Équation raide

Dans les mathématiques , une équation raide est une équation pour laquelle les méthodes numériques de certain pour résoudre l'équation sont le numériquement instable, à moins que la taille d'étape soit prise pour être extrêmement petite. Elle a prouvé difficile de formuler une définition précise de rigidité, mais l'idée principale est que l'équation inclut quelques limites qui peuvent mener à la variation rapide de la solution.

Exemple de motivation

Considérer le $de\; deproblème\; de\; valeur\; initiale\backslash ,\; le\; y\text{'}(t)=-15y\; (t),\; \backslash \; quadruple\; t\; \backslash \; GE\; 0,\; y\; (0)\; =1.$ La solution exacte est $y\; (t)=e^\; \{-\; 15t\}$, et clairement ; $0$ comme &rarr de $t$ ; &infin ;. Nous voulons que les solutions numériques montrent le même comportement.

Le schéma 1 montre les issues numériques pour différents intégrateurs numériques appliqués sur l'équation. D'abord, la méthode d'Euler de avec une taille d'étape de $h=1/4$ oscille d'une manière extravagante et sort rapidement la figure. Divisant en deux la taille d'étape et réexécutant l'intégration avec $h=1/8$ le résultat est dans la figure frontières, mais oscille et représente nullement la solution qualitative.

La méthode trapézoïdale , c., la méthode à deux étages d'Adams-Moulton de , est donnée par le $y\_\; de\; \{n+1\}\; =y\_n+\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; h\; \backslash \; estpartie(f\; (t\_n,\; y\_n)\; +f\; (t\_\; \{n+1\},\; y\_\; \{n+1\})\; \backslash \; droit).$ L'application de cette méthode au lieu de la méthode d'Euler donne un résultat bien meilleur. Pendant que la figure montre, les résultats numériques diminuent monotoniquement à zéro, juste comme la solution exacte.

Caractérisation de rigidité

Certains types de problèmes peuvent être caractérisés en tant que stiff :
problèmes du de
de forme $y\; de\; =\; les\; KY\; +\; f\; (t),\; \backslash ,$
de où $k$&isin ; C et $|k|$ est grand.

• systèmes du de
  de forme $de$

\ mathbf {y} '= + de K \ mathbf {y} \ mathbf {f} (t),
de où $K$ est une matrice carrée ayant au moins une valeur propre $l$&isin ; C et $|l|$ est grand.

• systèmes du de
  de forme = de $\backslash \; mathbf\; de$

{y} '\ mathbf {f} (\ mathbf {y}, t),
de avec le Jacobian de f ayant au moins une valeur propre $m$&isin ; C et $|m|$ est grand.

Un-stabilité

Le comportement des méthodes numériques sur des problèmes raides peut être analysé en s'appliquant ces méthodes au $y\; d\text{'}équation\; d\text{'}essai\; =\; à\; ky$ avec le &isin du k ; C . La solution de cette équation est $y\; (t)\; =\; \backslash \; ^\; de\; mathrm\; \{e\}\; \{kt\}$. Cette solution approche zéro comme $t\; \backslash \; à\; \backslash \; infty$ quand au sujet de $k$ < 0. Si la méthode numérique montre également ce comportement, alors la méthode serait le A-stable. Les méthodes A-stable ne montrent pas les problèmes d'instabilité comme décrit dans l'exemple de motivation.

Méthodes de Runge-Kutta

Les méthodes de Runge-Kutta de appliquées au $y\; d\text{'}équation\; d\text{'}essai\; =\; au\; ky$ prennent = du $y\_\; de\; forme\; \{n+1\}\; \backslash \; phi\; (HK)\; y\_n$, et par induction, = de $y\_n\; \backslash \; phi\; (HK)\; ^ny\_0$ (le &phi de fonction ; s'appelle la fonction de stabilité de ). Ainsi, la condition ce &rarr de $y\_n$ ; 0 comme &rarr de $n$ ; &infin ; est équivalent au . Ceci motive la définition de la région de de la stabilité absolue (parfois désigné simplement sous le nom de région de stabilité de ), qui est l'ensemble {&isin de $z$ ; C | }. La méthode est A-stable si la région de la stabilité absolue contient l'ensemble {&isin de $z$ ; C | ($z$) < 0 re}, c., demi d'avion gauche.

Exemple : L'Euler et les méthodes trapézoïdales

Considérer l'Euler et les méthodes trapézoïdales ci-dessus. La méthode d'Euler appliquée au $y\; d\text{'}équation\; d\text{'}essai\; =\; au\; ky$ est le $y\_\; de\; \{n+1\}\; =\; y\_n\; +\; à\; hautefréquence(t\_n,\; y\_n)\; =\; y\_n\; +\; h\; (ky\_n)\; =\; y\_n\; +\; hky\_n\; =\; le\; y\_n\; (1+hk).\; \backslash ,$ Par conséquent, $y\_n\; =\; (1+hk)\; ^ny\_0$ avec le $\backslash \; phi\; (z)\; =\; 1+z$. La région de la stabilité absolue pour cette méthode est ainsi {&isin de $z$ ; C | |1+z| < 1} ce qui est le disque représenté du côté droit. La méthode d'Euler n'est pas A-stable.

L'exemple de motivation a eu $k=-15$. La valeur du z en prenant le $h\; detailled\text{'}étape\; =\; le\; 1/4$ est $z\; =\; -3.75$, qui est en dehors de la région de stabilité. En effet, les résultats numériques ne convergent pas à zéro. Cependant, avec le $h\; de\; taille\; d\text{'}étape\; =\; le\; 1/8$, nous avons le $z\; =\; le\; -1.875$ qui est juste à l'intérieur de la région de stabilité et les résultats numériques convergent à zéro, quoique plutôt lentement.

Le y_ trapézoïdal de $de\; de\; méthode\; \{n+1\}\; =\; +\; de\; y\_n\; \backslash \; tfrac12h\; \backslash \; estparti(f\; (t\_n,\; y\_n)\; +f\; (t\_\; \{n+1\},\; y\_\; \{n+1\})\; \backslash \; droit),$ une fois appliqué au $y\; d\text{'}équation\; d\text{'}essai\; =\; au\; ky$, est le y_ de $de\; \{n+1\}\; =\; +\; de\; y\_n\; \backslash \; tfrac12h\; \backslash \; est\; parti\; (ky\_n+ky\_\; \{n+1\})\; \backslash \; droit).$ La solution pour le y_ de $\{n+1\}$ rapporte le $y\_\; de\; \{n+1\}\; =\; \{1+\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; HK\; \backslash \; plus\; de\; les\; 1\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; HK\}\; y\_n.$ Ainsi, la fonction de stabilité est $de\; \backslash \; phi\; (z)=\; \{1+\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; z\; \backslash \; plus\; de\; 1\; \{1\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; z\}$ et la région de la stabilité absolue est Cette région contient l'avion de gauche-moitié, ainsi la méthode trapézoïdale est A-stable. En fait, la région de stabilité est identique à l'avion de gauche-moitié, et ainsi la solution numérique du $y\; =\; du\; ky$ converge à zéro si et seulement si la solution exacte fait. Néanmoins, la méthode trapézoïdale n'a pas la stabilité parfaite : elle atténue tous les composants de décomposition, mais des composants rapidement de décomposition sont atténués seulement très modérément, parce que $\backslash \; phi\; (z)\; \backslash \; à\; 1$ comme $z\; \backslash \; à\; -\; \backslash$ infty. Ceci a mené au concept de la L-stabilité : une méthode est L-stable si c'est A-stable et $\backslash \; phi\; (z)\; \backslash \; à\; 0$ comme $|z|\; \backslash \; \backslash$ infty. La méthode trapézoïdale n'est pas L-stable. La méthode implicite d'Euler de est un exemple d'une méthode L-stable.

Théorie générale

La fonction de stabilité d'une méthode de Runge-Kutta de avec le A de coefficients et le b est donnée par le $\backslash \; phi\; de\; (z)\; =\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; det\; (I-zA+zeb^T)\}\; \{\backslash \; det\; (I-zA)\},$ là où le e dénote le vecteur avec ceux. C'est une fonction raisonnable (un polynôme de divisé par des autres).

Les méthodes explicites de Runge-Kutta ont un abaissent strictement le triangulaire A de matrice de coefficient de et ainsi, leur fonction de stabilité est un polynôme. Elle suit que les méthodes explicites de Runge-Kutta ne peuvent pas être A-stable.

La fonction de stabilité des méthodes implicites de Runge-Kutta est souvent analysée using les étoiles d'ordre de que l'étoile d'ordre pour une méthode avec le $de\; fonction\; de\; stabilité\; \backslash \; phi$ est définie pour être l'ensemble {&isin de $z$ ; C | $|\backslash \; phi\; (z)|\; >\; \backslash \; mathrm\; \{e\}\; ^z$}. Une méthode est A-stable si et seulement si sa fonction de stabilité n'a aucun poteau en avion à gauche et son étoile d'ordre ne contient aucun nombre purement imaginaire.

Méthodes multipas

Les méthodes multipas linéaire ont le $y\_\; de\; de\; forme\; \{n+1\}\; =\; \backslash \; le\; y\_\; de\; \_i\; ^\; SA\; du\; sum\_\; \{i=0\}.\; \{Ni\}\; +h\; \backslash \; b\_j\; f\; (t\_\; \{n-j\},\; y\_\; \{n-j\}\; ^s)\; du\; sum\_\; \{j=-1\}.$ Appliqué à l'équation d'essai, elles deviennent le $y\_\; de\; \{n+1\}\; =\; \backslash \; le\; y\_\; de\; \_i\; ^\; SA\; du\; sum\_\; \{i=0\}.\; \{Ni\}\; +hk\; \backslash \; b\_jy\_\; ^s\; du\; sum\_\; \{j=-1\}\; \{n-j\},$ ce qui peut être simplifié au y_ du $de\; (1-b\_\; \{-\; 1\}\; z)\; \{n+1\}\; -\; \backslash \; y\_\; ^s\; du\; sum\_\; \{j=0\}\; (a\_j+b\_jz)\; \{n-j\}\; =0$ là où $z=hk$. C'est une relation de récurrence linéaire . La méthode est A-stable si tous les $de\; solutions\; \backslash \; \{y\_n\; \backslash \}$ de la relation de récurrence convergent à zéro quand au sujet du z < 0. Le polynôme caractéristique est $de\; \backslash \; phi\; (z,\; w)\; =\; w^\; \{s+1\}\; -\; \backslash \; \_iw^\; ^\; SA\; du\; sum\_\; \{i=0\}.\; \{s-j\}\; -\; b\_jw^\; de\; ^s\; de\; z\; \backslash \; sum\_\; \{j=-1\}\; \{s-j\}.$ Toutes les solutions convergent à zéro pour une valeur donnée de $z$ si toutes les solutions $w$ de $\backslash \; demensongez,\; w)\; =\; 0$ de phi (en cercle d'unité.

La région de la stabilité absolue pour une méthode multipas de forme ci-dessus est alors l'ensemble de tout le &isin de $z$ ; C pour lequel tout le $w$ tels que $\backslash \; phi\; (z,\; w)=0$ satisfont le . Encore, si cet ensemble contient l'avion de gauche-moitié, la méthode multipas serait A-stable.

Exemple : La méthode de second ordre d'Adams-Bashforth

Déterminons la région de la stabilité absolue pour le $y\_\; en\; deux\; étapes\; de\; de\; méthode\; d\text{'}Adams-Bashforth\; \{n+1\}\; =\; y\_n\; +\; h\; \backslash \; est\; parti\; -\; (\backslash \; tfrac32\; f\; (t\_n,\; y\_n)\; \backslash \; tfrac12\; f\; (t\_\; \{n-1\},\; y\_\; \{n-1\})\; \backslash \; droit).$ Le polynôme caractéristique est $de\; \backslash \; phi\; (W,\; z)\; =\; w^2\; -\; (1+\; \backslash \; tfrac32z)\; W\; +\; \backslash \; tfrac12\; z\; =\; 0$ ce qui a = de $w\; de\; de\; racines\; \backslash \; tfrac12\; \backslash \; grand\; (1\; +\; \backslash \; tfrac32\; z\; \backslash \; P.\; \backslash racine\; carrée\{1\; +\; z\; +\; \backslash \; tfrac94\; z^2\}\; \backslash \; grand),$ ainsi la région de la stabilité absolue est Cette région est montrée du côté droit. Elle n'inclut pas tout le moitié-avion gauche (en fait il inclut seulement le vrai axe entre $z=-1$ et $z=0$) ainsi la méthode d'Adams-Bashforth n'est pas A-stable.

Théorie générale

Les méthodes multipas explicites peuvent ne jamais être A-stable, juste comme des méthodes explicites de Runge-Kutta. Les méthodes multipas implicites peuvent seulement être A-stable si leur ordre est tout au plus 2. Le dernier résultat est connu comme deuxième barrière de Dahlquist ; il limite l'utilité des méthodes multipas linéaires pour des équations raides. Un exemple d'une méthode A-stable de second ordre est la règle trapézoïdale mentionnée ci-dessus, qui peut également être considérée comme méthode multipas linéaire.

Voir également

Méthodes explicites et implicites

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