Équation d\'ondes

L'équation d'ondes de est une équation différentielle partielle de linéaire de second ordre important qui décrit la propagation d'une série de vagues tel que des ondes du sonore , que léger ondule et l'eau ondule. Elle surgit dans les domaines tels que les acoustiques , l'electromagnetics , et les dynamiques des fluides . Historiquement, le problème d'une corde vibrante de ce type d'un instrument musical a été étudié par le d'Alembert de Jean le Rond de , le Leonhard Euler , le Daniel Bernoulli , et le Joseph-Louis Lagrange .

Introduction

L'équation d'ondes est l'exemple prototypique d'une équation différentielle partielle hyperbolique . Sous sa forme plus simple, l'équation d'ondes se rapporte à un scalaire u de fonction du qui satisfait : $de$

{\ partial^2 u \ au-dessus de \ t^2 partiel} = c^2 \ nabla^2 u,

là où le $\backslash \; nabla^2$ est le Laplacian et où le c est un fixe constant égal à la vitesse de propagation de la vague. Pour une onde sonore en air à cette constante 20°C est environ 343 m/s (voir la vitesse de du bruit ). Pour la vibration de d'une corde la vitesse peut varier considérablement, selon la densité linéaire de la corde et la tension là-dessus. Pendant un ressort en spirale (un furtif) elle peut être aussi lente comme mètre par seconde. Des équations plus réalistes pour des vagues tiennent compte de la vitesse de la propagation des ondes pour varier avec la fréquence de la vague, un phénomène connu sous le nom de dispersion . En ce cas, le c doit être remplacé par la vitesse de phase : = de $v\_\; \backslash \; mathrm\; de\; \{p\}\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; Omega\}\; \{k\}.$ Une autre correction commune est que, dans les systèmes réalistes, la vitesse peut également dépendre de l'amplitude de la vague, menant à une équation d'ondes non linéaire : $de$

{\ partial^2 u \ au-dessus de \ t^2 partiel} = c (u)^2 \ nabla^2 u

Noter également qu'une vague peut être superposée sur un autre mouvement (par exemple propagation saine dans un milieu mobile comme un écoulement de gaz). Dans ce cas le scalaire u contiendra un facteur (qui de mach de est positif pour la vague se déplaçant le long de l'écoulement et du négatif pour la vague reflétée).

L'équation d'onde élastique dans trois dimensions décrit la propagation des vagues dans un milieu élastique du homogène isotrope du du . La plupart des matériaux pleins sont élastiques, ainsi cette équation décrit de tels phénomènes comme les ondes sismiques dans la terre et les vagues ultrasoniques du employées pour détecter des pailles en matériaux. Tandis que linéaire, cette équation a une forme plus complexe que les équations données ci-dessus, car elle doit expliquer le mouvement longitudinal et transversal : $\backslash \; rho\; de$

{\ ddot {\ "BOLD" {u}}} = \ "BOLD" {f} + (\ lambda + 2 \ MU) \ - de nabla (\ nabla \ cdot \ "BOLD" {u}) \ MU \ nabla \ périodes (\ nabla \ périodes \ "BOLD" {u})

là où :
le $de$

\ lambda et le $\backslash \; mu$ sont les soi-disant paramètres de Lamé de décrivant les propriétés élastiques du milieu,
le $\backslash \; rho$ est densité,
le $\backslash \; \{f\}$ "BOLD" est la fonction de source (la force d'entraînement),
et le $\backslash \; \{u\}$ "BOLD" est déplacement. Noter que dans cette équation, la force et le déplacement sont des quantités du vecteur . Ainsi, cette équation est parfois connue comme équation d'ondes de vecteur.

Des variations de l'équation d'ondes sont également trouvées dans la mécanique quantique De et la relativité générale .

Équation d'ondes scalaire dans une dimension de l'espace

Dérivation de l'équation d'ondes

L'équation d'ondes dans le cas unidimensionnel peut être dérivée de la façon suivante : Imaginer un choix de petits poids de de masse m relié ensemble avec les ressorts (ou le Slinkies de h de longueur. Les ressorts ont une rigidité du k :
de

Ici u (x) mesure la distance de l'équilibre de la masse située au X . Les forces exercées sur la masse $m$ à l'endroit $x+h$ sont : =m de $F\_\; de\; \{\backslash \; mathit\; \{Newton\}\}\; \backslash \; cdot\; a\; (t)=m\; \backslash \; cdot\; partial^2\; \backslash \; au-dessus\; de\; \backslash \; t^2\; partiel\}\; u\; (x+h,\; t$ $F\_\; de$

\ mathit {Hooke} = F_ {x+2h} + F_x = k \ parti {u (x+2h, t) - u (x+h, t)} \ droit + k - u (x+h, t)

L'équation du mouvement pour le poids au x+h d'endroit est donnée en égalisant ces deux forces : $m\; de$

{\ partial^2u (x+h, t) \ au-dessus de \ t^2 partiel} = k

là où la dépendence de temps du u ( X ) a été rendue explicite.

Si le choix de poids se compose des poids du N espacés même au-dessus du L de longueur = h du N du M de la masse totale = m du N , et de toute la rigidité du K de rangée = k / N nous pouvons écrire l'équation ci-dessus comme : $de$

{\ partial^2u (x+h, t) \ au-dessus de \ t^2 partiel} = {KL^2 M} {u (x+2h, t) - 2u (x+h, t)+u (x, t) \ au-dessus de h^2}

Prenant le $N\; \backslash \; rightarrow\; \backslash \; l\text{'}infty\; de\; limite,\; h\; \backslash \; rightarrow\; 0$ (et douceur arrogante) un obtient : $de$

{\ partial^2 u (x, t) \ au-dessus de \ t^2 partiel} = {KL^2 \ au-dessus de M} {\ partial^2 u (x, t) \ au-dessus de \ x^2 partiel}

( KL²) / M est à angle droit de la vitesse de propagation dans ce cas particulier.

Solution du problème de valeur initiale

La solution générale à l'équation d'ondes scalaire unidimensionnelle $de$

{\ partial^2 u \ au-dessus de \ t^2 partiel} = c^2 {\ partial^2 u \ au-dessus de \ x^2 partiel}

a été dérivé par le d'Alembert . L'équation d'ondes peut être écrite sous la forme de facteur le $de$

\ est parti \ frac {\ partie} {\ partie t} - c \ frac {\ partie} {\ partie X} \ droit \ à gauche \ frac {\ partie} {\ partie t} + c \ frac {\ partie} {\ partie X} \ droit u = 0. \,

En conséquence, si le F et le G sont des fonctions arbitraires, puis tout somme de forme

$u\; (x,\; t)\; =\; F\; (x-ct)\; +\; G)\; (de\; x+ct\; \backslash ,$

satisfera l'équation d'ondes. Les deux limites sont des vagues de déplacement : n'importe quel point sur la forme de vague indiquée par un argument spécifique pour le F ou le G se déplacera avec le de vitesse c dans le vers l'avant ou vers l'arrière la direction : expédie pour le F et vers l'arrière pour le G . Ces fonctions peuvent être déterminées pour remplir des conditions initiales arbitraires : =f du $u\; de$

(x, 0) (x) \, =g de $u\_t$ (x, 0) (x) \,

Le résultat est la formule de D'Alembert de : $u\; de$

(x, t) = \ frac {f (x-ct) + f (x+ct)}{2} + \ frac {1} {2c} \ ^ de l'int_ {x-ct} {x+ct} g ds

Dans le sens classique si $f\; (x)\; \backslash \; dans\; C^k$ et $g\; (x)\; \backslash \; dans$ u\; de\; C^\; \{k-1\}$puis\; (t,\; x)\; \backslash \; dans\; C^k$. Cependant, le F de formes d'onde et le G peuvent également être des fonctions généralisées, telles que la fonction delta. Dans ce cas, la solution peut être interprétée comme impulsion qui voyage vers le droit ou la gauche.

L'équation d'ondes de base est une équation linéaire qui signifie que l'amplitude de deux vagues agissant l'un sur l'autre est simplement la somme des vagues. Ceci signifie également qu'un comportement d'une vague peut être analysé en divisant vers le haut la vague en composants. La transformée de Fourier divise vers le haut une vague en composants sinusoïdaux et est utile pour analyser l'équation d'ondes.

Équation d'ondes scalaire dans trois dimensions de l'espace

La solution du problème d'initial-valeur pour l'équation d'ondes dans trois dimensions de l'espace peut être obtenue à partir de la solution pour une onde sphérique. Ce résultat peut alors être employé pour obtenir la solution dans deux dimensions de l'espace.

Ondes sphériques

L'équation d'ondes est inchangée sous des rotations des coordonnées spatiales, et donc on peut compter trouver les solutions qui dépendent seulement de la distance radiale d'un point donné. De telles solutions doivent satisfaire u_ de $de$

{TTT} - c^2 \ (u_ {rr} + \ u_r de frac {2} {r} \ droit) =0 laissé. \,

Cette équation peut être récrite As _ du $de$

(RU) {TTT} - _ c^2 (RU) {rr} =0 ; \,

le RU de quantité satisfait l'équation d'ondes unidimensionnelle. Par conséquent il y a des solutions sous la forme $u\; (t\; de$

, r) = \ frac {1} {r} F (groupement tactique) + \, du frac {1} {r} G (r+ct) \,

là où le F et le G sont des fonctions arbitraires. Chaque limite peut être interprétée comme onde sphérique qui augmente ou se contracte avec le c de vitesse. De telles vagues sont produites par une source ponctuelle , et elles font les signaux pointus possibles dont la forme est changée seulement par une diminution d'amplitude à mesure que le r augmente (voir l'illustration d'une onde sphérique sur la droite supérieure). De telles vagues existent seulement dans les cas de l'espace avec des dimensions impaires. Heureusement, nous vivons dans un monde qui a trois dimensions de l'espace, de sorte que nous puissions communiquer clairement avec les ondes électromagnétiques acoustiques et électromagnétiques.

Solution d'un problème général d'initial-valeur

L'équation d'ondes est linéaire dans le u et elle est laissée inchangée par des traductions dans l'espace et le temps. Par conséquent nous pouvons produire d'une grande variété de solutions en traduisant et en additionnant les ondes sphériques. Laisser le φ (ξ, η, ζ) soit une fonction arbitraire de trois variables indépendantes, et laisse l'onde sphérique former le F soit une fonction delta : c'est-à-dire, laisser le F être une limite faible des fonctions continues dont l'intégrale est une unité, mais dont l'appui (la région où la fonction est différente de zéro) se rétrécit à l'origine. Laisser une famille des ondes sphériques avoir le centre à (ξ, η, ζ), et laisser le r être la distance radiale de ce point. Ainsi $de$

r^2 = (x \ XI) ^2 + (y \ eta) ^2 + (z \ zéta) ^2. \,

Si le u est une superposition de telles vagues avec le φ de fonction de pondération, puis

$u\; (t,\; x,\; y,\; z)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{4\; \backslash \; pi\; c\}\; \backslash \; iiint\; \backslash \; varphi\; (\backslash \; XI,\; \backslash \; eta,\; \backslash )\; de\; zéta\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; delta\; (groupement\; tactique)\}\{r\}\; d\; \backslash \; XI\; \backslash ,\; d\; \backslash \; eta\; \backslash ,\; d\; \backslash \; zéta\; ;\; \backslash ,$

le dénominateur 4πc est une convenance.

De la définition de la fonction delta, le u peut également être écrit As

$u\; (t,\; x,\; y,\; z)\; =\; \backslash \; frac\; \{\}\; de\; t\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; iint\_S\; \backslash \; varphi\; (x\; +ct\; \backslash \; alpha,\; y\; +ct\; \backslash \; bêta,\; z+ct\; \backslash \; gamma)\; d\; \backslash ,\; d\text{'}Omega\; \backslash ,$

là où le α, le β, et le γ sont les coordonnées sur le S de sphère d'unité, et le ω est l'élément de secteur sur le S . Ce résultat a l'interprétation que le u ( t , X ) est des temps du t que la valeur moyenne du φ sur une sphère du ct de rayon a centrés au X : $u\; (t,\; x,\; y\; de$

, z) = t M_ {ct}. \,

Il suit cela $u\; (0,\; x,\; y\; de$

, z) = 0, \ u_t de quadruple (0, x, y, z) = \ phi (x, y, z). \,

La valeur moyenne est une fonction égale du t , et par conséquent si , du $v\; de$

(t, x, y, z) = \ frac {\ partie} {\} de partie t \ laissé (t M_ {ct} \ droit) \,

puis $v\; de\; (0,\; x,\; y,\; z)\; =\; \backslash \; livre\; parpouce\; carré(x,\; y,\; z),\; \backslash \; v\_t\; de\; quadruple\; (0,\; x,\; y,\; z)\; =\; 0.\; \backslash ,$

Ces formules fournissent la solution pour le problème d'initial-valeur pour l'équation d'ondes. Elles prouvent que la solution à un donné P de point, donné ( t , X , y , z ) dépend seulement des données sur la sphère du ct de rayon qui est intersecté par le cône de lumière de tiré vers l'arrière du P . Il fait le pas dépendent des données de l'intérieur de cette sphère. Ainsi l'intérieur de la sphère est une lacune pour la solution. Ce phénomène s'appelle le principe de Huygens de . Il est vrai pour des nombres impairs de dimension de l'espace, excepté une dimension. Il n'est pas satisfait dans même des dimensions de l'espace. Le phénomène des lacunes a été intensivement étudié dans le Atiyah , le Bott et le Gårding (1970, 1973).

Équation d'ondes scalaire dans deux dimensions de l'espace

Dans deux dimensions de l'espace, l'équation d'ondes est u_ de $de$

{TTT} = c^2 \ parti (u_ {xx} + u_ {yy} \ droit). \,

Nous pouvons employer la théorie tridimensionnelle pour résoudre ce problème si nous considérons le u comme une fonction dans trois dimensions qui est indépendant de la troisième dimension. Si $u\; (0,\; x,\; y)=0,\; \backslash \; u\_t\; de\; quadruple\; (0,\; x\; de$

, y) = \ phi (x, y), \,

alors la formule tridimensionnelle de solution devient

$u\; (t,\; x,\; y)\; =\; tM\_\; \{ct\}\; =\; \backslash \; frac\; \{\}\; de\; t\}\; \{4\; \backslash \; pi\; \backslash \; iint\_S\; \backslash \; phi\; (x\; +,\; de\; ct\; \backslash \; alpha\; \backslash ,\; y\; +\; ct\; \backslash \; bêta)\; d\; \backslash ,\; d\text{'}Omega\; \backslash ,$

là où le α et le β sont les deux premières coordonnées sur la sphère d'unité, et dω est l'élément de secteur sur la sphère. Cette intégrale peut être récrite comme intégrale au-dessus du de disque D avec le centre ( X , y ) et du ct de rayon :

$u\; (t,\; x,\; y)\; =\; \backslash \; frac\; \{1\}\; \{\}\; de\; 2\; \backslash \; pi\; c\; \backslash \; iint\_D\; \backslash \; frac\; \{\backslash \; phi\; (x+\; \backslash \; XI,\; y\; +\; \backslash \; eta)\}\{\backslash racinecarré\; \{(ct)\; ^2\; -\; \backslash \; xi^2\; -\; \backslash \; eta^2\}\}\; d\; \backslash \; XI\; \backslash ,\; d\; \backslash \; eta.\; \backslash ,$

Il est évident que la solution à (le t , le X , le y ) dépende non seulement des données sur le cône léger où $de$

(x - \ XI) ^2 + (- de y \ eta), de ^2 = de c^2 t^2 \,

mais également sur les données qui sont intérieures à ce cône.

Problèmes avec des frontières

Une dimension de l'espace

Une corde flexible qui est étirée entre deux points du X = 0 et X = L satisfait l'équation d'ondes pour le t >0 et 0 < le X < L . Sur les points de frontière, le u peut remplir une série de conditions de frontière. Une forme générale qui est appropriée pour des applications est $de$

- u_x (t, 0) + un u (t, 0) = 0, \, u_x de $de$

(t, L) + b u (t, L) = 0, \,

là où le un et le b sont non négatifs. Le cas où u est exigé pour disparaître à un point final est la limite de cette condition quand le respectif un ou le b approche l'infini. La méthode de séparation de des variables consiste en recherchant des solutions de ce problème sous le formulaire spécial $u\; (t\; de$

, x) = T (t) v (x). \,

Une conséquence est ce $de\; \backslash \; =\; de\; frac\; \{\; de\; T\}\; \{c^2T\}\; \backslash \; frac\; \{v\; \}\; \{v\}\; =\; -\; \backslash \; lambda.\; \backslash ,$

Le λ de la valeur propre doit être déterminé de sorte qu'il y ait une solution non triviale du problème de valeur limite , + de du $v\; de$

\ lambda v=0 \, $de$

- v'(0) + un v (0) = 0, \ v'(de quadruple L) + B. \,

C'est un cas spécial du problème général de la théorie de Sturm-Liouville de . Si un et de b sont positifs, les valeurs propres sont toutes positives, et les solutions sont des fonctions trigonométriques. Une solution qui remplit des conditions initiales place-intégrables pour le de u et le de u_t peut être obtenue à partir de l'expansion de ces fonctions de la série trigonométrique appropriée.

Plusieurs espacent des dimensions

La théorie de valeur unidimensionnelle d'initial-frontière peut être prolongée à un nombre arbitraire de dimensions de l'espace. Considérer un de domaine D dans le m - l'espace dimensionnel du X , avec le B de frontière. Alors l'équation d'ondes doit être satisfaite si le X est dans le D et $t>0$. Sur la frontière du D , le u de solution satisfera $\backslash \; frac\; de$

{\ partie u} {\ partie n} +, d'u =0 \,

là où le n est la normale d'unité à l'extérieur au B , et un est une fonction non négative a défini sur le B . Le cas où le u disparaît sur le B est une raison de limitation pour le par infini de approche de . Les conditions initiales sont $u\; (0\; de$

, x) = f (x), \ u_t=g de quadruple (x), \,

là où le f et le g sont définis dans le D . Ce problème peut être résolu en augmentant le f et le g dans les fonctions propres du Laplacian dans le D , qui remplissent les conditions de frontière. Ainsi le v de fonction propre satisfait + de $\backslash \; nabla\; \backslash \; cdot\; \backslash \; nabla\; de$

v \, de lambda v = 0 \,

dans le D , et $\backslash \; frac\; de$

{\ partie v} {\ partie n} +, de v =0 \,

sur le B .

Dans le cas de deux dimensions de l'espace, les fonctions propres peuvent être interprétées comme modes de vibration d'une peau de tambour étirée au-dessus du B de frontière. Si le B est un cercle, alors ces fonctions propres ont un composant angulaire qui est une fonction trigonométrique du θ polaire d'angle, multiplié par une fonction Bessel De (d'ordre de nombre entier) du composant radial. D'autres détails sont dans l'équation de Helmholtz de .

Si la frontière est une sphère dans trois dimensions de l'espace, les composants angulaires des fonctions propres sont les harmoniques sphériques , et les composants radiaux sont les fonctions Bessel De de l'ordre de moitié-nombre entier.

Équation d'ondes inhomogène dans une dimension

L'équation d'ondes inhomogène dans une dimension est la suivante : u_ du

$c^2\; de\; \{x\; X\}\; (x,\; t)\; -\; u\_\; \{t\; t\}\; (x,\; t)\; =\; s\; (x,\; t)$ dans les conditions initiales étant donné près =f du $u\; de$

(x, 0) =g de $u\_t\; x)$ (x, (0) (x).

Les $s\; de\; fonction\; (x,\; t)$ s'appelle souvent la fonction de source parce que dans la pratique il décrit les effets des sources des vagues sur le milieu les portant. Les exemples physiques des fonctions de source incluent la force conduisant une vague sur une corde, ou la charge ou la densité de courant dans la mesure de Lorenz de de l'électromagnétisme .

Une méthode pour résoudre le problème de valeur initiale (avec les valeurs initiales comme posées ci-dessus) est de tirer profit de la propriété de l'équation d'ondes que ses solutions obéissent la causalité. C'est-à-dire, pour n'importe quel $de\; point\; (x\_i,\; t\_i)$, la valeur du $u\; (x\_i,\; t\_i)$ dépend seulement des valeurs du $f\; (x\_i\; +\; t\_i\; de\; c)$ et du $f\; (x\_i\; -\; t\_i\; de\; c)$ et les valeurs du $g\; de\; fonction\; (x)$ entre $(x\_i\; -\; t\_i\; de\; c)$ et $(x\_i\; -\; t\_i\; de\; c)$. Ceci peut être vu dans la formule de D'Alembert de , indiquée ci-dessus, où ces quantités sont les seules qui apparaissent dans elle. Physiquement, si la vitesse maximum de propagation est $c$, puis aucune partie de la vague qui ne peut pas propager à un point donné par un temps donné peut affecter l'amplitude au mêmes point et temps.

En termes de trouver une solution, cette propriété de causalité signifie que pour tout point donné sur la ligne étant considérée, le seul secteur qui doit être considéré est le secteur entourant tous les points qui pourraient causal concerner le point étant considéré. Dénoter le secteur qui affecte en passant le $de\; point\; (x\_i,\; t\_i)$ comme $R\_C$. Supposer que nous intégrons l'équation d'ondes inhomogène au-dessus de cette région. le $\backslash \; iint\; \backslash \; limits\_\; de$

{R_C} \ sont partis (u_ c^2 {x X} (x, t) - l'u_ {t t} (x, t) \ droit) = de dx décollement \ iint \ limits_ {R_C} s (x, t) décollement de dx.

Pour simplifier ceci considérablement, nous pouvons employer le théorème de Green pour simplifier l'aile gauche pour obtenir ce qui suit : le $\backslash \; int\_\; de$

{L_0 + L_1 + L_2} \ sont partis (- l'u_x c^2 (x, t) décollement - = d'u_t (x, t) dx \ droit) \ iint \ limits_ {R_C} s (x, t) décollement de dx.

L'aile gauche est maintenant la somme trois de la ligne intégrales le long des limites de la région de causalité. Il s'avère être assez faciles calculer celles-ci $de$

\ _ d'int^ {x_i + t_i de c} {x_i - t_i de c} - dx de l'u_t (x, 0) = - \ _ d'int^ {x_i + t_i de c} {x_i - t_i de c} g (x) dx.

Dans ce qui précède, la limite à intégrer en ce qui concerne le temps disparaît parce que l'intervalle de temps impliqué est zéro, ainsi le $d\; t\; =\; 0$.

Pour les deux autres côtés de la région, il vaut de noter que le $x\; \backslash \; P.\; c\; t$ est une constante, namingly le $x\_i\; \backslash \; P.\; c\; t\_i$, où le signe est choisi convenablement. Using ceci, nous pouvons obtenir le $dx\; de\; relation\; \backslash \; P.\; c\; décollement\; =\; 0$, choisissant encore le bon signe :

$\backslash \; int\_\; \{L\_1\}\; \backslash \; estparti(-\; u\_x\; c^2\; (x,\; t)\; décollement\; -\; u\_t\; (x,\; t)\; dx\; \backslash \; droit)\; \backslash ,$

$=\; \backslash \; int\_\; \{L\_1\}\; \backslash \; à\; gauche\; (c\; u\_x\; (x,\; t)\; dx\; +\; c\; u\_t\; (x,\; t)\; décollement\; \backslash )\; droit\; \backslash ,$ =$c\; \backslash \; int\_\; \{L\_1\}\; d\; u\; (x,\; t)\; =\; c\; u\; (x\_i,\; t\_i)\; -\; c\; f\; (x\_i\; +\; t\_i\; de\; c).\; \backslash ,$

Et pareillement pour le segment final de frontière : $de$

\ int_ {L_2} \ (- u_x c^2 (x, t) décollement - $=\; de\; d\text{'}u\_t\; (x,\; t)\; dx\; \backslash \; droit)$ - \ int_ {L_2} \ laissé (u_x de c (x, t) dx + $=\; de$
d'u_t de c (x, t) décollement \ droit) - c \ int_ {L_2} d u (x, t) = - \ laissé (c f (x_i - t_i de c) - c u (x_i, t_i) \ droit) $=\; laissé\; c\; u\; (x\_i,\; t\_i)$ - c f (x_i - t_i de c). \,

Ajoutant les trois résultats ensemble et les remettant dans l'intégrale originale : $-\; de$

\ _ d'int^ {x_i + t_i de c} {x_i - t_i de c} g (x) dx + c u (x_i, t_i) - c f (x_i + t_i de c) + c u (x_i, t_i) - = de c f (x_i - t_i de c) \ iint \ limits_ {R_C} s (x, t)
$2\; c\; u\; (x\_i,\; t\_i)\; de\; décollement$ de dx - \ _ d'int^ {x_i + t_i de c} {x_i - t_i de c} g (x) dx - c f (x_i + t_i de c) - c f (x_i - t_i de c) = \ iint \ limits_ {R_C} s (x, t)
$2\; c\; u\; (x\_i,\; t\_i)\; de\; décollement$ de dx = \ _ d'int^ {x_i + t_i de c} {x_i - t_i de c} g (x) dx + c f (x_i + t_i de c) + + de c f (x_i - t_i de c) \ iint \ limits_ {R_C} s (x, t) = de $u\; décollement$ de dx (x_i, t_i) \ frac {f (x_i + t_i de c) + f (x_i - t_i de c)}{2} + \ frac {1} {2 C} \ int^ {x_i + t_i de c} _ {x_i - t_i de c} g (x) dx + \ frac {1} {2} de C \ int^ {t_i} _0 \ int^ {le x_i + le c \ sont partis (t_i - t \ droit)}_ {x_i - c \ est parti (t_i - t \ droit)} s (x, t) décollement de dx. \,

Dans la dernière équation de l'ordre, les comptages de l'intégrale au-dessus de la fonction de source ont été réalisés explicites. Regardant cette solution, qui est valide pour tout le $de\; choix\; (x\_i,\; t\_i)$ compatible avec l'équation d'ondes, il est clair que les deux premières limites soient simplement la formule des d'Alembert, comme cité ci-dessus comme solution de l'équation d'ondes homogène dans une dimension. La différence est dans la troisième limite, l'intégrale au-dessus de la source.

D'autres systèmes du même rang

Dans trois dimensions, l'équation d'ondes, une fois écrite dans les coordonnées de cylindrique elliptiques , peut être résolue par la séparation des variables, menant à l'équation de Mathieu de .

Voir également

Équation de Helmholtz de
Équation d'onde acoustique de
Équation d'onde électromagnétique électromagnétique de
Équation non homogène d'onde électromagnétique électromagnétique de
Moteur variable de
Effet de Doppler
Équation de Schrödinger de
Justification théorique et expérimentale de pour l'équation de Schrödinger
Opérateur de Laplace de
Des aspects mathématiques des équations d'ondes sont discutés sur le PDE dispersif Wiki.

Random links:

Disques de corail | GLV/BCV | Charly García | David Moorcroft | Soufre (bandes dessinées) | Ecuación_de_onda

© 2007-2009 encyclopediefrancaise.com; le texte de cet article est distribué sous les termes de GFDL; en.wikipedia.org