0.999…

< ! -- NOTE : Le contenu de cet article est bien établi. Si vous avez un argument contre un ou plusieurs des preuves énumérées ici, lire svp le FAQ sur l'entretien de : 0.999… , ou le discute sur l'entretien de : 0. Cependant, comprendre svp que les preuves plus tôt et plus naïves ne sont pas aussi rigoureuses que les postérieures car elles prévoient pour faire appel à l'intuition, et pendant que telles peuvent exiger davantage de justification d'être complète. --> < ! ---->

Dans les mathématiques , le 0.999 de la décimale de reproduction … , qui est également écrit comme $0. \ point {9}$ ou $\ 0.(9)$ , dénote une égale du vrai nombre au 1 . En d'autres termes, " ; 0.999… " ; représente le même nombre que le " de symbole ; 1" ;. L'égalité a été longtemps acceptée par les mathématiciens professionnels et enseignée en manuels. Les diverses preuves de cette identité ont été formulées avec la rigueur variable , le développement preferred des vrais nombres, les prétentions de fond, le contexte historique, et le public cible.

Dans les dernières décennies, les chercheurs de l'éducation de mathématiques de ont étudié la réception de cette égalité parmi des étudiants. Un grand beaucoup remet en cause ou rejette l'égalité, au moins au commencement. Beaucoup sont balancés par des manuels, des professeurs et le raisonnement arithmétique en tant que ci-dessous pour accepter que les deux soient égaux. Cependant, ils sont souvent assez incommodes qu'elles offrent davantage à de justification. Le raisonnement des étudiants pour nier ou affirmer l'égalité est typiquement basé sur une de quelques intuitions incorrectes communes au sujet des vrais nombres ; par exemple que chaque vrai nombre a une expansion décimale unique, que les quantités infinitésimales du différent de zéro devraient exister, ou que l'expansion de 0.999… termine par la suite.

La non-unicité de telles expansions n'est pas limitée au système décimal. Le même phénomène se produit dans les bases du nombre entier autres que 10, et les mathématiciens ont également mesuré les manières de l'écriture 1 dans les bases de non-nombre entier de . Ni est ce phénomène unique à 1 : chaque différent de zéro, terminant la décimale a un jumeau avec traîner 9s. Pour des raisons de simplicité, la décimale de terminaison est presque toujours la représentation preferred, davantage de contribution à l'idée fausse que c'est la représentation du seulement . En fait, une fois qu'on permet des expansions infinies, tous les systèmes de numération de position contiennent un infini des nombres ambigus.3287 est le même nombre que 28.3286999 d'autres représentations…, 28. Ces diverses identités ont été appliquées pour comprendre mieux des modèles dans les expansions décimales des fractions et la structure d'une fractale simple , le chantre réglé de de . Elles se produisent également dans une recherche classique sur l'infinité de l'ensemble entier de vrais nombres.

Des systèmes de numération dans lesquels l'égalité échoue peuvent être construits, mais seulement en dehors du système standard du vrai nombre utilisé dans des mathématiques élémentaires.

Introduction

0.999… est un nombre écrit dans le système de numération décimal de du , et certaines des preuves les plus simples qui 0.999… = 1 se fondent sur les propriétés arithmétiques du commode de ce système. La majeure partie d'arithmétique décimale - addition , soustraction , multiplication , division , et comparaison - manipulations d'utilisations au niveau de chiffre qui sont plus ou moins identiques que ceux pour les nombres entiers comme avec des nombres entiers, deux décimales finies quelconques du avec différents nombres de moyen différent de chiffres (ignorant des zéros de remorquage). En particulier, tout nombre de la forme 0.99… 9, où les 9s s'arrêtent par la suite, est strictement moins de 1.

La signification du " ; … " ; (points de suspension ) dans 0.999… doit être avec précision spécifié. L'utilisation ici est différente de l'utilisation dans la langue ou dans 0.99… 9, dans lesquels les points de suspension spécifient qu'une certaine partie finie du est laissée non spécifiée ou autrement omise. Une fois utilisé pour spécifier une décimale de reproduction , " ; … " ; signifie qu'une certaine partie infinie du est laissée non spécifiée.999… indique la limite de l'ordre (0.9999 de ,…) (ou, d'une manière equivalente, de $\ sum^ {\ infty} _ {k=1} 9 \ périodes 10^ {- k}$ ). L'interprétation de la signification de 0.999… explique une partie du malentendu au sujet de son égalité à 1.

Il y a beaucoup de preuves qui 0. Avant de démontrer ceci suivre des méthodes algébriques, considérer que deux vrais nombres sont identique si et seulement si leur différence de n'est pas égale à un vrai nombre positif. Donné n'importe quelle valeur positive, la différence entre 1 et 0.999… est inférieure cette valeur (qui peut être formellement démontrée using un intervalle fermé défini par l'ordre ci-dessus et l'inégalité de triangle de ). Ainsi la différence est 0 et les nombres sont identiques. Ceci explique également pourquoi 0.333… = ¹⁄₃, 0.111… = ¹⁄₉, etc.

À la différence du cas avec des nombres entiers et des décimales finies, d'autres notations peuvent exprimer un nombre simple des manières multiples. Par exemple, using le fractionne ¹⁄₃ = ²⁄₆. Les décimales infinies, cependant, peuvent exprimer le même nombre de tout au plus deux manières différentes. S'il y a deux manières, alors une d'entre elles extrémité de nécessité avec une série infinie de nines, et l'autre doivent se terminer (c'est-à-dire, se composer d'une série périodique de zéros d'un certain point dessus).

Scepticisme dans l'éducation

Les étudiants des mathématiques rejettent souvent l'égalité de 0.999… et de 1, parce que les raisons s'étendant de leur aspect disparate aux craintes profondes au-dessus du concept de la limite et aux désaccords au-dessus de la nature du Infinitesimals là sont beaucoup de facteurs de contribution communs à la confusion :
Les étudiants sont souvent " ; mentalement commis à la notion qu'un nombre peut être représenté dans un et seulement l'one-way par un decimal." ; Voir deux manifestement différentes décimales représenter le même nombre semble être un paradoxe , qui est amplifié par l'aspect du numéro apparemment bien-compris 1.
Quelques étudiants interprètent le " ; 0.999… " ; (ou notation semblable) comme grande mais finie corde de 9s, probablement avec une longueur variable et non spécifiée. S'ils acceptent une corde infinie des nines, ils peuvent encore s'attendre dernier " à un 9 ; à l'infinity" ;.
L'intuition et l'enseignement ambigu mènent des étudiants penser à la limite d'un ordre comme genre de processus infini plutôt qu'une valeur fixe, puisqu'un ordre n'a pas besoin d'atteindre sa limite. Là où les étudiants acceptent la différence entre un ordre des nombres et sa limite, ils pourraient lire le " ; 0.999… " ; en tant que signification de l'ordre plutôt que sa limite.
Quelques étudiants considèrent 0.999… comme ayant une valeur fixe qui est moins de 1 par un peu infiniment.999 \ ldots = 10^ {- \ infty} )
Quelques étudiants croient que la valeur d'une série convergente est une approximation, pas la valeur réelle. Ces idées sont confondues dans le cadre des vrais nombres standard, bien que certains puissent être valides dans d'autres systèmes de numération, inventés pour leur utilité mathématique générale ou en tant que contre-exemples instructifs pour comprendre mieux 0.

Plusieurs de ces explications ont été trouvées par professeur David grandes, qui a étudié des caractéristiques de l'enseignement et la connaissance qui mènent à certains des malentendus qu'il a rencontrés dans ses étudiants universitaires. Interviewant ses étudiants pour déterminer pourquoi la grande majorité a au commencement rejeté l'égalité, il a trouvé ce " ; les étudiants continus pour concevoir de 0.999… comme ordre des nombres obtenant de plus en plus près de 1 et pas d'une valeur fixe, parce que « vous n'avez pas spécifié combien d'endroits là sont » ou 'il est la décimale la plus proche possible en-dessous de 1 ' " ;.

Des preuves élémentaires, multipliant 0.333… = ¹⁄₃ par 3 est apparemment une stratégie réussie pour convaincre les étudiants réticents qui 0. Toujours, une fois confrontés avec le conflit entre leur croyance de la première équation et leur incrédulité de la seconde, quelques étudiants commencent à être incroyants la première équation ou à devenir simplement frustrants. Ni sont des méthodes plus sophistiquées indéréglables : les étudiants qui sont entièrement capables d'appliquer des définitions rigoureuses peuvent encore tomber en arrière sur des images intuitives quand ils sont étonnés par un résultat dans des mathématiques avancées, y compris 0. Par exemple, un vrai étudiant d'analyse pouvait prouver ce 0.333… = ¹⁄₃ using une définition de Supremum , mais d'autre part insisté ce 0.999… < 1 a basé sur son arrangement plus tôt de longue division. D'autres peuvent toujours montrer que ¹⁄₃ = 0.333…, mais, en étant confronté à la preuve partielle , insistent ce " ; logic" ; remplace les calculs mathématiques.

Le Joseph Mazur indique le conte d'un étudiant autrement brillant de calcul à lui qui " ; contesté presque tout j'ai dit dans la classe mais n'ai jamais interrogé sa calculatrice, " ; et qui était venu pour croire que neuf chiffres sont chacun des doit faire des mathématiques, y compris calculer la racine carrée de 23. L'étudiant est resté inconfortable avec un argument limiteur qui 9.99… = 10, l'appelant un " ; process." croissant infini d'une manière extravagante imaginé ;

En tant qu'élément du " d'Ed Dubinsky ; " de la théorie du APOS ; de l'étude mathématique, Dubinsky et ses collaborateurs (2005) proposent que les étudiants qui conçoivent de 0.999… comme corde finie et indéterminée avec une distance infiniment petite de 1 aient le " ; pas encore construit une conception de processus complète du decimal" infini ;. D'autres étudiants qui ont une conception de processus complète de 0.999… peuvent encore ne pas pouvoir en mesure au " ; encapsulate" ; ce processus dans un " ; conception" d'objet ; , comme la conception d'objet ils ont de 1, et ainsi ils regardent le 0.999 de processus… et l'objet 1 comme incompatible. Le et autres de Dubinsky lient également cette aptitude mentale de l'encapsulation au visionnement ¹⁄₃ comme nombre à son propre chef et à traiter l'ensemble de nombres normaux en général.

Preuves

Algèbre

Fractions

Une raison pour laquelle les décimales infinies sont une prolongation nécessaire des décimales finies est de représenter des fractions. Using la longue division , une division simple des nombres entiers comme ¹⁄₃ devient une décimale de reproduction, 0.333…, dans lequel les chiffres répètent sans extrémité. Cette décimale rapporte une preuve rapide pour 0. multiplication de 3 fois 3 produit 9 dans chaque chiffre, SO3 les égales 0. Et 3 égales 1, ainsi $0.999 \ points = 1$ du × ¹⁄₃.

Une autre forme de cette preuve se multiplie ¹/₉ = 0.

Manipulation de chiffre

Un autre genre de preuve s'adapte plus facilement à d'autres décimales de répétition. Quand un nombre dans la notation décimale est multiplié par 10, les chiffres ne changent pas mais les mouvements décimaux de séparateur un endroit en la droite.999…, qui est 9 davantage que le nombre original.

Pour voir ceci, considérer cela qui soustrait 0.999… peut procéder chiffre par le chiffre ; dans chacun des chiffres après le séparateur décimal le résultat est 9 le − 9, qui est 0. Mais les zéros de remorquage ne changent pas un nombre, ainsi la différence est exactement 9. L'étape finale emploie l'algèbre. Laisser le nombre décimal en question, 0.999…, s'appelle le c . Puis 10 &minus du c ; c = 9. C'est identique que 9 le c = 9. divisant les deux côtés par 9 accomplit la preuve : c = 1. si $|r| < 1$ puis = de $ar+ar^2+ar^3+ \ cdots \ frac {AR} {1-r}.$

Puisque 0.999… est une telle somme avec un $r= commun de rapport \ textstyle \ frac {1} {10}$ , le théorème fait sous peu le travail de la question : $0.999 \ ldots = 9 (\ tfrac {1} {10}) + 9 ({\ tfrac {1} {10}}) ^2 + 9 ({\ tfrac {1} {10}}) ^3 + \ = de cdots \ frac {9 ({\ tfrac {1} {10}})}{1 {\ tfrac {1} {10}}} = 1. \,$ Cette preuve (réellement, ce 10 égales 9.999…) apparaît dès 1770 dans le éléments de de s d'Euler Leonhard les 'de l'algèbre .

La somme d'une série géométrique est elle-même un résultat encore plus ancien qu'Euler. Une dérivation typique de XVIIIème siècle a employé une manipulation de limite-par-limite semblable à la preuve d'algèbre de donnée ci-dessus, et aussi tard que 1811, du manuel de Bonnycastle une introduction aux utilisations de l'algèbre un tel argument pour que la série géométrique justifie la même manoeuvre sur 0. Une réaction du 19ème siècle contre de telles méthodes libérales d'addition a eu comme conséquence la définition qui domine toujours aujourd'hui : la somme d'une série est défini par à être la limite de l'ordre de ses sommes partielles. Une preuve correspondante des calculs de théorème explicitement qui ordonnancent ; il peut trouver en n'importe quelle introduction preuve-basée au calcul ou à l'analyse.

Un ordre ( X ₀, X ₁, X ₂,…) a un X de la limite si la distance | du X ; &minus ; ; n de _{du X | devient arbitrairement petit à mesure que le n augmente.999… ; = ; 1 peut lui-même être interprété et prouvé comme limite :
$(1 \ frac {1} {10^n} \ droit) = 1 \ lim_ {n \ \} infty \ frac {1} {10^n} = 1. \,$}

Le dernier &mdash d'étape ; ce n du lim ¹/₁₀ = 0 &mdash ; est souvent justifié par l'axiome que les vrais nombres ont la propriété d'Archimède . Cette attitude limite-basée envers 0.999… est souvent mise en termes plus évocateurs mais moins plus précis. Par exemple, 1846 le de manuel que l'université arithmétique explique, " ; .999 +, continu à l'infini = 1, parce que chaque annexation des 9 apporte la valeur plus près de 1" ; ; l'arithmétique 1895 de pour les écoles indique, " ; … quand un grand nombre de 9s est pris, la différence entre 1 et .99999… devient inconcevablement le small" ;. Une telle heuristique sont souvent interprétées par les étudiants comme impliquant que 0.999… lui-même est moins de 1.

Intervalles nichés et moindres limites supérieures

voient également :

du [[intervalles nichés]]

La définition de série ci-dessus est une manière simple de définir le vrai nombre appelé par une expansion décimale. Une approche complémentaire est conçue en fonction le processus opposé : pour un vrai nombre donné, définir les expansions décimales qui sont de l'appeler.

Si un X de vrai nombre est connu pour se situer dans l'intervalle fermé 10 de (c., il est supérieur ou égal à 0 et inférieur ou égal à 10), un peut imaginer se diviser qu'intervalle dans dix morceaux qui recouvrent seulement à leurs points finaux : 1, 2, 3, et ainsi de suite jusqu'à 10. Le X de nombre doit appartenir à un de ces derniers ; s'il appartient à 3 puis on enregistre le " de chiffre ; 2" ; et subdivise cet intervalle en 2. rendements continus de ce processus un ordre infini des intervalles nichés par , marqué par un ordre infini du b ₀, le b ₁, le b ₂, le b ₃ de chiffres,…, et on écrit le X de = b ₀. b ₃… du b ₂ du b ₁

Dans ce formalisme, le fait que 1 = 1.000… et également 1 = 0.999… reflète le fait que 1 les mensonges dans 1 et 2, ainsi un peuvent choisir l'un ou l'autre sous-intervalle en trouvant ses chiffres. Pour s'assurer que cette notation ne maltraite pas le " ; =" ; signer, un a besoin d'une manière de reconstruire un vrai nombre unique pour chacun décimal. Ceci peut être fait avec des limites, mais d'autres constructions continuent le thème de commande.

Un choix franc est le théorème , qui d'intervalles niché par garantit que donné un ordre de nicher, les intervalles fermés dont les longueurs deviennent arbitrairement petites, les intervalles contiennent exactement un vrai nombre dans leur intersection . Ainsi b ₀. le b ₃ du b ₂ du b ₁… est défini pour être le nombre unique contenu dans tous les intervalles '' b '' ₀ + 1, '' b '' ₀. '' b '' ₁ + 0.999… est alors le vrai nombre unique qui se situe dans tous les intervalles 1, 1, 1, et 1 pour chaque corde finie de 9s. Puisque 1 est un élément de chacun de ces intervalles, 0.

Le théorème niché d'intervalles est habituellement fondé sur une caractéristique plus fondamentale des vrais nombres : l'existence du moindres limites supérieures ou suprema de . Pour exploiter directement ces objets, on peut définir le b ₀. b ₃ du b ₂ du b ₁… à être la moindre limite supérieure de l'ensemble d'approchantes { b ₀, b ₀. b ₁, b ₀. b ₂ du b ₁,…}. On peut alors prouver que cette définition (ou la définition nichée d'intervalles) est compatible au procédé de subdivision, impliquant 0. Tom Apostol conclut,

Le fait qu'un vrai nombre pourrait avoir deux représentations décimales différentes est simplement une réflexion du fait que deux ensembles différents de vrais nombres peuvent avoir le même supremum.

Vrais nombres

voient également : Construction des vrais nombres Toutes les preuves données ci-dessus ont certains problèmes et ne sont pas les preuves mathématiques vraiment rigoureuses. Prenons un il plus attentif.
La preuve sur des fractions suppose que $1/3 = 0.333…$ , comment nous le savons est vrai ? Pourquoi ne peut pas il y avoir infiniment un petit numéroter le $\ epsilon$ tels que $1/3 = 0.333… + \ epsilon/3$ ?
La preuve sur la manipulation de chiffre indique le " ; Pour montrer que les manipulations fonctionnent également pour des décimales infinies, on a besoin des méthodes de vrai analysis." ; Ainsi la preuve dépend de quelque chose improuvée.
La preuve sur la série infinie indique : " ; Le dernier &mdash d'étape ; ce n du lim ¹/₁₀ = 0 &mdash ; est souvent justifié par l'axiome que les vrais nombres ont la propriété d'Archimède . " ; Ici nous avons un certain axiome, celui résout comme par magie le problème infinitésimal.
La preuve nichée d'intervalle emploie le théorème d'intervalles niché par , qui est juste une autre forme de propriété d'Archimède.

En fait il est impossible de prouver rigoureusement ce 0.999… = 1 avec une approche intuitive naïve aux nombres. Ceci donne une motivation à des constructions mathématiques plus sérieuses. Si nous souhaitons prouver ou réfuter le rapport, nous devons avoir une définition précise de vrais nombres.

Quelques approches définissent explicitement de vrais nombres pour être certaines structures de établies sur les nombres raisonnables , using la théorie des ensembles axiomatique . Les nombres normaux - 0, 1, 2, 3 de , et ainsi de suite - commencent par 0 et continuent vers le haut, de sorte que chaque nombre ait un successeur. On peut prolonger les nombres normaux avec leurs négatifs pour donner à tous les nombres entiers et pour se prolonger plus loin aux rapports, donnant au des nombres raisonnables ces systèmes de numération sont accompagnés de l'arithmétique de l'addition, de la soustraction, de la multiplication, et de la division. Plus subtilement, ils incluent le commandant , de sorte qu'un nombre puisse être comparé à des autres et fonder moins que, plus grand que, ou égale.

L'étape des nombres rationnels aux reals est une prolongation importante. Il y a au moins deux manières populaires de réaliser cette étape, toutes les deux éditées en 1872 : Le Dedekind coupe et preuves des ordres de Cauchy qui 0.999… = 1 qui emploient directement ces constructions ne sont pas trouvés en manuels sur la vraie analyse, où la tendance moderne pour les dernières décennies a été d'employer une analyse axiomatique. Même lorsqu'une construction est offerte, elle est habituellement appliquée vers prouver les axiomes des vrais nombres, qui soutiennent alors les preuves ci-dessus. Cependant, plusieurs auteurs expriment l'idée que commencer par une construction est plus logiquement approprié, et les preuves en résultant sont plus d'un seul bloc.

Coupes de Dedekind

voient également :

du [[Dedekind coupé]]

Dans l'approche de la coupe de Dedekind de , chaque X de vrai nombre est défini comme ensemble infini de tous les nombres raisonnables qui sont moins que le X . En particulier, le vrai numéro 1 est l'ensemble de tous les nombres raisonnables qui sont moins de 1. Chaque expansion décimale positive détermine facilement un Dedekind coupé : l'ensemble de nombres raisonnables qui sont inférieurs une certaine étape de l'expansion. Ainsi le vrai numéro 0.999… est l'ensemble de r de nombres raisonnables tels que le r < 0, ou le r < 0.99, ou le r est inférieur quelque autre nombre du $de forme \ commence {aligner} 1 (\ tfrac {1} {10}) ^n \ extrémités {aligner}$ . Chaque élément de 0.999… est moins de 1, ainsi c'est un élément du vrai numéro 1. réciproquement, un élément de 1 est un nombre raisonnable $\ commencent {aligner} \ tfrac {a} {b} <1 \ extrémité {aligner}$ , qui implique $\ commencent {aligner} \ tfrac {a} {b} ^b de <1- (\ tfrac {1} {10}) \ extrémité {aligner}$ .999… et 1 contiennent les mêmes nombres raisonnables, ils sont le même ensemble : 0.

La définition de vrais nombres comme coupes de Dedekind a été éditée la première fois par le Richard Dedekind en 1872. L'approche ci-dessus à assigner un vrai nombre à chaque expansion décimale est due à un papier expositoire intitulé " ; Est-il 0.999… = 1 ? " ; par Fred Richman en magazine de mathématiques de , qui est visé aux professeurs des mathématiques collégiales, particulièrement au junior/à niveau élevé, et à leurs étudiants. Richman note cela qui prend Dedekind coupe dedans n'importe quel le sous-ensemble dense des rendements de nombres raisonnables les mêmes résultats ; en particulier, il emploie les fractions décimales pour lesquelles la preuve est plus immédiate : " ; Ainsi nous voyons que dans la définition traditionnelle des vrais nombres, l'équation 0.9* = 1 est incorporée au beginning." ; Une autre modification du procédé mène à une structure différente que Richman est plus intéressé à décrire ; voir le " ; Réponses différentes de de " alternatif des systèmes de numération ; au-dessous de.

Ordres de Cauchy

voient également :

du [[ordre de Cauchy]]

Une autre approche à construire les vrais nombres emploie la commande des nombres rationnels moins directement. D'abord, la distance entre le X et le y est définie comme valeur absolue | du X ; &minus ; ; y |, où la valeur absolue | z | est défini comme maximum du z et du &minus ; z , ainsi jamais négatif. Alors les reals sont définis pour être les ordres des nombres rationnels qui ont la propriété de l'ordre de Cauchy using cette distance. C'est-à-dire, dans l'ordre ( X ₀, X ₁, X ₂,…), une cartographie des nombres normaux aux nombres rationnels, parce que n'importe quel δ raisonnable positif il y a un N tels que | m de _{du X ; &minus ; ; n} de _{du X | ; ≤ ; δ pour tout le m , du n ; > ; N . (La distance entre les limites devient plus petite que raisonnable positif.)}

Si ( n de _{de X ) et ( n} de _{de y ) sont deux ordres de Cauchy, alors ils sont définis pour être égaux en tant que vrais nombres si l'ordre ( n} de _{de X ; &minus ; ; le n} de _{du y ) a la limite 0. Troncations du b ₀ de nombre décimal. le b ₃ du b ₂ du b ₁… produisent d'un ordre des nombres rationnels qui est Cauchy ; ceci est pris pour définir la valeur réelle du nombre. Ainsi dans ce formalisme la tâche est de montrer que ce l'ordre du $de de nombres raisonnables \ a laissé (1 - 0, 1 - {9 \ plus de 10}, 1 - {99 \ plus de 100}, \ points \ droit) à$}

\ a laissé (1, {1 \ plus de 10}, {1 \ plus de 100}, \ points \ droit)

a la limite 0. Vu n Th limite de ordre, pour n =0,1,2,…, il doit donc être montré que

$\ lim_ {n \ rightarrow \} infty \ frac {1} {10^n} = 0.$

Cette limite est plate ; une preuve possible est celle pour le ε = le un / b > 0 un peut prendre le du N ; = ; b dans la définition de la limite de d'un ordre .999… ; = ; 1.

La définition de vrais nombres comme ordres de Cauchy a été la première fois éditée séparément par le Eduard Heine et le chantre de Georg de , aussi en 1872.

Généralisations

Preuves qui 0.999… = 1 généralisent immédiatement de deux manières. D'abord, chaque nombre différent de zéro avec une notation décimale finie (d'une manière equivalente, 0s de remorquage sans fin) a des contre-parties avec traîner 9s.25, exactement comme dans le cas spécial considéré. Ces nombres sont exactement les fractions décimales, et ils sont denses.

En second lieu, un théorème comparable s'applique dans chaque radix ou bas. Par exemple, dans la base 2 (le système de chiffre binaire de ) 0.111… égale 1, et dans la base 3 (le système de numération ternaire ) 0. manuel de vraie analyse est susceptible de sauter l'exemple de 0.999… et de présenter une ou tous les deux généralisations dès le début.

Les représentations alternatives de 1 se produisent également dans des bases de non-nombre entier. Par exemple, dans la base d'or de rapport de , les deux représentations standard sont 1.101010…, et il y a infiniment beaucoup plus de représentations qui incluent 1s adjacent. Généralement, pour le presque tout le de q entre 1 et 2, il y a uncountably beaucoup des expansions du q de base de 1. d'une part, il restent uncountably beaucoup le q (tous les nombres normaux y compris plus considérablement que 1) pour lesquels il y a seulement une expansion basse du q de 1, autre que les 1. Ce résultat a été obtenu la première fois par le Paul Erdős , Miklos Horváth, et István Joó autour de 1990. En Vilmos 1998 Komornik et Paola Loreti a déterminé le plus petit une telle base, le q = 1. Dans cette base, 1 = 0.11010011001011010010110011010011… ; les chiffres sont donnés par l'ordre de Thue-Morse de , qui ne répète pas.

Une généralisation plus de grande envergure adresse le les systèmes de numération de position les plus généraux . Ils ont aussi les représentations multiples, et dans un certain sens les difficultés sont encore plus mauvaises. Par exemple :
Dans le système ternaire équilibré de , ¹/₂ = 0.
Dans le système de Factoradic , 1 = 1. Marko Petkovšek a montré que de telles ambiguïtés sont des conséquences nécessaires d'employer un système de position : pour un tel système qui appelle tous les vrais nombres, l'ensemble de reals avec les représentations multiples est toujours dense. Il appelle le " de preuve ; un exercice instructif dans le élémentaire Point-a placé le " de la topologie ; ; il implique de regarder des ensembles de valeurs de position pendant que les espaces en pierre et de noter que leurs vraies représentations sont données par les fonctions continues .

Applications

Une application de 0.999… comme représentation de 1 se produit dans la théorie des nombres élémentaire . Goodwin a édité une observation sur l'aspect de 9s dans les représentations répéter-décimales des fractions dont les dénominateurs sont sûrs que des exemples des nombres premiers incluent :
¹/₇ = 0.142857142857… et 142 + 857 = 999.
¹/₇₃ = 0.0136986301369863… et 0136 + 9863 = 9999. Midy a prouvé un résultat général au sujet de telles fractions, maintenant appelées le théorème de Midy de , en 1836. La publication était obscure, et elle est peu claire si sa preuve impliquait directement 0.999…, mais au moins une preuve moderne par W. Si on peut montrer qu'une décimale de la forme 0. le b ₃ du b ₂ du b ₁… est un nombre entier positif, puis il doit être 0.999…, qui est alors la source du 9s dans le théorème. Les investigations dans cette direction peuvent motiver des concepts tels que l'arithmétique modulaire , Fermat de des plus grands diviseurs communs amorce l'ordre de des éléments du groupe , et la réciprocité quadratique .

Retournant à la vraie analyse, base-3 l'analogue 0.222… = 1 joue un rôle principal dans une caractérisation d'une des fractales les plus simples le chantre réglé de de moyen-tiers :
Un point dans les mensonges de l'intervalle unitaire dans le chantre a placé si et seulement s'il peut être représenté dans ternaire employant seulement les chiffres 0 et 2.

Le chiffre de Th du n de la représentation reflète la position du point dans l'étape de Th du n de la construction. Par exemple, le ² ⁄₃ de point est donné la représentation habituelle de 0.2000…, puisqu'il se trouve à la droite de la première suppression et à la gauche de chaque suppression ensuite. Le point ¹⁄₃ est représenté pas en tant que 0.0222…, puisqu'il se trouve à la gauche de la première suppression et à la droite de chaque suppression ensuite.

En répétant des nines tourner également vers le haut dans l'encore un autre des travaux du chantre de Georg. Ils doivent être tenus compte pour construire une preuve valide, appliquant le son 1891 argument diagonal aux expansions décimales, du Uncountability de l'intervalle unitaire. Une telle preuve doit pouvoir déclarer certaines paires de vrais nombres pour être différente basée sur leurs expansions décimales, ainsi on doit éviter des paires comme 0. Une méthode simple représente tous les nombres avec des expansions nonterminating ; la méthode opposée élimine répéter des nines. Une variante qui peut être plus près de l'argument original du chantre emploie réellement la base 2, et en transformant les expansions base-3 en expansions base-2, on peut prouver l'uncountability du chantre réglé aussi bien.

Dans la culture populaire

Avec l'élévation de l'Internet , les discussions environ 0.999… ont échappé à la salle de classe et sont banales sur les newsgroup et les panneaux de message comprenant beaucoup qui ont nominalement peu à faire avec des mathématiques.math de newsgroup, discuter au sujet de 0.999… est un " ; sport" populaire ; , et lui est l'une des questions répondues dans son FAQ . Le FAQ couvre brièvement ¹⁄₃, multiplication par 10, et limites, et il fait référence aux ordres de Cauchy aussi bien.

Une édition 2003 du d'intérêt général de de la colonne de journal le dopant droit discute 0.999… par l'intermédiaire de ¹⁄₃ et de limites, dire des idées fausses,

le primat inférieur de
The dans nous résiste toujours, dire : .999~ ne représente pas vraiment un nombre de , puis, mais un processus de . Pour trouver un nombre nous devons arrêter le processus, lequel au point la .999~ = 1 chose tombe apart.

Le le dopant droit cite une discussion sur son propre panneau de message qui s'est développé hors d'un " non identifié ; l'autre panneau de message… la plupart du temps au sujet du games" visuel ;. Dans la même veine, la question de 0.999… a prouvé une matière si populaire en sept premières années le forum de Battle.net de s de divertissement tempête de neige de des 'que la compagnie a publié un " ; presser le release" ; sur le 2004 du jour d'imbécile d'avril qu'il est 1 :

Nous sommes très excited pour fermer le livre à ce sujet une fois pour toutes. Nous avons été témoin du chagrin d'amour et du souci plus de si .999~ fait ou n'égale pas 1, et nous sommes fiers que la preuve suivante aborde finalement et d'une manière concluante l'issue pour nos clients.

Deux preuves sont alors offertes, basé sur des limites et la multiplication par 10.

Systèmes de numération alternatifs

Bien que les vrais nombres forment un système de numération extrêmement utile , la décision pour interpréter le " d'expression ; 0.999… " ; en tant que nomination un vrai nombre est finalement une convention, et Timothy Gowers discute dans des mathématiques de : Une introduction très courte cette l'identité en résultant 0.999… = 1 est une convention aussi bien :

Cependant, c'est nullement une convention arbitraire, parce que l'adoption de elle force on à inventer de nouveaux objets étranges ou à abandonner certaines des règles familières de l'arithmétique.

On peut définir d'autres systèmes de numération using différentes règles ou nouveaux objets ; dans quelques tels systèmes de numération, les preuves ci-dessus devraient être réinterprétées et l'on a pourrait constater que, dans un système de numération donnée, 0.999… et 1 ne pourraient pas être identiques. Cependant, beaucoup de systèmes de numération sont des prolongements de &mdash ; plutôt que des solutions de rechange indépendantes au &mdash ; le système de vraie numération, tellement 0.999… = 1 continue à se tenir. Même dans de tels systèmes de numération, bien que, il soit intéressant d'examiner les systèmes de numération alternatifs, non seulement pour la façon dont 0.999… se comporte (si, en effet, un nombre exprimé comme le " ; 0.999… " ; est signicatif et non ambigu), mais également pour le comportement des phénomènes relatifs. Si de tels phénomènes diffèrent de ceux dans le système de vraie numération, alors au moins une des prétentions établies dans le système doit décomposer.

Infinitesimals

voient également :

infinitésimal du

Quelques preuves qui 0.999… = 1 se fondent sur la propriété d'Archimède des vrais nombres standard : il n'y a aucun différent de zéro Infinitesimals là sont mathématiquement les structures algébriques commandées logiques comprenant de diverses solutions de rechange aux reals standard, qui sont non-D'Archimède. La signification de 0.999… dépend de quelle structure nous employons. Par exemple, les nombres duels incluent un nouveau ε infinitésimal d'élément, analogue au i d'unité imaginaire dans les nombres complexes sauf que le de ² de ε ; = ; 0. La structure en résultant est utile dans la différentiation automatique . Les nombres duels peuvent être donnés un ordre lexicographique , dans ce cas les multiples du ε deviennent les éléments non-D'Archimède. Note, cependant, que, comme prolongation des vrais nombres, les nombres duels ont toujours 0. Sur une note relative, alors que le ε existe dans des nombres duels, ainsi fait ε/2, ainsi le ε n'est pas " ; le plus petit nombre duel positif, " ; et, en effet, comme dans les reals, tel nombre n'existe pas.

Une autre manière de construire des solutions de rechange aux reals standard est d'employer des logiques de théorie et d'alternative de Topos plutôt que la théorie des ensembles et la logique classique (qui est un cas spécial). Par exemple, l'analyse infinitésimale douce a des infinitesimals sans les reciprocals

L'analyse non standard est bien connue pour inclure un système de numération avec un plein choix d'infinitesimals (et de leurs inverses) qui fournissent un différent, et peut-être plus intuitive, approche au calcul . Lightstone a fourni un développement des expansions décimales non standard en 1972 l'où chaque vrai nombre prolongé dedans (0, 1) a une expansion décimale prolongée unique : un ordre des chiffres 0.ddd… ; … DDD… répertorié par les nombres normaux prolongés. Dans son formalisme, il y a deux prolongements normaux de 0.333…, ni l'un ni l'autre dont fait défaut à ¹/₃ par un infinitésimal :
0.333 de
… ; … 000… n'existe pas, alors que le
0.333… ; …… 333 ; = ; ¹/₃ exactement.

La théorie des jeux rectangulaires combinatoire fournit à des reals alternatifs aussi bien, le Bleu-Rouge infini Hackenbush en tant qu'un en particulier exemple approprié. En 1974, le Elwyn Berlekamp a décrit une correspondance entre les cordes de Hackenbush et les expansions binaires de vrais nombres, motivées par l'idée de la compression de données . Par exemple, la valeur de la corde LRRLRLRL de Hackenbush… est 0.010101… ; = ; ¹/₃. Cependant, la valeur de LRLLL… (correspondant à 0.111…) est infinitésimal moins de 1. La différence entre les deux est le nombre surréaliste ¹/_ω de , où le ω est le nombre ordinal infini du premier ; le jeu approprié est LRRRR… ou 0.

Rupture de la soustraction

Une autre façon dont les preuves pourraient être minées est si 1 ; &minus ; ; 0.999… simplement n'existe pas, parce que la soustraction n'est pas toujours possible. Les structures mathématiques avec une opération d'addition mais pas une opération de soustraction incluent les monoîdes commutatifs du de commutatif des semigroupes et le Semirings Richman considère deux tels systèmes, conçus de sorte que 0.

D'abord, Richman définit un nombre décimal de non négatif pour être une expansion décimale littérale. Il définit l'ordre lexicographique et une opération d'addition, notant ce 0.999… ; < ; ; 1 simplement parce que 0 ; < ; ; 1 dans ceux endroit, mais pour n'importe quel nonterminating X , un a 0.999… ; + ; du X ; = ; 1 ; + ; X . Tellement une particularité des nombres décimaux est que l'addition ne peut pas toujours être décommandée ; un autre est que nombre décimal ne correspond pas à ¹⁄₃. Après définition de la multiplication, les nombres décimaux forment un positif, semiring totalement commandé et commutatif.

En cours de définir la multiplication, Richman définit également un autre système qu'il appelle le " ; couper le " du D ; , qui est l'ensemble de coupes de Dedekind des fractions décimales. D'habitude cette définition mène aux vrais nombres, mais pour un d de fraction décimale il permet aux deux de couper (&minus ; ∞, ; du d ;) et le " ; cut" principal ; (&minus ; ∞, ; du d ;]. Le résultat est que les vrais nombres sont " ; vie avec difficulté ainsi que le " ; les fractions décimales.999… ; < ; 1. Il n'y a aucun infinitesimals positif dans le coupé D , mais il y a " ; une sorte d'infinitésimal négatif, " ; 0^{&minus ;}, qui n'a aucune expansion décimale.999… ; = ; 1 ; + ; 0^{&minus ;}, tandis que le " d'équation ; 0.999… + X = 1" ; n'a aucune solution.

p - nombres adic

voient également :

du nombre de P-adic de

Une fois demandés environ 0.999…, des novices croient souvent qu'il devrait y a un " ; finale 9, " ; 1 de croyance ; &minus ; ; 0.999… à être un nombre positif que beaucoup écrivent comme " ; 0. Si cela semble raisonnable, le but intuitif est clair : additionner un 1 aux 9 derniers dans 0.999… porterait tout le 9s dans 0s et quitterait à un 1 dans celui l'endroit. Entre d'autres raisons, cette idée échoue parce qu'il n'y a aucun " ; dernier 9" ; dans 0. Pour une corde infinie de 9s comprenant des 9 derniers, on doit regarder ailleurs.

Le '' p '' - les nombres adic sont un système de numération alternatif d'intérêt pour la théorie des nombres . Comme les vrais nombres, le p - des nombres adic peuvent être établis des nombres raisonnables par l'intermédiaire des ordres de Cauchy que la construction emploie un différent métrique dans ce qui est 0 plus près du p , et beaucoup plus près du pⁿ , que lui est à 1. Le p - les nombres adic forment un champ pour le principal p et un anneau pour l'autre p , y compris 10. Ainsi l'arithmétique peut être exécutée dans le p - l'adics, et là ne sont aucun infinitesimals.

Dans les 10 nombres adic, les analogues des expansions décimales fonctionnent vers la gauche. 10 l'expansion adic… 999 a des 9 derniers, et elle n'a pas des 9. On peut additionner 1 à ceux endroit, et il laisse seulement 0s après avoir exécuté : 1 ; + ; … 999 ; = ; … 000 ; = ; 0, et ainsi… 999 ; = ; &minus ; 1. Une autre dérivation emploie une série géométrique. La série infinie implicite par le " ; … 999" ; ne converge pas dans les vrais nombres, mais il converge dans l'adics 10, et ainsi on peut réutiliser la formule familière : $de \ ldots999 = 9 + 9 (10) + 9 (10)^2 + 9 (10)^3 + \ = de cdots \ frac {9} {1-10} = -1.$

(Rivaliser avec le de série au-dessus de .) Une troisième dérivation a été inventée par un seventh-grader qui était douteux au-dessus de l'argument limiteur de son professeur ce 0.999… ; = ; 1 mais a été inspiré pour prendre le de la preuve multiply-by-10 au-dessus de dans la direction opposée : si du X ; = ; … 999 puis 10 du X ; = ; … 990, tellement 10 du X ; = ; du X ; &minus ; ; 9, par conséquent du X ; = ; &minus ; 1 encore. on peut ajouter les deux équations et arriver…… au 999. Cette équation ne semble pas raisonnable comme expansion 10 adic ou expansion décimale ordinaire, mais elle s'avère être signicative et vraie si on développe une théorie de " ; double-decimals" ; avec les extrémités gauches de certain-répétition pour représenter un système familier : les vrais nombres.

Questions relatives

< ! -- L'Intuitionism devrait être travaillé dedans quelque part et être expliqué, pas nécessairement ici. -->
Les paradoxes , en particulier le paradoxe de Zeno de du coureur, sont réminiscents du paradoxe apparent qui 0.999… et 1 sont égaux. Le paradoxe de coureur peut être mathématiquement modelé et puis, comme 0.999…, résolu using une série géométrique. Cependant, il n'est pas clair si ce traitement mathématique aborde les issues métaphysiques fondamentales que Zeno l'explorait.
La Division de par zéro se produit au cours de quelques discussions populaires de 0.999…, et elle remue également la controverse. Tandis que la plupart des auteurs choisissent de définir 0.999…, presque tous les traitements modernes laissent la division par zéro éliminé, car il ne peut être donné aucune signification dans les vrais nombres standard. Cependant, la division par zéro est définie dans quelques autres systèmes, tels que l'analyse complexe , où le plan complexe prolongé , c. la sphère de Riemann de , a le " de point ; infinity" ;. Ici, il semble raisonnable de définir ¹/₀ pour être infini ; et, en fait, les résultats s'appliquent profonds et à beaucoup de problèmes dans la technologie et la physique. Quelques mathématiciens en avant ont plaidé pour une telle définition longtemps avant que l'un ou l'autre système de numération ait été développé.
Le négatif zéro est un autre dispositif superflu de beaucoup de manières des nombres d'écriture. En nombre systèmes, tels que les vrais nombres, où " ; 0" ; ne dénote l'identité additive et est ni positif ni négatif, l'interprétation habituelle du " ; &minus ; 0" ; est ce qu'il devrait dénoter l'inverse d'additif de 0, qui force le &minus ; 0 ; = ; 0. Néanmoins, quelques zéros positifs d'utilisation d'applications et négatifs séparés scientifiques, de même que font certains des systèmes de numération les plus communs d'ordinateur (par exemple nombres entiers stockés dans le signe et la grandeur ou ses formats de complément , ou nombres de virgule flottante comme spécifique par la norme à point mobile d'IEEE de ).

Voir également

représentation décimale
Infini
Limite de (mathématiques)
Mathématiques naïves
Analyse non standard
Vraie analyse
Série de (mathématiques)

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