Éclatement

iktionary Le concept du brisant d'un ensemble de points joue un rôle important dans la théorie de Vapnik-Chervonenkis de , également connue sous le nom de VC-théorie. L'éclatement et la VC-théorie sont employés dans l'étude des processus empiriques aussi bien que dans la théorie de étude informatique statistique.

Définition

Supposer que nous avons un C de la classe des ensembles et un réglé donné A . Le C est dit au A de l'éclat de si, pour chaque T de sous-ensemble du A , il y a un certain U d'élément du C tels que $de$

U \ chapeau A = T. \,

D'une manière equivalente, le C brise le A quand le réglé P ( A ) de la puissance est l'ensemble {&cap de U ; A | &isin du U ; C }.

Par exemple, le C de classe de tous les disques dans l'avion (l'espace bidimensionnel) de ne peut pas briser chaque A d'ensemble de quatre points, pourtant la classe de tous les ensembles convexes de que dans l'avion brise chaque ensemble fini sur le cercle (d'unité). (Pour la collection de tous les ensembles convexes, relier les points ! < ! -- Est-il ce métaphorique ou littéraire ? -->< ! -- Ni l'un ni l'autre. C'est une preuve de la deuxième affirmation. -->)

Nous utilisons le C de lettre pour nous référer à un " ; class" ; ou " ; collection" ; des ensembles, comme dans une classe de Vapnik-Chervonenkis (VC-classe). On assume que souvent le A d'ensemble est le fini parce que, dans des processus empiriques, nous sommes intéressés à se briser des ensembles finis de points de repères.

Coefficient d'éclat

Pour mesurer la richesse d'un $C$ de collection des ensembles, nous employons le concept du brisant les coefficients (également connus sous le nom de coefficients d'éclat de ou fonction de croissance de ). Pour un $C$ de collection de $d\text{'}ensembles\; s\; \backslash \; sous-ensemble$ Ω, Ω étant n'importe quel espace, souvent un espace de probabilité , nous définissons le du n ^th brisant le coefficient de $C$ As _C du $S\; de$

(n) = \ max_ {x_1, x_2, \ pointille, x_n \ dans \ Omega} \ operatorname {carte} \ {\, \ {\, x_1, x_2, \ pointille, x_n \} \ chapeau s, s \ dans C \}

là où " ; card" ; dénote la cardinalité , celui de est le nombre d'éléments d'un ensemble.

_C du $S\; (n)$ est égal au plus grand nombre de sous-ensembles de n'importe quel $A$ d'ensemble des points du n qui peuvent être constitués en intersectant le $A$ avec les ensembles dans le $C$ de collection.

Il est évident que le
1.$S\_C\; de$
(n) \ leq 2^n pour tout le n . Si $S\_C\; (n)=2^n$, ce des moyens il y a un ensemble de n de cardinalité, qui peut être brisé par le C . Si pour pour tous les $n\; \backslash \; geq\; N$ La troisième propriété signifie que si le C ne peut pas se briser réglé du N de cardinalité puis elle ne peut pas briser des ensembles de plus grands cardinalities.

Classe de Vapnik-Chervonenkis

VC dimension de classe C est défini en tant que

ou, alternativement, en tant que

$VC\_0\; (C)=\; \backslash \; underset\; \{n\}\; \{\backslash \}maximum\backslash \; \{n\; :\; S\_C\; (n)=2^n\; \backslash \}.\; \backslash ,$

Noter ce $VC\; (C)=VC\_0\; (C)+1$.

Si pour n'importe quel n il y a un ensemble de n de cardinalité qui peut être brisé par le C , alors $S\_C\; (n)=2^n$ pour tout le n et la dimension VC de ce C de classe est infini.

Une classe avec la dimension VC finie s'appelle une classe de Vapnik-Chervonenkis de ou la classe du VC. Un C de classe est uniformément Glivenko-Cantelli si et seulement si c'est une classe VC.

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