Abel transforment

Dans les mathématiques , le Abel transforment , appelé pour le Niels Henrik Abel , sont un transformée employé souvent dans l'analyse sphériquement des fonctions symétriques ou axialement symmétriques. Abel transforment d'un f ( r ) de fonction est donné par : $F de (y)=2 \ int_y^ \ infty \ frac {f (r) r \, Dr.} {\ racine carrée {r^2-y^2}}.$

Les baisses arrogantes du f ( r ) à zéro plus rapidement que 1 r , l'inverse Abel transforment est données près

$f (r)=- \ frac {1} {\ pi} \ int_r^ \ infty \ frac {} de d F} {Dy \, \ frac {Dy} {\ racine carrée {y^2-r^2}}.$

Dans l'analyse d'image , Abel vers l'avant transforment est habitué à projeter optiquement légèrement, fonction axialement symmétrique d'émission sur un avion, et l'inverse Abel transforment est employé pour calculer la fonction d'émission donnée une projection (c. un balayage ou une photographie) de cette fonction d'émission.

Ces dernières années, la transformation inverse d'Abel (et ses variantes) est devenue la pierre angulaire de l'analyse de données dans la formation image de Photofragment-ion de et la formation image de photoélectron de . Parmi des prolongements les plus notables récents de transformation inverse d'Abel sont l'épluchage d'oignon de et les méthodes réglées de l'expansion (BASEX) de base de de photoélectron et d'analyse d'image de photoion.

Interprétation géométrique

Dans deux dimensions, Abel transforment le F ( y ) peut être interprété comme projection d'un de fonction circulairement symétrique f ( r ) le long d'un ensemble de champs de vision parallèles qui sont un de distance y de l'origine. En référence à la figure du côté droit, l'observateur (i) verra $F de (^ de y)= \ int_ {- \ infty} \ f infty (r) \, dx$

là où le f ( r ) est la fonction circulairement symétrique représentée par le gris colorer dans la figure. On le suppose que l'observateur est réellement au du X ; = ; le ∞ de sorte que les limites de l'intégration soient ±∞ et tous les champs de vision sont parallèle au X - axe. Se rendant compte que le r du rayon est lié au X et au y par l'intermédiaire du r ² ; = ; X ² ; + ; le y ², il suit cela $dx= de \ frac {r \, Dr.} {\ racine carrée {r^2-y^2}}.$

Le chemin de l'intégration dans le r ne traverse pas zéro, et puisque le f ( r ) et l'expression ci-dessus pour le d X sont des fonctions égales, nous pouvons écrire : $de \ ^ d'int_ {- \ infty} \ f infty (r) dx=2 \ int_0^ \ f infty (r) \, dx.$

Substituant l'expression au dx de en termes de r et réécriture l'intégration limite rapporte en conséquence Abel transforment.

Abel transforment peut être prolongé à des dimensions plus élevées. D'intérêt particulier est la prolongation à trois dimensions. Si nous avons un axialement symmétrique f (ρ, z ) de fonction là où ρ² ; = ; X ² ; + ; le y ² est le rayon cylindrique, puis nous pouvons vouloir connaître la projection de cette fonction sur un avion parallèle à l'axe du z . sans perte de la généralité , nous pouvons prendre cet avion pour être le yz de - surfacer de sorte que $F de (y, z)$

\ ^ d'int_ {- \ infty} \ f infty (\ rho, z) \, dx

2 \ int_y^ \ infty \ frac {f (\ rho, z) \ rho \, d \ rho} {\ racine carrée {\ rho^2-y^2}}

ce qui est juste Abel transformer du f (ρ, z ) dans le ρ et du y .

Un type particulier de symétrie axiale est symétrie sphérique. Dans ce cas-ci, nous avons un f ( r ) de fonction où le r ² ; = ; X ² ; + ; y ² ; + ; z ². La projection sur par exemple le yz de - l'avion sera alors circulairement symétrique et exprimable comme F ( s ) où s ² ; = ; y ² ; + ; z ². Effectuant l'intégration, nous avons :

\ ^ d'int_ {- \ infty} \ f infty (r) \, dx

2 \ int_s^ \ infty \ frac {f (r) r \, Dr.} {\ racine carrée {r^2-s^2}}

ce qui est encore, Abel transforment du f ( r ) dans le r et le s .

La vérification d'Abel inverse transforment

F supposant est sans interruption différentiable et f, baisse de f à plus rapide zéro que 1/r, nous pouvons placer le $u=f (r)$ et v= de $\ racine carrée {r^2-y^2}$ . Intégration par des rendements de pièces puis

$F (y) = -2 \ int_y^ \ infty f'(r) \ racine carré {r^2-y^2} \, dr$ .

Différenciant formellement,

$F'(y) = 2 y \ int_y^ \ infty \ frac {f'(r)}} {\ racine carrée {r^2-y^2} \, dr$ .

Brancher maintenant ceci à Abel inverse transforment la formule :

$- \ frac {1} {\ pi} \ int_r^ \ infty \ frac {F'(y)}} {\ racine carrée {y^2-r^2} \, Dy = \ int_r^ \ infty \ int_y^ \) infty \ de frac {- 2 y} {\ pi \ racine carrée {(y^2-r^2) (s^2-y^2)}} f'(s \, ds dy.$

Par le théorème de Fubini de , les dernières égales d'intégrale

$\ int_r^ \ infty \ int_r^s \ frac {- 2 y} {\ pi \ racine carrée {(y^2-r^2) (s^2-y^2)}} \,) du f'(s de Dy \, ds = \ int_r^ \ (- 1)) infty du f'(s \, ds = f (r)$ .

Le rapport avec autre transformée

Le rapport avec Fourier et le Hankel transforme

Abel transforment est un membre du cycle du FHA des opérateurs intégraux. Par exemple, dans deux dimensions, si nous définissons le A pendant qu'Abel transforment l'opérateur, le F en tant qu'opérateur de la transformée de Fourier et le H pendant que le Hankel de zeroth-ordre transforment l'opérateur de , alors le cas spécial du théorème de Projection-tranche de pour des fonctions circulairement symétriques déclare cela :

$FA=H. de \,$

En d'autres termes, en appliquant Abel transformer à une fonction à une dimension et alors l'application de la transformée de Fourier à ce résultat est identique que s'appliquant le Hankel transforment à cette fonction. Ce concept peut être prolongé à plus haut dimensions.

Le rapport avec le radon transforment

Abel transforment est une projection du f ( r ) le long d'un axe particulier. le radon bidimensionnel de transforment donne Abel transforment en fonction non seulement de la distance le long de l'axe de visionnement, mais de l'angle de l'axe de visionnement aussi bien.

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