Équation de Dirac

Dans la physique , l'équation de Dirac de est une équation d'ondes mécanique du quantum relativiste du formulée par le britannique Paul Dirac de physicien dans le 1928 et fournit une description des particules élémentaires du ½ de rotation de du , telles que les électrons compatibles aux principes de la mécanique quantique et à la théorie de la relativité spéciale . L'équation exige l'existence des antiparticules et a antidaté réellement leur découverte expérimentale, faisant la découverte du positron , l'antiparticule de l'électron, un des plus grands triomphes de la physique théorique moderne.

Formulation mathématique

L'équation de Dirac sous la forme à l'origine proposée par Dirac est :

$\backslash \; mc^2\; +\; laissé\; (\backslash \; bêta\; \backslash \; sum\_\; \{k\; =\; 1\}\; ^3\; \backslash \; p\_k\; d\text{'}alpha\_k\; \backslash ,\; c\; \backslash )\; droit\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (\backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)\; =\; I\; \backslash \; (hbar\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}\; \{\backslash \; t\; partiel\}\; \backslash \; mathbf\; \{x\},\; t)$
de où le m de est la masse de repos de l'électron, le c de
est la vitesse de la lumière , le p de
est l'opérateur de l'élan , le $de$
\ hbar est les constants du Planck réduit de , de
X et t sont l'espace et des coordonnées du temps .

Les nouveaux éléments dans cette équation sont le $des\; matrices\; 4x4\; \backslash \; alpha\_k$ et le $\backslash \; beta$, et le $de\; Wavefunction\; de\; quatre-composant\; \backslash \; psi$. Les matrices sont tout le hermitien et ont des places égales à la matrice d'identité, et elles toutes mutuellement anticommute : $\backslash \; alpha\_i\; \backslash \; alpha\_j\; de$

de
= - \, d'alpha_j \ alpha_i \, $$ \ alpha_i \ bêta = - \, bêta \ alpha_i \,

là où I et j sont distincts et gamme de 1 à 3. Ces matrices, et la forme du wavefunction, ont une signification mathématique profonde. La structure algébrique représentée par les matrices de Dirac en avait été créée 50 ans plus tôt par le anglais W. Clifford de mathématicien, qui à leur tour avait été basé sur le travail de siècle de mid-19th du allemand Hermann Grassmann de mathématicien dans son " ; Lineare Ausdehnungslehre" ; (Théorie de prolongements linéaires). Ce dernier avaient été considérés comme incompréhensibles bien-proche par la plupart de ses contemporains. L'aspect de quelque chose tellement apparemment abstrait, à une date si en retard, d'une façon physique si directe, s'élève à un des chapitres les plus remarquables dans l'histoire de la physique.

Comparaison avec l'équation de Schrödinger

L'équation de Dirac est superficiellement semblable à l'équation de Schrödinger de pour une masse libre :

$-\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; hbar^2\}\; \{2m\}\; \backslash \; nabla^2\; \backslash \; phi\; =\; I\; \backslash \; hbar\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\}\; \{\backslash \}\; partiel\; de\; t\; \backslash \; phi$

L'aile gauche représente la place de l'opérateur d'élan divisé par deux fois la masse, qui, parlant classiquement, est l'énergie cinétique. Si on veut obtenir une généralisation relativiste de cette équation, alors les dérivés de l'espace et de temps doivent entrer symétriquement, comme ils font dans la théorie de Maxwell du champ électromagnétique, qui est connu pour être relativistically invariable - c., les dérivés doivent être du le même ordre dans l'espace et le temps. Maintenant, dans la relativité, l'élan et l'énergie sont chaque partie d'un objet invariable, l'élan 4, et ils sont reliés par la relation relativistically invariable $de$

de
\ frac {E^2} {c^2} - p^2 = m^2c^2

avec m représentant maintenant Massachusetts de repos. Si nous remplaçons E et p par leurs équivalents d'opérateur dans la théorie de Schrödinger, nous obtenons une équation qui est une généralisation relativiste valide de l'équation de Schrödinger :

$(\backslash \; nabla^2\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{c^2\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\}\; \{\backslash \; t^2\; partiel\})\; \backslash \; phi\; =\; \backslash \; frac\; \{m^2c^2\}\; \{\backslash \; hbar^2\}\; \backslash \; phi$

là où on le suppose que la fonction d'onde est maintenant une grandeur scalaire relativiste. En fait le Schrödinger , qui a été bien mis au courant de la relativité, a essayé ce d'équation avant que celui qui porte son nom, mais l'ait trouvé peu convenable. Puisque le dérivé de temps est le deuxième ordre, on doit spécifier tous les deux la valeur initiale du $\backslash \; du\; partial\_t\; \backslash \; phi$ aussi bien que le $\backslash \; phi$ lui-même en résolvant l'équation. C'est typique dans la solution des problèmes de la propagation des ondes, comme dans l'électrodynamique. Cependant, en théorie de quantum, une est intéressée pas dans le mouvement réel en soi, plutôt, le spectre d'énergies de - mathématiquement, ce qui est nécessaire est un problème de valeur propre bien défini de . Comme dans l'électrodynamique, il y aura des vagues avancées qui semblent propager vers l'arrière à temps vers la source - ceux-ci peuvent être sans risque jetés comme unphysical dans l'électrodynamique, mais le pas ici , parce qu'on a besoin de tout le les solutions afin de pouvoir exprimer n'importe quelle solution comme expansion en termes de fonctions propres d'énergie et valeurs propres correspondantes.

Il y avait une objection bien plus sérieuse à augmenter - dans la théorie de Schrödinger, la densité de probabilité est indiquée par l'expression définie positive $\backslash \; rho=\; \backslash \; phi^*\; de$

de
\ phi

et son courant près

$J\; =\; -\; \backslash \; (du\; frac\; \{I\; \backslash \; hbar\}\; \{2m\}\; \backslash \; -\; de\; phi^*\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi\; \backslash \; phi\; \backslash \; nabla\; \backslash \; phi^*)$

la conservation de la densité de probabilité étant exprimé comme + de $\backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; de$

de
J \ frac {\ partiel \ rho} {\ t partiel} = 0

Dans une théorie relativiste, la forme de la densité de probabilité doit assortir cela du courant quand nous remplaçons le $\backslash \; nabla$ par le $\backslash \; partial\_t$, et pour que la conservation du courant de probabilité soit une expression relativistically invariable, doit former les 0 composants d'un vecteur 4 - ainsi nous devons avoir $de$

de
\ rho = \ (du frac {I \ hbar} {2m} \ - de phi^* \ partial_t \ phi \ phi \ partial_t \ phi^*)

Tout est maintenant parfaitement relativiste, mais le la densité de probabilité n'est pas défini positif, parce qu'on peut librement choisir les valeurs initiales du $\backslash \; phi$ et du $\backslash \; du\; partial\_t\; \backslash \; phi$. Une telle théorie n'aurait pas une interprétation physique simple et immédiate, et ainsi Schrodinger l'a abandonnée. (Bien qu'il ait été de courte durée comme équation de simple-particule, il est ressuscité en théorie des champs de quantum, où on le connaît comme équation de Klein-Gordon, et décrit des particules de spin-0.)

Le coup de Dirac

Ce qui est nécessaire, puis, est une équation qui est de premier ordre dans l'espace et le temps. On pourrait formellement prendre l'expression relativiste pour le $E\; d\text{'}énergie\; =\; le\; c\; \backslash racine\; carrée\{p^2\; +\; m^2c^2\}$, remplacer p par son équivalent d'opérateur, augmenter la racine carrée d'une série infinie d'opérateurs dérivés, a installé un problème de valeur propre, puis résout l'équation formellement par des itérations. La plupart des physiciens ont eu peu de foi dans un tel processus, même si il étaient techniquement possible.

Car on raconte, Dirac regardait fixement dans la cheminée à Cambridge, considérant ce problème, quand il a frappé sur l'idée de prendre la racine carrée de l'opérateur de vague de ce fait :

$\backslash \; nabla^2\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{c^2\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partial^2\}\; \{\backslash \; t^2\; partiel\}\; =\; (A\; \backslash \; partial\_x\; +\; B\; \backslash \; partial\_y\; +\; +\; de\; C\; \backslash \; partial\_z\; \backslash \; frac\; \{I\}\; \{c\}\; D\; \backslash \; partial\_t)\; (A\; \backslash \; partial\_x\; +\; B\; \backslash \; partial\_y\; +\; +\; de\; C\; \backslash \; partial\_z\; \backslash \; frac\; \{I\}\; \{c\}\; D\; \backslash \; partial\_t)$

Sur multiplier dehors le côté droit, nous voyons qu'afin d'obtenir toutes les croix-limites telles que le $\backslash \; partial\_x\; \backslash \; partial\_y$ pour disparaître, nous devons supposer $AB\; +\; BA\; de$

de
= 0,…

avec

de
$A^2\; =\; B^2\; =\dots \; =\; 1$

Dirac, qui juste alors avait été intensément impliqué d'établir les bases de la mécanique de Matrix du de Heisenberg , a immédiatement compris que ces conditions pourraient être remplies si A, B… sont les matrices de , avec l'implication que la fonction d'onde a les composants multiples de . Ceci a immédiatement expliqué l'aspect des fonctions d'onde de deux-composant dans la théorie phénoménologique de Pauli de la rotation , quelque chose de qui vers le haut jusque-là de eu considéré comme mystérieux, même à Pauli lui-même. Cependant, on a besoin au moins de matrices 4x4 pour installer un système avec les propriétés désirées - ainsi la fonction d'onde a eu les composants du quatre , non deux, comme dans la théorie de Pauli.

Etant donné la factorisation en termes de ces matrices, on peut maintenant noter immédiatement une équation

$(A\; \backslash \; partial\_x\; +\; B\; \backslash \; partial\_y\; +\; +\; de\; C\; \backslash \; partial\_z\; \backslash \; frac\; \{I\}\; \{c\})\; de\; D\; \backslash \; partial\_t\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; =\; \backslash \; kappa\; \backslash \; psi$

le $\backslash \; kappa$ à être déterminé. Application encore des rendements d'opérateur de matrice de chaque côté

$(\backslash \; nabla^2\; -\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{c^2\}\; \backslash \; partial\_t^2)\; \backslash \; livre\; parpouce\; carré=\; \backslash \; kappa^2\; \backslash \; psi$

À la prise du = de $\backslash \; kappa\; \backslash \; frac\; \{mètre-bougie\}\; \{\backslash \; hbar\}$ nous constatons que tous les composants du individuellement de fonction d'onde satisfont la relation relativiste d'énergie-élan. Ainsi chercher-pour l'équation dans laquelle est de premier ordre l'espace et le temps est

$(A\; \backslash \; partial\_x\; +\; B\; \backslash \; partial\_y\; +\; +\; de\; C\; \backslash \; partial\_z\; \backslash \; frac\; \{I\}\; \{c\}\; D\; \backslash \; partial\_t\; -\; \backslash )\; du\; frac\; \{mètre-bougie\}\; \{\backslash \; hbar\}\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; =\; 0$

Avec le $(A,\; B,\; C)\; =\; I\; \backslash \; =\; bêta\; \backslash \; alpha\_k$ et de $D\; \backslash \; beta$, nous obtenons l'équation de Dirac.

Comparaison avec la théorie de Pauli

La nécessité de présenter la rotation moitié-intégrale retourne expérimentalement aux résultats de l'expérience de Poupe-Gerlach de . Un faisceau des atomes est couru par un champ magnétique non homogène fort, qui coupe alors en pièces de N selon le moment angulaire intrinsèque des atomes. On l'a constaté que pour les atomes argentés, le faisceau a été dédoublé dans deux - l'état fondamental ne pourrait pas donc être intégral, parce que même si le moment angulaire intrinsèque des atomes étaient aussi petit comme possible, 1, le faisceau serait coupé en 3 parts, correspondant aux atomes à Lz = -1, 0, et +1. La conclusion est que les atomes argentés ont le moment angulaire intrinsèque net de 1/2. Le Pauli a installé une théorie qui a expliqué ceci se dédoublant en présentant une fonction d'onde de deux-composant et une limite de correction correspondante dans le hamiltonien, représentant un accouplement semiclassique de cette fonction d'onde à un champ magnétique appliqué, en tant qu'ainsi : $H\; de$

de
= \ (du frac {1} {2m} \ sigma \ cdot (- de p \ frac {e} {c} A)) ^2 + e A^0

Ici le $A^\; \backslash \; mu$ est le champ électromagnétique appliqué par , et les trois sigmas sont les matrices de Pauli de . $e$ est la charge de la particule, par exemple $e=-e\_0$ pour l'électron. Sur ajuster dehors la première limite, une interaction résiduelle avec le champ magnétique est trouvée, avec le hamiltonien habituel d'une particule chargée agissant l'un sur l'autre avec un champ appliqué :

$H\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{2m\}\; (p\; -\; \backslash \; frac\; \{e\}\; \{c\}\; A)^2\; +\; eA^0\; -\; \backslash \; frac\; \{e\; \backslash \; hbar\}\; \{2mc\}\; \backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; B$

Ce hamiltonien est maintenant une matrice 2x2, ainsi l'équation de Schrödinger basée sur elle, $H\; \backslash \; phi\; =\; I\; \backslash \; hbar\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\; \backslash \; phi\}\; de$

de
{\ t partiel}

doit employer une fonction d'onde de deux-composant. Pauli avait présenté les matrices de sigma le $\backslash \; sigma\_k\; de$

de
= \ commencent {pmatrix} 0 et 1 \ \ 1 et 0 \ extrémité {pmatrix}, \ commencent {pmatrix} 0 et - \ d'I \ I et 0 \ extrémité {pmatrix}, \ commencent {pmatrix} 1 et 0 \ \ 0 et -1 \ extrémité {pmatrix}

en tant que phénoménologie pure de - Dirac a maintenant eu un argument théorique de qui a impliqué que la rotation était de façon ou d'autre la conséquence du mariage de la théorie de quantum à la relativité.

Les matrices de Pauli partagent les mêmes propriétés comme les matrices de Dirac - elles sont toutes hermitiennes, place à 1, et anticommute. Ceci permet à on de trouver immédiatement une représentation des matrices de Dirac en termes de matrices de Pauli : le $\backslash \; alpha\_k\; de$

de
= \ commencent {pmatrix} 0 et \ sigma_k \ \ \ sigma_k et le $0\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}$ \ bêtas = \ commencent {pmatrix} 1_2 et 0 \ \ 0 et -1_2 \ extrémité {pmatrix}

L'équation de Dirac maintenant peut être écrite en tant que spineurs d'un deux-composant d'accouplement d'équation :

$\backslash \; commencent\; \{pmatrix\}\; mc^2\; et\; c\; \backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; p\; \backslash \; \backslash \; c\; \backslash \; sigma\; \backslash \; cdot\; p\; et\; -\; mc^2\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; \backslash \; commencent\; \{pmatrix\}\; \backslash \; phi\_+\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; phi\_-\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; =\; I\; \backslash \; hbar\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\}\; \{\backslash \; t\; partiel\}\; \backslash \; commencent\; \{\}\; de\; pmatrix\; \backslash \; phi\_+\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; phi\_-\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}$

Noter que sur la diagonale nous trouvons l'énergie de repos de la particule. Si nous placions l'élan à zéro - c., apporter la particule pour se reposer - puis nous avons

$i\; \backslash \; hbar\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; partiel\}\; \{\backslash \; t\; partiel\}\; \backslash \; commencent\; \{pmatrix\}\; \backslash \; phi\_+\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; phi\_-\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; =\; \backslash \; commencent\; \{pmatrix\}\; mc^2\; et\; 0\; \backslash \; \backslash \; 0\; et\; -\; mc^2\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}\; \backslash \; commencent\; \{\}\; de\; pmatrix\; \backslash \; phi\_+\; \backslash \; \backslash \; \backslash \; phi\_-\; \backslash \; extrémité\; \{pmatrix\}$

Les équations pour les différents deux-spineurs sont maintenant découplées, et nous voyons que le " ; top" ; et " ; bottom" ; les deux-spineurs sont individuellement des fonctions propres de l'énergie avec des valeurs propres égales au plus et sans l'énergie de repos, respectivement. L'aspect de cette valeur propre négative de l'énergie de est complètement compatible à la relativité.

Il devrait fortement souligner que cette séparation dans l'armature de repos est le pas par rapport invariable - le " ; bottom" ; le deux-spineur ne représente pas l'antimatière en tant que telle en général. Le spineur entier de quatre-composant représente un irréductible entier - généralement les états auront un mélange de positif et de composants négatifs d'énergie de . Si nous couplons l'équation de Dirac à un champ électromagnétique, comme dans la théorie de Pauli, alors les pièces positives et négatives d'énergie sera mélangé ensemble, même si ils sont à l'origine découplés. Le problème principal de Dirac était de trouver une interprétation cohérente de ce mélange. Car nous verrons ci-dessous, il introduit un nouveau phénomène dans la physique - matière/création et annihilation d'antimatière.

Forme de covariant et invariance relativiste

La forme de covariant de l'équation de Dirac est (employant la convention d'addition d'Einstein) $i\; de$

de
\ hbar \ gamma^ \ MU \ partial_ \ MU \ livre par pouce carré - m c \ livre par pouce carré = 0 \,

Dans ce qui précède, le $\backslash \; gamma^0$ est hermitien, et le $\backslash \; gamma^k$ sont anti-Hermitien, avec la définition $de$

de
\ gamma^0 = de $\backslash \; gamma^k\; de$
= \ beta \ gamma^0 \ alpha_k

Ceci peut être récapitulé using le Minkowski métrique sur l'espace-temps sous la forme $de$

de
\ {\, de gamma^ \ MU \ gamma^ \ NU \} = g^ 2 {\ MU \ NU}

là où l'expression de parenthèse {a, b} signifie ab + Ba, l'anticommutator. Ce sont les relations de définition d'une algèbre de Clifford de au-dessus d'un espace pseudo-orthogonal de 4 d avec la signature métrique (+---). Noter qu'on peut également utiliser la forme métrique (- +++) en multipliant tous les gamma par un facteur de $i$. À un niveau élémentaire, le choix peut être considéré comme conventionnel, mais il y a des raisons spécifiques de préférer l'ancien, mathématiquement et de convenance dans le calcul et l'interprétation physique. Dans la littérature, on trouve presque toujours la convention (+---) en service. L'algèbre de Clifford de détail utilisée dans l'équation de Dirac est connue comme algèbre de Dirac de .

L'équation de Dirac peut être interprétée sous vide comme expression de la valeur propre , où la masse de repos est proportionnelle à une valeur propre de l'opérateur d'élan 4, la proportion étant la vitesse de la lumière :

$P\_\; \{op\}\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; =\; mètre-bougie\; \backslash \; psi$

Dans la pratique, de physiciens unités de mesure d'utilisation souvent tels que le $\backslash \; hbar$ et le c sont égaux à 1, connu comme " ; natural" ; unités. L'équation est alors multipliée à travers par $-i$ et prend la forme simple

$(\backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; MU\; +\; im)\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; =\; 0$

Un théorème de principe fondamental déclare que si deux ensembles distincts de matrices sont indiqués que tous les deux satisfont les relations de Clifford, alors elles sont reliées entre eux par une transformation de similitude :

$\backslash \; gamma^\; \{\backslash \; MU\; \backslash \; perfection\}\; =\; S^\; \{-\; 1\}\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; S$

Si en outre les matrices sont tout le unitaire, de même que l'ensemble de Dirac, alors S lui-même est unitaire ; $\backslash \; gamma^\; de$

de
{\ MU \ perfection} = U^ \ poignard \ gamma^ \ MU U

La transformation U est unique jusqu'à un facteur multiplicatif de valeur 1 absolue. Maintenant imaginons une transformation de Lorentz pour avoir été exécuté sur les opérateurs dérivés, qui forment un vecteur de covariant. Pour que le $d\text{'}opérateur\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; mu$ demeurent invariables, les gamma doivent transformer parmi eux-mêmes comme vecteur contravariant en ce qui concerne leur index d'espace-temps. Ces nouveaux gamma se veulent satisfont les relations de Clifford, en raison de l'orthogonalité de la transformation de Lorentz. Par le théorème fondamental, nous pouvons remplacer le nouvel ensemble par le vieil ensemble sujet à une transformation unitaire. Dans la nouvelle armature, se rappelant que la masse de repos est une grandeur scalaire relativiste, l'équation de Dirac prendra alors la forme

$(U^\; \backslash \; poignard\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; U\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; mu^\; \backslash \; perfection\; +\; im)\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; (x^\; \backslash \; perfection,\; t^\; \backslash \; perfection)\; =$ U^\; du$$
0 \ poignard (\ gamma^ \ MU \ partial_ \ mu^ \ perfection + im) U \ livre par pouce carré (x^ \ perfection, t^ \ perfection) = 0

Si nous définissons maintenant le spineur transformé $\backslash \; psi^\; \backslash \; perfection\; =\; U\; \backslash \; psi$ de

de

alors nous avons l'équation transformée de Dirac

$(\backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; mu^\; \backslash \; perfection\; +\; im)\; \backslash \; psi^\; \backslash \; perfection\; (x^\; \backslash \; perfection,\; t^\; \backslash \; perfection)\; =\; 0$

Ainsi, une fois que nous arrangeons sur une représentation unitaire des gamma, c'est finale étant donné que nous transformions le spineur accordant la transformation unitaire qui correspond à la transformation donnée de Lorentz.

Ces considérations indiquent l'origine des gamma dans la géométrie de , écoutant de nouveau à la motivation originale de Grassmann - elles représentent une base fixe des vecteurs d'unité dans l'espace-temps. De même, les produits des gamma tels que le $\backslash \; gamma\_\; \backslash \; MU\; \backslash \; gamma\_\; \backslash \; nu$ représentent les éléments extérieurs orientés par , et ainsi de suite. À cet effet, nous pouvons trouver la forme l'élément de volume unitaire sur l'espace-temps en termes de gamma comme suit. Par définition, il est = de $V\; de$

de
\ frac {1} {4 !}\ epsilon_ {\ MU \ NU \ alpha \ bêta} \ gamma^ \ MU \ gamma^ \ NU \ gamma^ \ alpha \ gamma^ \ beta

Pour que ce soit un invariable, le symbole epsilon doit être un tenseur, et ainsi doit contenir un facteur du $\backslash \; racine\; carrée\; \{g\}$, où g est la cause déterminante du tenseur métrique. Puisque c'est négatif, ce facteur est le imaginaire. Ainsi $V\; de$

de
= I \ gamma^0 \ gamma^1 \ gamma^2 \ gamma^3

Cette matrice est donnée le $de\; symbole\; spécial\; \backslash \; gamma\_5$, dû à son importance quand on considère des transformations inexactes d'espace-temps, c., ceux qui changent l'orientation des vecteurs de base. Dans la représentation que nous employons pour les gamma, il est le $de$

de
\ gamma_5 = \ commencent {pmatrix} 0 et 1 \ \ 1 et 0 \ extrémité {pmatrix}

Noter également qui pourrait en tant que facilement avoir pris la racine carrée négative de la cause déterminante de g - les quantités bien choisies à une première convention de dominance manuelle.

Équation d'Adjoint et courant de Dirac

En définissant le $de\; de$
de spineur d'Adjoint \ = de barre {\ livre par pouce carré} \ psi^ \ poignard \ gamma^0 et notant que ^ de $de\; de$
(\ gamma^ \ MU) \ poignard \ gamma^0 = \ gamma^0 \ gamma^ \ mu, nous obtenons, en prenant le conjugé hermitien de l'équation de Dirac et en se multipliant de la droite par le $\backslash \; gamma^0$, l'équation d'adjoint : $\backslash \; barre\; de\; de$
{\ livre par pouce carré} (\ gamma^ \ MU \ partial_ \ MU - im) = 0 \,

là où on comprend que le $\backslash \; partial\_\; \backslash \; mu$ agissent vers la gauche. La multiplication de l'équation de Dirac par le $\backslash \; barre\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}$ de la gauche, et de l'équation d'adjoint par le $\backslash \; psi$ du droit, et de s'ajouter, produit la loi de la conservation du courant de Dirac sous la forme de covariant : $de$

de
\ partial_ \ MU \ parti (\ barre} {\ livre par pouce carré \ gamma^ \ MU \ livre par pouce carré \ droit) = 0

Maintenant nous voyons que le grand avantage de l'équation de premier ordre au-dessus de l'un Schrödinger avait essayé - c'est la densité de courant conservée de probabilité exigée par l'invariance relativiste, seulement maintenant son 0 composants sont le défini positif :

$J^0\; =\; \backslash \; barre\}\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; \backslash \; gamma^0\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; =\; \backslash \; psi^\; \backslash \; poignard\; \backslash \; psi$

L'équation de Dirac et son adjoint sont les équations d'Euler-Lagrange de de l'intégrale d'action invariable de 4 d = de $S\; de$

de
\ international L d^4 \ omega

là où le L scalaire est le Dirac lagrangien

$L\; =\; mètre-bougie\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; -\; \{I\; \backslash \; hbar\; \backslash \; plus\; de\; 2\}\; (\backslash \; barre\}\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; (\backslash \; partial\_\; \backslash \; MU\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré)\; -\; (\backslash \; partial\_\; \backslash )\; de\; MU\; \backslash \; barre\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré)$

et aux fins de la variation, le $\backslash \; psi$ et le $\backslash \; barre\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}$ sont considérés comme les champs indépendants. L'invariance relativiste suit également immédiatement du principe de variation.

Accouplement à un champ électromagnétique

Pour considérer les problèmes dans lesquels un champ électromagnétique appliqué agit l'un sur l'autre avec les particules a décrit par l'équation de Dirac, une emploie le principe de correspondance , et assure dans la théorie l'expression correspondante de la mécanique classique, par lequel tout le élan d'une particule chargée dans un domaine externe soit modifié en tant qu'ainsi : $p\; de$

de
\ - du rightarrow p \ frac {e} {c} A

Dans les unités normales, l'équation de Dirac prend alors la forme

$(\backslash )\; im\; \backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; =\; 0$ de gamma^ \ MU (\ partial_ \ MU + ieA_ \ MU) +

Cette validité de cette prescription est confirmée expérimentalement avec la grande précision. On le connaît comme accouplement minimal de , et est trouvé dans toute la physique de particules. En effet, alors que l'introduction du champ électromagnétique est de cette façon essentiellement phénoménologique dans ce contexte, il se lève à un principe fondamental dans la théorie des champs de Quantum .

Maintenant comme cité ci-dessus, la transformation U est définie seulement jusqu'à un $e^\; defacteur\; de\; phase\{I\; \backslash \; thêta\}$. En outre, la chose observable fondamentale de la théorie de Dirac, le courant, est inchangée si nous multiplions la fonction d'onde par une phase arbitraire. Nous pouvons exploiter ceci pour obtenir la forme de l'interaction mutuelle d'une particule de Dirac et du champ électromagnétique, par opposition à considérer simplement une particule de Dirac dans un domaine appliqué, en assumant ce facteur de phase arbitraire pour dépendre sans interruption position de fonctionnement :

$\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; psi^\; \backslash \; perfection\; =\; e^\; \{I\; \backslash \; thêta\; (x,\; t)\}\; \backslash \; psi$

Notification maintenant que

$\backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; (\backslash \; partial\_\; \backslash \; MU\; +\; ieA\_\; \backslash \; MU)\; \backslash \; psi^\; \backslash \; perfection\; =\; e^\; \{I\; \backslash \; thêta\}\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; (\backslash \; partial\_\; \backslash \; MU\; +\; IE\; (A\_\; \backslash \; MU\; +\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; d\text{'}e\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; MU\; \backslash \; thêta))\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; =\; e^\; \{I\; \backslash \; thêta\}\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; (\backslash \; partial\_\; \backslash )\; de\; MU\; +\; d\text{'}ieA^\; \backslash \; prime\_\; \backslash \; MU\; \backslash \; psi$

Afin de préserver l'accouplement minimal, nous devons ajouter au potentiel une limite proportionnelle au gradient de la phase. Mais nous savons de l'électrodynamique cette ceci laisse le champ électromagnétique lui-même invariable. La valeur de la phase est arbitraire, mais le pas comment elle change d'un endroit à l'autre. C'est le point de départ de la théorie de mesure de , qui est le grand principe sur lequel la théorie des champs de quantum est basée. Le plus simple une telle théorie, et celui le plus complètement compris, est connu en tant qu'électrodynamique de Quantum de . Les équations de la théorie des champs ont ainsi l'invariance sous les deux transformations de Lorentz et mesurent des transformations.

Équation incurvée de Dirac d'espace-temps

L'équation de Dirac peut être écrite dans l'espace-temps incurvé par using des champs de Vierbein . Vierbeins décrivent une armature locale qui permet de définir les matrices de Dirac de à chaque point. Le contractant ces matrices avec des vierbeins donnent les bonnes propriétés de transformation. Cette équation de Dirac de manière prend la forme suivante dans l'espace-temps incurvé : $de$

\ e_a^ de gamma^a \ MU D_ \ MU \ livre par pouce carré + I m \ livre par pouce carré = 0

Ici $e\_a^\; \backslash \; mu$is Vierbein et $D\_\; \backslash \; mu$ est covariant dérivé pour fermion champ, défini comme suit

$D\_\; \backslash \; MU\; =\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; MU\; -\; \backslash \; frac\; \{I\}\; \{4\}\; \backslash \; eta\_\; \{C.\}\; \backslash \; omega^c\_\; \{\}\; de\; b\; \backslash \; de\; MU\; \backslash \; sigma^\; \{ab\}$

là où le $\backslash \; eta\_\; \{C.\}$ est le Lorentzian métrique, le $\backslash \; sigma^\; \{ab\}$ est le collecteur des matrices de Dirac : = de $\backslash \; sigma^\; de\; \{ab\}\; \backslash \; frac\; \{I\}\; \{2\}\; \backslash \; a\; laissé$

et le $\backslash \; omega^c\_\; \{b\; \backslash \; MU\}$ est le raccordement de rotation de : $de\; \backslash \; omega^c\_\; \{b\; \backslash \; MU\}\; =\; e^c\_\; \backslash \; e^\; de\; NU\; \backslash \; partial\_\; \backslash \; MU\; \backslash \; nu\_b\; +\; e^\; \backslash \; sigma\_b\; \backslash \; Gamma^\; \backslash \; nu\_\; de\; l\text{'}e^c\_\; \backslash \; NU\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; MU\}$

là où le $\backslash \; Gamma^\; \backslash \; nu\_\; \{\backslash \; sigma\; \backslash \; MU\}$ est le symbole de Christoffel de . Noter cela ici, les lettres latines dénotent le " ; Lorentzian" ; les indeces et le Grec ceux dénotent le " ; Riemannian" ; index.

Interprétation physique

La théorie de Dirac, tout en fournissant une richesse d'information qui est exactement confirmée par des expériences, néanmoins présente un nouveau paradigme physique qui apparaît d'abord difficile à interpréter et même paradoxal. Certaines de ces issues d'interprétation doivent être considérées comme des questions ouvertes. Ici nous verrons comment la théorie de Dirac a brillamment répondu que certaines des issues en suspens dans la physique alors elle a été proposée, tout en posant d'autres qui sont toujours le sujet de la discussion.

Identification des choses observables

La question physique critique dans une théorie de quantum est - quelles sont les quantités physiquement observables définies par la théorie ? Selon des principes généraux, de telles quantités sont définies par les opérateurs hermitiens qui agissent sur l'espace de Hilbert des états possibles d'un système. Les valeurs propres de ces opérateurs sont alors les résultats possibles de mesurer la quantité physique correspondante. Dans la théorie de Schrödinger, le plus simple un tel objet est le hamiltonien global, qui représente toute l'énergie du système. Si nous souhaitons maintenir cette interprétation sur passer à la théorie de Dirac, nous devons prendre le hamiltonien pour être

$H\; =\; \backslash \; gamma^0\; \backslash \; parti\; (mc^2\; +\; c\; \backslash \; sum\_\; \{k\; =\; 1\}\; ^3\; \backslash \; gamma^k\; ()\; de\; p\_k-\; \backslash \; A\_k\; de\; frac\; \{e\}\; \{c\}\; \backslash ,\; c\; \backslash \; droit)\; +\; eA^0$

Ceci semble prometteur, parce que nous voyons par inspection l'énergie de repos de la particule et, au cas où $A=0$, l'énergie d'une charge placée dans un potentiel électrique $eA^0$. Que diriez-vous de la limite impliquant le potentiel de vecteur ? Dans l'électrodynamique classique, l'énergie d'une charge se déplaçant un potentiel appliqué est $H\; de$

de
= c \ racine carrée {(- de p \ frac {e} {c} A)^2 + m^2c^2} + eA^0

Ainsi le Dirac hamiltonien est le fondamentalement distingué de ses contre-parties classiques, et nous devons faire grande attention pour identifier correctement ce qui est une chose observable dans cette théorie. Une grande partie du comportement paradoxal apparent implicite par l'équation de Dirac s'élève à une identification erronée de ces choses observables. Maintenant décrivons un tel effet. (suite)

Histoire

Depuis que l'équation de Dirac a été à l'origine inventée pour décrire l'électron, nous parlerons généralement du " ; electrons" ; en cet article. L'équation s'applique également aux Quarks qui sont également les particules élémentaires de ½ de rotation. Une équation modifiée de Dirac peut être employée pour décrire approximativement les protons et les neutrons qui ne sont pas les particules élémentaires (ils se composent des quarks), mais pour avoir une rotation nette de ½. Une autre modification de l'équation de Dirac, appelée l'équation de Majorana de , est pensée pour décrire les Neutrinos - tourner également les particules de ½.

L'équation de Dirac décrit les amplitudes de probabilité de pour un électron simple du . C'est une théorie de simple-particule ; en d'autres termes, elle n'explique pas la création et la destruction des particules. Elle donne une bonne prévision du moment magnétique de l'électron et explique une grande partie de la structure fine observée dans les raies spectrales atomique du qu'elle explique également la rotation de l'électron. Deux des quatre solutions de l'équation correspondent aux deux états de spin de l'électron. Les deux autres solutions font la prévision particulière que là existent un ensemble infini d'états de quantum dans lesquels l'électron possède l'énergie négative . Ce résultat étrange a mené Dirac prévoir, par l'intermédiaire d'une hypothèse remarquable connue sous le nom de " ; théorie de trou, " ; l'existence des particules se comportant comme les électrons positively-charged. Dirac a pensé d'abord ces particules pourrait être des protons. Il a été chagriné quand la prévision stricte de son équation (qui spécifie réellement des particules de la même masse que l'électron) a été vérifiée par la découverte du positron dans le 1932 . Une fois demandé plus tard pourquoi il n'avait pas réellement hardiment prévu pourtant le positron inconnu avec sa masse correcte, Dirac a répondu au " ; Poltronnerie pure ! " ; Il a partagé le prix Nobel de toute façon, en 1933.

En dépit de ces succès, la théorie de Dirac est fêlée par sa négligence de la possibilité de créer et de détruire les particules, une des conséquences de base de la relativité. Cette difficulté est résolue en la reformulant comme théorie des champs de Quantum . Ajouter un champ électromagnétique à quantification à cette théorie mène à la théorie de l'électrodynamique (QED) de Quantum de . D'ailleurs l'équation ne peut pas entièrement expliquer des particules d'énergie négative mais est limitée aux particules positives d'énergie.

Une équation semblable pour des particules de la rotation 3/2 s'appelle l'équation de Rarita-Schwinger de .

Théorie de trou

Les solutions négatives du E trouvées dans la section précédente sont problématiques, parce que on l'a supposé que la particule a une énergie positive. Parler mathématiquement, cependant, semble là n'être aucune raison de nous de rejeter les solutions de négatif-énergie. Puisqu'elles existent, nous ne pouvons pas simplement les ignorer, parce que une fois que nous incluons l'interaction entre l'électron et le champ électromagnétique, n'importe quel électron placé dans un eigenstate de positif-énergie se délabrerait dans des eigenstates de négatif-énergie d'énergie successivement inférieure en émettant l'énergie excessive sous forme de photons que les vrais électrons évidemment ne se comportent pas de cette façon.

Pour faire face à ce problème, Dirac a présenté l'hypothèse, connue sous le nom de théorie de trou de , que le vide est l'état de quantum de beaucoup-corps dans lequel tous les eigenstates d'électron de négatif-énergie sont occupés. Cette description du vide comme " ; sea" ; des électrons s'appelle la mer de Dirac de . Puisque le principe d'exclusion de Pauli interdit des électrons d'occuper le même état, n'importe quel électron additionnel serait forcé pour occuper un eigenstate de positif-énergie, et des électrons de positif-énergie seraient interdits de la décomposition dans des eigenstates de négatif-énergie.

Encore de Dirac raison pour laquelle si les eigenstates de négatif-énergie sont incomplètement remplis, chaque &ndash inoccupé d'eigenstate ; a appelé un &ndash du trou ; se comporterait comme la particule chargée d'a franchement -. Le trou possède une énergie positive du , puisque de l'énergie est exigée pour créer un particle&ndash ; paires de trou du vide. Comme remarquable ci-dessus, Dirac a au commencement pensé que le trou pourrait être le proton, mais le Hermann Weyl a précisé que le trou devrait se comporter comme si il a eu la même masse qu'un électron, tandis que le proton est plus de 1800 fois plus lourd. Le trou a été par la suite identifié comme positron , expérimentalement découvert par le Karl Anderson dans le 1932 .

Il n'est pas entièrement satisfaisant de décrire le " ; vacuum" ; using une mer infinie des électrons de négatif-énergie. Les contributions infiniment négatives de la mer des électrons de négatif-énergie doit être décommandées par un " positif infini ; bare" ; de l'énergie et la contribution à la densité et à venir courant de charge de la mer des électrons de négatif-énergie est exactement décommandée par un " positif infini ; Jellium " fond de sorte que la densité nette de charge électrique du vide soit zéro. Dans la théorie des champs de Quantum , une transformation de Bogoliubov de sur la création et les opérateurs d'annihilation (transformant un état occupé d'électron de négatif-énergie en état positif inoccupé de positron d'énergie et état inoccupé d'électron de négatif-énergie dans un état positif occupé de positron d'énergie) nous permet de dévier le formalisme de mer de Dirac quoique, formellement, il soit équivalent à lui.

Dans certaines applications de a condensé la physique de matière, cependant, les concepts fondamentaux du " ; theory" de trou ; être valide. La mer des électrons de conduction de dans un conducteur électrique , appelée une mer de Fermi de , contient des électrons avec des énergies jusqu'au potentiel chimique du système. Un état non rempli en mer de Fermi se comporte comme un électron positively-charged, bien qu'il désigné sous le nom d'un " ; hole" ; plutôt qu'un " ; positron" ;. La charge négative de la mer de Fermi est équilibrée par le trellis ionique positively-charged du matériel.

Bilinears de Dirac

Il y a cinq limites bilinéaires (neutres) différentes de Dirac n'impliquant aucun dérivé :

(S) calar : $\backslash \; barre\}\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; \backslash \; psi$ (grandeur scalaire, P-égales)
(P) seudoscalar : $\backslash \; barre\}\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; \backslash \; gamma^5\; \backslash \; psi$ (grandeur scalaire, P-impaires)
Ector (V) : $\backslash \; barre\}\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; \backslash \; psi$ (vecteur, P-égaux)
(A) xial : $\backslash \; barre\}\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\; \backslash \; gamma^\; \backslash \; MU\; \backslash \; gamma^5\; \backslash \; psi$ (vecteur, P-impairs)
Ensor (T) : $\backslash \; barre\; \{\backslash \; livre\; par\; pouce\; carré\}\; \backslash \; sigma^\; \{\backslash \}\; de\; MU\; \backslash \; du\; NU\; \backslash \; psi$ (tenseur, P-égaux antisymmétriques),

là où = de $\backslash \; sigma^\; \{\backslash \; MU\; \backslash \; NU\}\; \backslash \; frac\; \{I\}\; \{2\}\; \backslash \; a\; laissé$ et $\backslash \; gamma^\; \{5\}\; =\; \backslash \; 5\}\; =\; de\; gamma\_\; \{\backslash \; frac\; \{I\}\; \{4\; !\}\backslash \; epsilon\_\; \{\backslash \; MU\; \backslash \; NU\; \backslash \; rho\; \backslash \; lambda\}\; \backslash \; gamma^\; \{\backslash \; MU\}\; \backslash \; gamma^\; \{\backslash \; NU\}\; \backslash \; gamma^\; \{\backslash \; rho\}\; \backslash \; gamma^\; \{\backslash \; lambda\}\; =i\; \backslash \; gamma^\; \{0\}\; \backslash \; gamma^\; \{1\}\; \backslash \; gamma^\; \{2\}\; \backslash \; gamma^\; \{3\}$.

Une limite de masse de Dirac est un accouplement de S. Un accouplement de Yukawa peut être S ou P. L'accouplement électromagnétique est V. Les interactions faibles sont V-A.

Voir également

équation de Breit
Équation de Klein-Gordon de
Électrodynamique de Quantum de
Équation de Rarita-Schwinger de
Damier de Feynman de
Justification théorique et expérimentale de pour l'équation de Schrödinger

.

Random links:

Fredonia, le Dakota du Nord | Myocarde | Pollio | L'Islam en Corée | L'album de Warner Bros. | Ecuación_de_Dirac

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