Énergie de Fermi

L'énergie de Fermi de est un concept dans la mécanique quantique De se référant à l'énergie de l'état de Quantum occupé le plus élevé dans un système des fermions à la température du zéro absolu . Cet article exige une connaissance de base de la mécanique quantique.

Introduction

Contexte

Dans la mécanique quantique De , un groupe de particules connues sous le nom de fermions (par exemple, les protons d'électrons et les neutrons sont des fermions) respectent le principe d'exclusion de Pauli de . Ce principe déclare que deux fermions identiques ne peuvent pas être dans le même état de Quantum . Les états sont marqués par un ensemble de nombres de quantum. Dans un système contenant beaucoup de fermions (comme des électrons dans un métal) chaque fermion aura un ensemble différent de nombres de quantum. Pour déterminer la plus basse énergie qu'un système des fermions peut avoir, nous d'abord groupe les états dans les ensembles avec de l'énergie égale et commander ces ensembles en augmentant l'énergie. Commençant par un système vide, nous ajoutons alors des particules un par un, consécutivement remplissant vers le haut des états de quantum inoccupés de la bas-énergie. Quand toutes les particules ont été mises dedans, l'énergie de Fermi de est l'énergie de l'état occupé le plus élevé. Ce que ce le moyen est que même si nous avons extrait toute l'énergie possible à partir d'un métal par le refroidissement de lui à la température proche de zéro absolu (0 Kelvins , les électrons dans le métal se déplacent toujours autour, le plus rapide se déplaceraient à une vitesse qui correspond à une énergie cinétique égale à l'énergie de Fermi. C'est la vitesse de Fermi de . L'énergie de Fermi est l'un des concepts importants de la physique de matière condensée par . Elle est employée, par exemple, pour décrire des métaux, les isolateurs et les semi-conducteurs c'est une quantité très importante dans la physique des supraconducteurs, dans la physique des liquides de Quantum de comme l'hélium (³He normal et ⁴He superfluide) de de basse température, et il est tout à fait important pour la physique nucléaire et pour comprendre la stabilité des étoiles naines blanches contre l'effondrement de la gravité .

Contexte avancé

L'énergie de Fermi ( E_F ) d'un système des fermions de non-interaction est l'augmentation de l'énergie de l'état fondamental quand exactement une particule est ajoutée au système. Elle peut également être interprétée comme énergie maximum d'un fermion individuel dans cet état fondamental. Le potentiel chimique à la température zéro est égal à l'énergie de Fermi.

Illustration du concept pour un puits unidimensionnel de place

Le puits infini de place de unidimensionnel est un modèle pour une boîte unidimensionnelle. C'est un modèle-système standard en mécanique quantique pour laquelle la solution pour une particule simple est bien connue. Les niveaux sont marqués par un simple n de nombre de quantum et les énergies sont données par = de

E_n de \ frac {\ hbar^2 \ pi^2} {2 m L^2} n^2 \,

. Supposer maintenant qu'au lieu d'une particule dans cette boîte nous avons des particules de N dans la boîte et que ces particules sont des fermions avec la rotation 1/2 . Alors seulement deux particules peuvent avoir la même énergie c. que deux particules peuvent avoir l'énergie de

E_1= \ de frac {\ hbar^2 \ pi^2} {2 m L^2}

, ou deux particules peuvent avoir l'énergie

E_2=4 E_1

et ainsi de suite. La raison pour laquelle deux particules peuvent avoir la même énergie est qu'une particule spin-1/2 peut avoir une rotation de 1/2 (rotation vers le haut) ou une rotation de -1/2 (rotation vers le bas), menant à deux états pour chaque force. Quand nous regardons toute l'énergie de ce système, la configuration pour laquelle toute l'énergie est la plus basse (l'état fondamental), est la configuration où toutes les forces jusqu'à n=N/2 sont occupées et tout les niveaux plus élevés sont vides. L'énergie de Fermi est donc = du

E_f=E_ de {N/2} \ frac {\ hbar^2 \ pi^2} {2 m L^2} (N/2)^2 \,

Le cas tridimensionnel

Le cas isotrope du tridimensionnel est connu comme boule de Fermi de .

Maintenant considérons une boîte cubique tridimensionnelle qui a un latéral L de longueur (voir la place infinie de jaillir ). Ceci s'avère être une approximation très bonne pour décrire des électrons dans un métal. Les états sont maintenant marqués par trois nombres de quantum n_x, n_y, et n_z. Simple particule énergie sont

$E_ {n_x, n_y, n_z} = \ frac {\ hbar^2 \ pi^2} {2m L^2} \ à gauche (n_x^2 + n_y^2 + n_z^2 \) droit \, le n$ _x, n_y, n_z de sont des nombres entiers positifs. Il y a états multiples avec de la même énergie, par exemple le =E_ de =E_ de $E_ {100} {010} {001}$ . Maintenant mettons les fermions de non-interaction de N de la rotation 1/2 dans cette boîte. Pour calculer l'énergie de Fermi, nous regardons le point de droit pour N est grand.

Si nous présentons un $de vecteur \ = du vec {n} \ {n_x, n_y, n_z \}$ puis chaque état de quantum correspond à un point dans le « n-espace » au = de $E_ de d'énergie {\ vec {n}} \ frac {\ hbar^2 \ pi^2} {2m L^2} |\ vec {n}|^2 \,$ Le nombre d'états avec de l'énergie moins qu'E_f est égal au nombre de déclarer qui se trouvent en dessous d'une sphère de $de rayon|\ _f du vec {n}|$ dans la région du n-espace où n_x, n_y, n_z sont positifs. Dans l'état fondamental ce nombre égale le nombre de fermions dans le système.

$N =2 \ frac {1} {8} \ frac {4} {3} \ pi n_f^3 \,$

le facteur de deux est de nouveau parce qu'il y a deux états de spin, le facteur de 1/8 est parce que seulement 1/8 de la sphère se situe dans la région où tout le n sont positif. Nous trouvons que $n_f= de \ est parti (\ frac {3 N} {\ pi} \ droit) du ^ {1/3}$ ainsi l'énergie de Fermi est donnée par = de $E_f de \ frac {\ hbar^2 \ pi^2} {2m L^2} n_f^2$ = de $de de \ frac {\ hbar^2 \ pi^2} {2m L^2} \ (\ frac {3 N} {\ pi} \ droit) ^ laissé {2/3}$

Quels résultats dans un rapport entre l'énergie de Fermi et le nombre de particules par volume (quand nous remplaçons L² par V^2/3) :

Énergies de Fermi typiques

Nains blancs

Les étoiles connues sous le nom de nains blancs ont la masse comparable à notre Sun , mais ont un rayon environ 100 fois plus petites. Les densités signifie que les électrons ne sont plus liés pour choisir des noyaux et pour former à la place un gaz d'électrons dégénéré de du . La densité de nombre des électrons dans un nain blanc sont sur l'ordre de 10³⁶ electrons/m³. Ceci signifie que leur énergie de Fermi est :

E_f = \ frac {\ hbar^2} {2m_e} \ laissé (\ frac {3 \ pi^2 (10^ {36})}{1 \ \ mathrm {m} ^3} \ droit) ^ {2/3} \ approximativement 3 \ période 10^5 \ \ mathrm {} d'eV \,

Noyau

Un autre exemple typique est celui des particules à un noyau d'un atome. Le rayon de du noyau est rudement : = de

R de de  \ laissé (1.25 \ période 10^ {- 15} \ mathrm {m} \ droit) \  A^ de périodes {1/3}

où le A est le nombre de nucléons .

La densité de nombre des nucléons à un noyau est donc :

$n = \ frac {A} {\ commencent {matrice} \ frac {4} {3} \ extrémité {} de matrice \ pi R^3} \ approximativement 1.2 \ période 10^ {44} \ \ ^ du mathrm {m} {- 3}$

Maintenant puisque l'énergie de Fermi s'applique seulement aux fermions du même type, on doit diviser cette densité dans deux. C'est parce que la présence des neutrons n'affecte pas l'énergie de Fermi des protons au noyau, et vice versa.

Ainsi l'énergie de Fermi d'un noyau est environ :

$E_f = \ frac {\ hbar^2} {2m_p} \ laissé (\ frac {3 \ pi^2 (6 \ périodes 10^ {43})}{1 \ \ mathrm {m} ^3} \ droit) ^ {2/3} \ \ approximativement 30 \ périodes 10^6 \ mathrm {eV} = 30 \ \ mathrm {mev}$

Le rayon de du noyau admet des déviations autour de la valeur mentionnée ci-dessus, ainsi une valeur typique pour l'énergie de Fermi habituellement indiquée est mev de 38 .

Niveau de Fermi

Le niveau de Fermi de est la force occupée la plus élevée à zéro absolu, c., toutes les forces jusqu'au niveau de Fermi sont occupées par des électrons. Puisque les fermions ne peuvent pas exister dans les états d'énergie identiques ( voir le principe d'exclusion ), à zéro absolu, des électrons emballent dans les plus bas états d'énergie disponible et accumulent un " ; " de la mer de Fermi de ; des états d'énergie d'électrons. Dans cet état (à 0 K ), l'énergie moyenne d'un électron est donnée par : = du $E_ de {poids du commerce} \ frac {3} {5} E_f$ là où le $E_f$ est l'énergie de Fermi.

L'élan de Fermi de est l'élan des fermions au Fermi extérieur. L'élan de Fermi de est indiqué par : = de ${2 m_e E_f}$ là où le m_e de $est la masse de l'électron. Ce concept est habituellement appliqué dans le cas des relations de dispersion entre l'énergie et l'élan qui ne dépendent pas de la direction. Dans des cas plus généraux, on doit considérer l'énergie de Fermi. La vitesse de Fermi de est la vitesse moyenne d'un électron dans un atome à zéro absolu. Cette vitesse moyenne correspond à l'énergie moyenne indiquée ci-dessus. La vitesse de Fermi de est définie par : = de V_f de de \ racine carrée {\ frac {2 E_f} {m_e}} là où le m_e$ de $est la masse de l'électron. Au-dessous de la température de Fermi de , une substance exprime graduellement de plus en plus des effets de quantum du refroidissement. La température de Fermi est définie par : = de T_f de de \ frac {E_f} {k} là où le k est le Boltzmann constant.$

La mécanique quantique

Selon la mécanique quantique, fermions -- particules avec une rotation , habituellement 1/2 de du Moitié-nombre entier , tel que les électrons -- suivre le principe d'exclusion de Pauli , qui déclare que les particules multiples peuvent ne pas occuper le même état de Quantum . En conséquence, les fermions obéissent les statistiques de Fermi-Dirac de . L'état fondamental d'un système de non-interaction de fermion est construit en commençant par un système vide et en ajoutant des particules un par un, consécutivement remplissant vers le haut des états de quantum inoccupés de bas-énergie. Quand le nombre désiré de particules a été atteint, l'énergie de Fermi est l'énergie de l'orbite moléculaire le plus fortement occupée (HOMO). Dans les matériaux conducteurs, c'est équivalent à la plus basse orbite moléculaire inoccupée (LUMO) ; cependant, dans d'autres matériaux il y aura un espace significatif entre le HOMO et le LUMO sur l'ordre de l'eV de 2 ou 3 .

Gaz d'électrons libres

Dans le gaz d'électrons libres , la version mécanique de quantum d'un gaz idéal des fermions, les états de quantum peut être marquée selon leur élan . Quelque chose semblable peut être faite pour les systèmes périodiques, tels que des électrons se déplaçant le trellis atomique d'un métal , using quelque chose appelée le " ; quasi-momentum" ; ou " ; momentum" en cristal ; (voir la vague de Bloch ). Dans l'un ou l'autre cas, les états d'énergie de Fermi résident sur une surface dans l'espace d'élan de connu sous le nom de Fermi extérieur . Pour le gaz d'électrons libres, la surface de Fermi est la surface d'une sphère ; pour les systèmes périodiques, elle a généralement une forme contorted (voir les zones de Brillouin . Le volume joint par la surface de Fermi définit le nombre d'électrons dans le système, et la topologie est directement liée aux propriétés de transport des métaux, tels que la conductivité électrique . L'étude de la surface de Fermi s'appelle parfois le Fermiology . Les surfaces de Fermi de la plupart des métaux sont bien étudiées théoriquement et expérimentalement.

L'énergie de Fermi du gaz d'électrons libres est liée au potentiel chimique par l'équation

$\ MU = E_F \ est parti 1 - \ frac {\ pi ^2} {12} \ à gauche (\ frac {kT} {E_F} \ droit) ^2 - \ frac {\ pi^4} {80} \ à gauche (\ frac {kT} {E_F} \ droit) ^4 + \ cdots \$ droit

là où le E _F est l'énergie de Fermi, le k est le Boltzmann constant et le T est la température . Par conséquent, le potentiel chimique est approximativement égal à l'énergie de Fermi aux températures beaucoup de moins que le caractéristique E_F / k de la température de Fermi de . La température caractéristique est sur l'ordre 10⁵ du K pour un métal, par conséquent à la température ambiante (300 K), l'énergie de Fermi et potentiel chimique sont essentiellement équivalent. C'est significatif puisque c'est le potentiel chimique, pas l'énergie de Fermi, qui apparaît dans les statistiques de Fermi-Dirac de .

Voir également

Gaz de Fermi
Semi-conducteurs * électrotechnique
L'électronique
Thermodynamique

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