Abaques de Liber

les abaques ( 1202 de Liber de de , également écrit comme Liber Abbaci ) est un livre historique sur le arithmétique par Leonardo de Pise, connu plus tard par son Fibonacci de surnom. Son titre a deux traductions, le livre de l'abaque ou communs le livre du calcul . Dans ce travail, Fibonacci a présenté en Europe les numéros arabes , un élément important de de notre système décimal, qu'il avait appris par l'étude avec les Arabes tout en vivant dans le Afrique du Nord avec son père, Guilielmo Bonaccio, qui a souhaité lui aller bien à un négociant.

Les abaques de Liber n'étaient pas le premier livre occidental pour décrire les numéros arabes, premier être par pape Silvester de II dans 999, mais en s'adressant à des marchands et à des universitaires, il a commencé à convaincre le public de la supériorité des nouveaux numéros.

Résumé des sections

La première section présente le système de numération arabe, y compris la multiplication de trellis de et les méthodes pour convertir entre différents systèmes de repesentation.

La deuxième section présente des exemples de commerce, tel que des conversions de la devise et des mesures, et les calculs du profitent et intérêt .

La troisième section discute un certain nombre de problèmes mathématiques ; par exemple, elle inclut (ch.12) le théorème chinois de reste de , les nombres parfaits et le Mersenne amorce aussi bien que des formules pour les séries arithmétiques et pour les nombres pyramidaux de place de

Un autre exemple en ce chapitre, décrivant la croissance d'une population des lapins, était l'origine de l'ordre de Fibonacci de pour lequel l'auteur est le plus célèbre aujourd'hui. La quatrième section dérive des approximations, numériques et géométriques, des nombres irrationnels tel que les racines carrées.

Le livre inclut également des preuves géométriques euclidiennes du , et une étude des équations linéaires simultanées après le Diophantus , que Fibonacci a très probablement appris d'Al-Karaji arabe (minerai 1948) de du mathématicien .

La notation de Fibonacci pour des fractions

En lisant des abaques de Liber, il est utile de comprendre la notation de Fibonacci pour des nombres raisonnables, une notation qui est intermédiaire sous la forme entre l'Egyptien de fractionne toujours utilisé généralement jusqu'à ce temps et aux fractions vulgaires en service aujourd'hui. Il y a trois différences principales entre la notation de Fibonacci et la notation moderne de fraction. Là où nous écrivons généralement une fraction à la droite du nombre entier auquel on l'ajoute, Fibonacci écrirait la même fraction vers la gauche. C'est-à-dire, nous écrivons 7/3 comme

\ scriptstyle2 \, \ frac13

, alors que Fibonacci écrirait le même nombre que le

\ scriptstyle \ frac13 \, 2

Fibonacci a employé une notation composée de la fraction de dans laquelle un ordre des numérateurs et des dénominateurs a partagé la même barre de fraction ; chaque une telle limite a représenté une fraction additionnelle du numérateur donné divisé par le produit de tous les dénominateurs au-dessous et à la droite de elle. C'est-à-dire,

\ scriptstyle \ frac {b \, \, a} {d \, \, c} = \ + du frac {a} {c} \ frac {b} {Cd}

, et, de

\ scriptstyle \ frac {c \, \, b \, \, a} {f \ \, e \, \, d} = \ frac {a} {d} + \ + du frac {b} {De} \ frac {c} {def}

. La notation a été lue de droite à gauche. Par exemple, 29/30 était écrit en tant que

\ scriptstyle \ frac {1 \, \, 2 \, \, 4} {2 \, \, 3 \, \, 5}

, représentant le

de valeur \ + frac45+ \ frac2 de scriptstyle \ {3 \ times5} \ frac1 {2 \ times3 \ times5}

. Ceci peut être regardé comme forme de notation à base multiple du , et était très commode pour traiter les systèmes traditionnels des poids, des mesures, et de la devise. Par exemple, pour des unités de longueur, un pied est 1/3 d'une cour , et pouce est 1/12 d'un pied, ainsi une quantité de 5 yards, de 2 pieds, et de pouces de

\ scriptstyle 7 \ frac34

pourrait être représentée comme fraction composée : , de

\ scriptstyle \ frac {3 \ \, 7 \, \, 2} {4 \ \, 12 \, \, 3} \, yards 5

. Cependant, les notations typiques pour des mesures traditionnelles, tandis que pareillement basées sur des radix mélangées, n'écrivent pas les dénominateurs explicitement ; les dénominateurs explicites dans la notation de Fibonacci lui permettent d'employer différentes radix pour différents problèmes si commodes. Sigler précise également un exemple où Fibonacci emploie les fractions composées dans lesquelles tous les dénominateurs sont 10, préfigurant la notation décimale moderne pour des fractions.

Fibonacci a parfois écrit plusieurs fractions à côté de l'un l'autre, représentant une somme des fractions données. Par exemple, 1/3+1/4 = 7/12, ainsi une notation aiment le

\ scriptstyle \ frac14 \, \ frac13 \, 2

représenterait le nombre qui serait maintenant généralement écrit le

\ scriptstyle 2 \, \ frac {7} {12}

, ou simplement la fraction vulgaire 31/12. La notation de cette forme peut être distinguée des ordres des numérateurs et des dénominateurs partageant une barre de fraction par la coupure évidente dans la barre. Si tous les numérateurs sont 1 dans une fraction écrite sous cette forme, et tous les dénominateurs sont différents entre eux, le résultat est une représentation égyptienne de la fraction du nombre. Cette notation a été également parfois combinée avec la notation composée de fraction : deux fractions composées écrites à côté de l'un l'autre représenteraient la somme des fractions.

La complexité de cette notation permet à des nombres d'être écrits de beaucoup de différentes manières, et Fibonacci a décrit plusieurs méthodes pour convertir d'un modèle de représentation à l'autre. En particulier, le chapitre II.7 contient une liste de méthodes pour convertir une fraction vulgaire en fraction égyptienne ; voir la fraction égyptienne et les liens d'Internet suivants pour une description plus détaillée de ces méthodes.

Modus Indorum de

Dans les abaques de Liber de , Fibonacci indique le suivant présentant le soi-disant " ; " d'Indorum de modus de ; ou la méthode d'Indiens, aujourd'hui connue sous le nom de numéros arabes.

après le rendez-vous de mon père par sa patrie comme fonctionnaire dans le bureau de douane de Bugia pour les négociants de Pisan qui ont rempli à lui, il a pris la charge ; et en raison de sa futures utilité et convenance, m'a eu dans ma jeunesse pour venir à lui et là voulu me pour se consacrer à et à instruire dans l'étude du calcul pendant quelques jours. Le
là, après mon introduction, par suite de l'instruction merveilleuse dans l'art, aux neuf chiffres du Hindus, la connaissance de l'art a beaucoup fait appel à moi avant tous les autres, et pour lui je me suis rendu compte que tous ses aspects ont été étudiés en Egypte, en Syrie, en Grèce, en Sicile, et en Provence, avec leurs méthodes variables ; et à ces endroits ensuite, tandis que sur des affaires. Le
I a poursuivi mon étude détaillée et a appris les concessions mutuelles de la discussion. Mais le tout ce même, et algorithme, aussi bien que l'art de Pythagore, j'ai considéré comme presque erreur en ce qui concerne la méthode de Hindus. Par conséquent, embrassant plus strictement cette méthode de Hindus, et prenant des douleurs plus strictes dans son étude, tout en ajoutant certaines choses de mon propre arrangement et insérant également certaines choses des finesses de l'art géométrique d'Euclid, j'ai tâché de composer ce livre en sa totalité aussi tout naturellement que je pourrais, le divisant en quinze chapitres. Le
presque tout que je m'ai présenté ont montré avec la preuve exacte, pour que ces autres cherchant cette connaissance, avec sa méthode prépondérante, pourraient être instruits, et promouvoir, pour que les personnes latines ne pourraient pas être découvertes pour être sans elle, comme elles ont été jusqu'ici. Si je peut-être ai omis n'importe quoi plus ou moins approprié ou nécessaire, je prie l'indulgence, puisqu'il n'y a personne qui est irréprochable et tout à fait prévoyant dans toutes les choses. le

les neuf figures indiennes sont : le
9 8 7 6 5 4 3 2 1
avec ces neuf figures, et avec le signe 0… tout nombre peut être écrit. Sigler, 2003 et Grimm 1973 voient des références)

En d'autres termes, dans son livre il a préconisé l'utilisation des chiffres 0&mdash ; 9, et de valeur d'endroit .

Dans ce livre il a montré l'importance pratique du nouveau système de numération , using la multiplication de trellis de et les fractions d'Egyptien de en s'appliquant l'à la comptabilité commerciale , la conversion des poids et des mesures, le calcul d'intérêts, l'échange d'argent, et nombreux d'autres applications. Le livre était bien reçu dans l'ensemble de l'Europe instruite et a eu un impact profond sur la pensée européenne, bien que l'utilisation des numéros décimaux ne soit pas devenue répandue jusqu'à l'invention de l'impression presque pendant trois siècles plus tard, en 1585 (voir, par exemple, la carte 1482 de Ptolemaeus de du monde imprimée par le Lienhart Holle dans Ulm).

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