\ mathcal {S} = {T \ plus de 2} \ international \ mathrm {d} ^2 \ sigma \ racine carré {- \ eta} \ eta^ {ab} g_ {\ MU \ NU} (x) \ partial_a X^ \ MU (\ sigma) \ partial_b X^ \ NU (\ sigma) = {T \ plus de 2} \ international \ mathrm {d} ^2 \ sigma \ (\ point {X} ^2 - X'^2 \ droit)$ laissé là où $\ eta_ {ab} = \ (\ commencer {rangée} {cc} 1 et 0 \ \ 0 et -1 \ extrémité {rangée} \ droit)$ laissé

Maintenir dans l'esprit que le $T_ {ab} = 0$ un peut dériver les contraintes : $= 11} = de T_ {\ frac12 \ laissé (\ point {X} ^2 + X'^2 \ droit) = 0$ .

Substituant le $X^ \ MU \ rightarrow X^ \ MU + \ delta X^ \ MU$ un obtient :

$\ delta \ mathcal {S} = T \ international \ mathrm {d} ^2 \ sigma \ eta^ {} d'ab \ partial_a X^ \ MU \ partial_b \ delta X_ \ MU =$ $de de de = - T \ international \ mathrm {d} ^2 \ sigma \ eta^ {} d'ab \ partial_a \ partial_b X^ \ MU \ delta X_ \ MU + \ (T \ international d \ tau X \ delta X \ droit) _ laissé {\ sigma= \ pi} - \ (T \ international d \ tau X \ delta X \ droit) _ laissé {\ sigma=0} = 0$

Et par conséquent :

$\ carré X^ \ MU = \ eta^ {} d'ab \ partial_a \ partial_b X^ \ MU = 0$

Avec les conditions de frontière afin de satisfaire la deuxième partie de la variation de l'action.

fermé de
de cordes états de frontière périodiques de de : $X^ \ MU, (\ tau \ sigma + 2 \ pi) = X^ \ MU (\ tau, \ ) de sigma \$ de cordes ouvertes états de frontière de Neumann de de (i) : $\ partial_ \ sigma X^ \ MU (\ tau, 0) = 0, \ partial_ \ sigma X^ \ MU, (\ tau \ pi) de = états 0 de$ du
(ii) de frontières de Dirichlet : $X^ \ MU (\ tau, 0) = b^ \ MU, X^ \ MU, (\ tau \ pi) = b'^ \ MU \$

Voir également

D-brane
Action d'Einstein-Hilbert de

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