Équation hypergéométrique

Dans les mathématiques , l'équation hypergéométrique est une équation ordinaire (ODE) de linéaire de second ordre du dont les solutions sont données par la série hypergéométrique . Chaque ODE linéaire de second ordre avec trois points réguliers de singulier de peut être transformée en cette équation. Les solutions sont un cas spécial d'un Schwarz-Christoffel traçant à une triangle avec les arcs circulaires comme bords. Ce sont importants en raison du rôle qu'elles jouent dans la théorie des groupes de triangle de desquels l'inverse au de Klein J-invariable peut être construit. Ainsi, les solutions sont couplées à la théorie des groupes de Fuchsian de et ainsi des surfaces hyperboliques de Riemann de

Définition

L'équation hypergéométrique est

$z\; (1-z)\; \backslash \; frac\; \{d^2w\}\; \{dz^2\}\; +\; \backslash \; est\; parti\; \backslash \; droit\; \backslash \; frac\; \{dw\}\; \{DZ\}\; -\; abw\; =\; 0.$

Il a trois points singuliers réguliers : 0. La généralisation de cette équation aux points singuliers réguliers arbitraires est donnée par l'équation de Riemann de .

Solutions

Des solutions à l'équation sont établies hors du $de\; lasérie\; hypergéométrique\backslash \; ;\; \_2F\_1\; (a,\; b\; ;\; c\; ;\; z).$ généralement l'équation a deux solutions indépendantes du linéairement . On commence par définir les valeurs $de$
du $de$
du $de$

\ lambda=1-c \ mu=c-a-b \ nu=a-b.

Celles-ci sont connues comme paramètres angulaires pour les points singuliers réguliers 0.1 et le &infin ; respectivement. Fréquemment, le $denotation\backslash \; nu\_0$, le $\backslash \; nu\_1$ et le $\backslash \; nu\_\; \backslash \; infty$, respectivement, sont employés pour les paramètres angulaires. Parfois, le $des\; exposants\; \backslash \; mu\_0$, le $\backslash \; mu\_1$, le $\backslash \; mu\_z$ et le $\backslash \; mu\_\; \backslash \; infty$ sont employés, avec $de$

\ mu_0= \ frac {1} {2} (1 \ nu_0+ \ nu_1- \ nu_ \ infty) = $c-a$ \ mu_1= \ frac {1} {2} (1+ \ nu_0- \ nu_1- \ nu_ \ infty) = $\backslash \; mu\_z=\; \backslash \; frac\; b+1-c$ {1} {2} (1 \ nu_0- \ nu_1+ \ nu_ \ infty) = $\backslash \; mu\_\; \backslash \; infty=\; \backslash \; frac\; de$
d'a {1} {2} (1+ \ nu_0+ \ nu_1+ \ nu_ \ infty) = 1B

et $\backslash \; mu\_0+\; \backslash \; mu\_1+\; \backslash \; mu\_z+\; \backslash \; mu\_\; \backslash \; infty=2$.

Le cas général, où aucun des paramètres angulaires n'est les nombres entiers est donné ci-dessous. Quand un ou plusieurs de ces paramètres sont des nombres entiers, les solutions sont données dans les solutions hypergéométriques d'équation de d'article.

Autour du z =0 de point, les deux solutions indépendantes sont $de$

\ phi_0^ {(0)}(z)= \ ; _2F_1 (a, b ; c ; z)

et $de$

\ phi_0^ {(1)} (z) = z^ \ lambda \ ; _2F_1 (a+ \ lambda, b+ \ lambda ; 1+ \ lambda ; z)

Autour du z =1, un a $de$

\ phi_1^ {(0)}(z)= \ ; _2F_1 (a, b ; 1 \ MU ; 1-z)

et $de$

\ phi_1^ {(1)} (z) = ^ (1-z) \ MU \ ; _2F_1 (b+ \ MU, a+ \ MU ; 1+ \ MU ; 1-z)

Autour du =&infin du z ; on a $\backslash \; phi\_\; \backslash \; infty^\; de$

{(0)}(z) = z^ {-} d'a \ ; _2F_1 (a, a+ \ lambda ; 1+ \ NU ; z^ {- 1})

et

$\backslash \; phi\_\; \backslash \; infty^\; \{(1)\}\; (z)\; =\; z^\; \{-\}\; de\; b\; \backslash \; ;\; \_2F\_1\; (b,\; b+\; \backslash \; lambda\; ;\; 1\; \backslash \; NU\; ;\; z^\; \{-\; 1\})$

C'est l'ensemble complet de solutions. Le ensemble de s de Kummer le 'de 24 solutions canoniques peut être obtenu en s'appliquant l'une ou l'autre ou toutes les deux identités suivantes aux équations ci-dessus : $de$

\ ; _2F_1 (a, b ; c ; z)= (1-z) ^ {} de cabine \ ; _2F_1 (Ca, Cb ; c ; z)

et $de$

\ ; _2F_1 (a, b ; c ; z)= (1-z) ^ {-} d'a \ ; _2F_1 (a, Cb ; c ; z (z-1))

Coefficients de raccordement

Des paires de solutions sont rapportées entre eux par des coefficients de raccordement, correspondant à la suite analytique des solutions. Dénoter une paire de solutions comme vecteur de colonne le $\backslash \; Phi\_k\; de$

= \ sont partis (\ commencer {matrice} \ phi_k^ {(0)} \ \ \ phi_k^ {(1)} \ extrémité {matrice} \) droit

pour le k =0,1, &infin ;. Des paires sont rapportées par des matrices $de$

\ Phi_0 = \ parti (\ commencer {la matrice} \ frac {\ gamma (c) \ gamma (cabine)}{\ Gamma) (de Ca \ gamma (Cb)} \ ; et \ ; \ frac {\ gamma (c) \ gamma (a+b-c)}{\ Gamma (a) \ \ de gamma (b)} \ \ ; et \ ; \ \ \ frac {\ gamma (2-c) \ gamma (cabine)}{\ Gamma (1-a) \ gamma (1B)} \ ; et \ ; \ frac {\ gamma (2-c) \ gamma (a+b-c)}{\ Gamma) (d'a+1-c \ gamma (b+1-c)} \ extrémité {matrice} \ droit) \ Phi_1

et $de\; \backslash \; Phi\_0\; =\; \backslash \; parti\; (\backslash \; commencer\; \{la\; matrice\}\; e^\; \{-\}\; d\text{'}I\; \backslash \; pi\; a\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (c)\; \backslash \; gamma\; (b-a)\}\{\backslash \; Gamma\; (Ca)\; \backslash \; gamma\; (b)\}\; \backslash \; ;\; et\; \backslash \; ;\; e^\; \{-\}\; d\text{'}I\; \backslash \; pi\; b\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (c)\; \backslash \; gamma\; (a-b)\}\{\backslash \; \backslash \; De\; gamma\; (Cb)\; \backslash \; gamma\; (a)\}\; \backslash \; \backslash \; ;\; et\; \backslash \; ;\; \backslash \; \backslash \; e^\; \{-\; I\; \backslash \; pi\; (a+1-c)\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (2-c)\; \backslash \; gamma\; (b-a)\}\{\backslash \; Gamma)\; (de\; b+1-c\; \backslash \; gamma\; (1-a)\}\; \backslash \; ;\; et\; \backslash \; ;\; e^\; \{-\; I\; \backslash \; pi\; (b+1-c)\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; gamma\; (2-c)\; \backslash \; gamma\; (a-b)\}\{\backslash \; Gamma)\; (d\text{'}a+1-c\; \backslash \; gamma\; (1B)\}\; \backslash \; extrémité\; \{matrice\}\; \backslash \; droits)\; \backslash \; Phi\_\; \backslash \; infty$

là où &Gamma ; est la fonction gamma .

Q-forme

L'équation hypergéométrique peut être introduite dans la Q-forme $de$

\ frac {d^2u} {dz^2} +Q (z) u (z) = 0

en faisant la substitution $w=uv$ et en éliminant la limite de premier-dérivé. On trouve cela $Q=\; de$

\ frac {z^2 +z +c (2-c)}{4z^2 (1-z) ^2}

et le v est donné par la solution à

$\backslash \; frac\; \{d\}\; \{\}\; de\; la\; DZ\; \backslash \; notation\; v\; (z)\; =\; \backslash \; frac\; \{CZ\; (a+b+1)\}\; \{2z\; (1-z)\}$

La Q-forme est significative dans sa relation au dérivé de Schwarzian de .

Cartes de triangle de Schwarz

Les cartes de triangle de Schwarz de ou les s-fonctions de Schwarz de sont des rapports des paires de solutions. $s\_k\; de$

(z) = \ frac {\ phi_k^ {(1)} (z)} {\ phi_k^ {(0)}(z)}

là où le k est l'un des points 0. La notation $D\_k\; de$

, (\ lambda \ MU \ NU ; z)=s_k (z) est également parfois employé. Noter que les coefficients de raccordement deviennent les transformations de Möbius de sur les cartes de triangle.

Noter que chaque carte de triangle est le régulier au z =0,1 et &infin ; respectivement, avec
$s\_1\; du$

$s\_0\; (z)=z^\; \backslash \; lambda\; (1+\; \backslash \; \{O\}\; (z)\; mathcal)$ de ^ (de z)= (1-z) \ MU (1+ \ mathcal {O} (1-z)) et $s\_\; de\; \backslash \; infty\; (z)=z^\; \backslash \; NU\; (1+\; \backslash \; \{O\}\; (1/z))$ mathcal

Dans le cas spécial du &lambda ; , &mu ; et &nu ; vrai, avec alors les s-cartes sont les cartes isogones du haut de - demi - le plat H de aux triangles sur la sphère de Riemann , liée par les arcs circulaires. Ce qui trace est un cas spécial d'une carte de Schwarz-Christoffel de . Les points singuliers 0.1 et &infin ; sont envoyés aux sommets de triangle. Les angles de la triangle sont &pi ; &lambda ; , &pi ; &mu ; et &pi ; &nu ; respectivement.

En outre, dans le cas du $\backslash \; lambda=1/p$, du $\backslash \; mu=1/q$ et du $\backslash \; nu=1/r$ pour le p , le q , le r de nombres entiers, alors la triangle couvre de tuiles la sphère, et les s-cartes sont des fonctions inverses des fonctions d'Automorphic pour le $dugroupe\; de\; trianglede\; \backslash \; langle\; p,\; q,\; r\; \backslash \; rangle=\; \backslash \; delta\; (p,\; q,\; r).$

Groupe de Monodromy

Le monodromy d'une équation hypergéométrique décrit comment les solutions fondamentales changent une fois analytiquement continues autour des chemins dans l'avion du z qui reviennent au même point. C'est-à-dire, quand les vents de chemin autour d'une singularité de $\backslash \; ;\; \_2F\_1$, la valeur des solutions au point final différera du point de départ.

Deux solutions fondamentales de l'équation hypergéométrique sont rapportées entre eux par une transformation linéaire ; ainsi le monodromy est une cartographie (homomorphisme de groupe) :

$\backslash \; pi\_1\; (z\_0,\; \backslash \; mathbb\; \{\}\; de\; C\; \backslash \; setminus\; \backslash \; \{0.1\; \backslash \})\; \backslash \; à\; GL\; (2,\; \backslash \; mathbb\; \{C\})$

là où le $\backslash \; pi\_1$ est le groupe fondamental . En d'autres termes le monodromy est une représentation linéaire bidimensionnelle du groupe fondamental. Le groupe de Monodromy de de l'équation est l'image de cette carte, c. le groupe produit par les matrices monodromy.

Voir également

L'ODE du second degré avec quatre points singuliers réguliers peut toujours être transformée en équation de Heun de .
Groupe de triangle de
Groupe de Schottky de
Dérivé de Schwarzian de

.

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